venerdì 31 ottobre 2008

Tipi di frazioni

Lavoro di Anna Laura, GiuliaG e Laura

Esistono 3 tipi di frazioni, le frazioni vere e proprie che sono una parte minore dell’intero, si riconoscono perché il numeratore è minore del denominatore.
Come si può vedere nell'esempio fatto su excel, possiamo notare che operando sulla misura di una grandezza con una frazione propria, il valore della grandezza ottenuta, omogenea a quella di partenza, è minore di quello dell’intero.
Poi ci sono le frazioni improprie che sono una parte maggiore dell’intero e si possono riconoscere perché il numeratore è maggiore del denominatore,
Nel secondo esempio su Excel, sono rappresentate le frazioni improprie che come ho già detto sono più del tutto e questo si può notare: ho operato sulla misura di una grandezza con una frazione impropria, il valore ottenuto è maggiore di quello dell’intero.
Infine le frazioni apparenti che apparentemente sembrano frazioni ma sono uno o più interi, e si riconoscono perché il numeratore è uguale o multiplo del denominatore.
Operando con una frazione apparente sulla misura di una grandezza otteniamo misure di grandezze uguali o multiple della frazione stessa (nell'esempio ottengo grandezza doppia, la frazione é: 4/2 = 2).
Il lavoro in Excel è di Anna Laura. E' stata molto brava con i formati personalizzati! Si può scaricare il suo file, tipi_di_frazioni_calcoli su excel.xls
Sul blog, frazioni proprie, improprie, apparenti e complementari

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giovedì 30 ottobre 2008

Senza titolo

Oggi dovevo "raccontare" matematica, come al solito.
MI MANCA L'ENTUSIASMO.

PORTO IN PRIMO PIANO IL MIO BOX *SEGNALAZIONI*

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mercoledì 29 ottobre 2008

L'insieme Q dei numeri razionali

Anna Laura, Giulia G, Laura e Saverio dicono....

Studiando le frazioni abbiamo scoperto l'insieme Q.
E' l'insieme di tutte le classi di equivalenza. La classe di equivalenza è l'insieme delle infinite frazioni equivalenti ad una data primitiva, la sua rappresentante.
Abbiamo scoperto che dell’insieme Q dei numeri razionali fa parte l’insieme N dei numeri naturali, N ⊂ Q, e che l’insieme Q che è infinito ha per elementi insiemi che a loro volta sono infiniti! Curioso...!
L’insieme N fa parte dell’insieme Q perché questo comprende le frazioni apparenti, siccome sembrano ma non sono frazioni, sono dei numeri naturali cioè interi. Anche i naturali sono classi di equivalenza …

Classi di Equivalenza,
3/5, 2/3, 2/1 sono le rappresentanti della classe di equivalenza, servono a indicare il
numero razionale.
Sull'insieme Q, altro sul blog

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martedì 28 ottobre 2008

Costruzione di terne pitagoriche

Nicola, Irene, Laura e Alessandra scrivono....

Durante l’ora di laboratorio abbiamo svolto un'attività:

Come costruire terne pitagoriche.
La prof ci dice di scegliere e scrivere sul quaderno un numero dispari che indicheremo con d.
Ci dice che indicheremo con a, b e c i numeri della terna pitagorica.
Ci detta le seguenti:
a = d
b = (d ²-1)/2
c = (d ²+1)/2

ci chiede di trovare immediatamente una terna [immediatamente?:-)].
Es. se d = 7
a = d = 7
b = (d²-1)/2 = (7²-1)/2 = 48/2 = 24
c
= (d²+1)/2 = (7²+1)/2 = 50/2=25
Ora proviamo se effettivamente i numeri ottenuti sono una terna pitagorica
7² + 24² = 25² 49 + 576 = 625
7, 24, 25 è una terna pitagorica.
Abbiamo provato tutti con diversi numeri dispari.
La prof ci ha chiesto solo se i numeri delle terne trovate erano numeri naturali. Tutti abbiamo detto che era così. Abbiamo trovato terne con numeri naturali.

Ora la prof ci dice di applicare lo stesso procedimento però, anziché usare un numero dispari, usare un numero pari, indicandolo con p.
quindi i tre procedimenti sono i seguenti
a = p
b = (p²-1)/2
c = (p²+1)/2
E come prima ci dice di applicare le formule.
Es:
a = p = 12
b = (p²-1)/2= (12²-1)/2 = 143/2 = 71,5
c = (p²+1)/2 = (12²+1)/2 = 145/2 = 72,5
Ora alla domanda: la terna è costituita da numeri naturali?
Rispondiamo: no. Scegliendo un numero pari si ottengono numeri razionali e non più naturali.
Questo accade perché, se elevo a potenza 2 un numero dispari ottengono sempre un numero dispari, invece se elevo alla seconda un numero pari ottengono sempre un numero pari.
Ci è utile la tabella della moltiplicazione del pari e dispari.

Se a un quadrato di un numero dispari aggiungo o sottraggo 1 avrò un numero pari e quindi divisibile per 2, con resto 0.
Invece se a un quadrato di un numero pari aggiungo o sottraggo 1 ottengo un numero dispari e dopo con la successiva divisione per 2 avrò un numero razionale.
E' per questa ragione che con numeri dispari ottengo terne naturali, invece con numeri pari ottengo terne razionali.

Esiste anche un altro metodo per trovare terne pitagoriche:
Prendiamo due numeri e li chiamiamo r ed s ( con r maggiore di s)
I tre numeri della terna li chiameremo ancora a, b, c.
Ora scriviamo i tre procedimenti per trovare a, b, e c.
a = r² – s²
b = 2 * r * s
c = r² + s²
Es:
r = 5
s = 2
Ora applichiamo le tre formulette:
a = r² – s² = 5²-2² = 25 – 4 = 21
b = 2 * r * s = 2*5*2 = 20
c = r² + s² = 5²+2² = 25 + 4 = 29
Verifichiamo se 21, 20, 29 formano veramente un terna pitagorica
21² + 20² = 29²
441+ 400 = 841
21, 20 e 29 è una terna pitagorica.
In classe abbiamo fatto una tabella con altri esempi:

tabella realizzata con excel

La prof ci ha chiesto di osservare attentamente le terne ottenute, verificarne il tipo e cercare qualche relazione con i numeri r e s scelti.
Ci riflettevamo… Alessandra ha detto:
"non sono sicura ma, se prendiamo due numeri uno pari e uno dispari otteniamo terne primitive, se invece sono entrambi pari o entrambi dispari sono derivate."
La prof: "Brava"
Infatti: 40-198-202 è una terna derivata come lo è 308-144-340.
Invece le terne ottenute da un numero pari e uno dispari sono terne primitive. Di fatto 39-80-89 e 261-380-461 sono terne primitive [Irene impara a scrivere proprio bene! :-)].

Abbiamo indagato sui procedimenti.
La colonna del numero b non ci aiuta perché c’è un raddoppio, e quindi ottengo un numero sempre pari.
Invece le colonne dei numeri a e c mi possono servire.
Osserviamo la colonna del numero a.
Spieghiamo con le tabelle del + e del – (addizione e sottrazione) del pari o dispari, tenendo conto anche della tabella precedente, della moltiplicazione.
Se r ed s sono entrambi pari o entrambi dispari ottengo un numero pari.
Se invece ho r dispari e s pari, o viceversa avrò:
Osserviamo la colonna del numero b.
Se r ed s sono entrambi pari o entrambi dispari ottengo un numero pari.
Se invece ho r dispari e s pari, o viceversa ho:
Da tutte queste indagini abbiamo potuto provare però che i numeri che formano una terna pitagorica (a, b, c) possono essere tutti pari oppure uno pari e due, fra cui c, dispari. Ci sembrava che questo spiegasse anche le terne primitive e quelle derivate.
Ma...
la prof: "questo non basta per spiegare come si ottengano terne primitive o derivate".
Dobbiamo continuare il lavoro, con altri tentativi!
Il lavoro continua
QUI

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lunedì 27 ottobre 2008

Cool as phive!

In questo periodo, tra "Sfide matematiche" e "Curioso dei numeri"....
trovo delle cosette simpatiche!

C'è un analogo tridimensionale del numero aureo. Mentre il rapporto aureo è il numero che sommato a 1 dà il proprio quadrato, il numero di plastica (o d'argento - è più carino!) P è quello il cui cubo si ottiene sommando 1 al numero:
ossia P
³= P+ 1.
Invece di essere basato sul 5, è basato sul 23, il suo valore esatto essendo

Dal punto di vista numerico P vale 1,324718..., poco meno di 4/3. (L'approssimazione del numero di plastica con 4/3 è la stessa che si fa in musica assumendo che la settima armonica sia pari a due quarte.)
Il numero di plastica è il più piccolo Numero di Pisot-Vijayaraghavan.
Il 23 compare come 3
³ -2², analogo a 5 = 2²+1.
Ciò forse conferisce al 23 qualche proprietà estetica? David Beckham, che ha scelto questo numero per la sua maglia, è molto bello, ma il culto esoterico del 23 attribuisce al numero caratteristiche sinistre.

La formula che dà P, con le sue radici cubiche, racconta un'altra storia importante che ha a che fare con il Cinque.
E' ottenuta risolvendo esattamente l'equazione cubica
$x^3=x+1$, operazione non semplice che rappresentò il massimo progresso della matematica europea prima della rivoluzione scientifica.
L'equazione quartica (o di quarto grado) $x^4=x+1$

può essere risolta in modo analogo, ma l'equazione di quinto grado $x^5=x+1$
non può essere risolta con un metodo che utilizzi soltanto somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed estrazione di radice.
La non esistenza di una simile soluzione classica fu dimostrata da Abel e Galois, entrambi giovanissimi, negli anni successivi al 1820.
Come spesso accade la dimostrazione dell'impossibilità di qualcosa portò a progressi fortemente innovativi. Le equazioni di grado, brutte clienti per la matematica del XVIII secolo, divennero una via d'acceso all'illuminazione.
Da Il curioso dei numeri di Andrew Hodges

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venerdì 24 ottobre 2008

[Contributi] Zenone di Elea ed i suoi "Paradossi"

Questo articolo è ancora un regalo del mio amico Paolo, amico del nostro blog!:-)

Importante filosofo greco del V secolo a.C., discepolo di Parmenide, fu uno dei principali rappresentanti della "Scuola Eleatica".
Poco è noto della sua vita, salvo la tragica fine in cui sarebbe incorso per avere cospirato contro un tiranno che gli diede la morte fra atroci tormenti.
Il suo pensiero, di cui non si conservano testimonianze scritte, è giunto sino a noi grazie al Parmenide platonico in cui Platone, appunto, parla di uno scritto composto da Zenone per difendere le tesi del suo maestro Parmenide dagli attacchi di coloro che le avversavano.
Per questo aspetto Aristotele imputò a Zenone l'invenzione della Dialettica, intesa come tecnica della discussione a partire dalle premesse dell'avversario.
Per confutare gli attacchi mossi al suo maestro, Zenone ricorse a questa tecnica basata sulla dimostrazione per assurdo, cioè sulla possibilità di ricavare dalla stessa premessa due conclusioni tra loro contraddittorie, affermando, di conseguenza, l'incongruenza della premessa stessa.
Le sue argomentazioni principali furono rivolte alla confutazione dei concetti di molteplicità e di movimento.
Particolarmente interessanti furono quelle che riguardavano il movimento; egli, infatti, soffermò la sua attenzione su molti fenomeni fisici ricavandone più di quaranta Paradossi, intesi questi come contraddizione logica contenuta nella stessa argomentazione.
Fra i più noti ricordiamo quello sulla Dicotomia (basato sulla progressiva bipartizione delle distanze), su Achille e la tartaruga (ovvero sull'impossibilità di congiungersi di due corpi in movimento), sulla Freccia (impossibilità del moto). Per brevità e facilità di comprensione tralasciamo gli altri.
Paradosso della Dicotomia o del Regresso all'infinito
Con questo paradosso Zenone voleva dimostrare l’impossibilità sia di partire sia di arrivare. Egli affermava che per percorrere lo spazio intercorrente tra due punti A e B di lunghezza determinata, sarebbe stato prima necessario raggiungere il punto medio C fra di essi. Analogamente, tra C e B, si sarebbe dovuto prima raggiungere il punto D, a metà tra i due e ad ¼ da B nei confronti di A. Di questo passo il punto B non si sarebbe mai raggiunto.

Paradosso di Achille e la tartaruga

In questo caso, simile al precedente, egli sosteneva che due corpi in movimento nella stessa direzione, anche se il primo più veloce del secondo, non si sarebbero mai congiunti.
Per questa dimostrazione Zenone usò un esempio singolare, prese infatti come protagonisti il "piè veloce" Achille e la lenta tartaruga.
Immaginò che Achille si impegnasse in una gara di velocità ad handicap con una tartaruga.
Achille sarebbe partito da un punto A mentre la tartaruga da un punto B in vantaggio iniziale rispetto ad A; pur muovendosi con una velocità maggiore di quella della tartaruga, Achille non l'avrebbe mai raggiunta.
Supponendo, infatti, che il segmento AB fosse il vantaggio della tartaruga su Achille, questi avrebbe dovuto giungere in B per raggiungerla. Nel frattempo però la tartaruga sarebbe passata in C e quando Achille fosse giunto in C, essa sarebbe già passata in D e così via, per spazi infinitamente più piccoli, senza mai raggiungerla.

Nota: Se siete curiosi di sapere come andarono le cose tra Achille e la tartaruga, leggete questo post :-)

Paradosso della Freccia
Con questo argomento Zenone voleva dimostrare che il movimento non esiste prendendo come esempio proprio un corpo in movimento.
In pratica, sosteneva che una freccia lanciata nello spazio era in realtà ferma.
Egli argomentava, infatti, che in ciascuno degli istanti in cui fosse stato divisibile il tempo del volo, la freccia avrebbe occupato uno spazio identico alla propria lunghezza, e così per tutto il tempo del moto.
Poiché ciò che occupa uno spazio identico è in riposo, ed essendo la freccia in riposo in ciascuno degli istanti, lo sarebbe stato anche nella totalità degli istanti stessi.

Confutazione dei paradossi del moto
In alcuni dei suoi paradossi, in particolare nei primi due citati, Zenone assumeva implicitamente che data una serie infinita di dati doveva necessariamente essere infinita anche la loro somma.
L'affermazione, in realtà, aveva un suo costrutto che, con le conoscenze matematiche del tempo non poteva essere confutata "matematicamente" ma solo logicamente.
Infatti per spiegare il fenomeno occorre ricorrere al concetto di "convergenza delle serie numeriche non geometriche" che venne sviluppato per la prima volta solo nel XIV secolo dal matematico Richard Suiseth.
Il ragionamento di quest'ultimo era lungo e complicato, a noi basta estrapolare la conclusione: una somma di infiniti termini non è necessariamente infinita, ma ad essa può corrispondere anche un valore finito.
Da un punto di vista logico, i primi due paradossi sono di semplice soluzione in quanto sappiamo che le distanze possono essere coperte e superate.
Per esempio, nel paradosso di Achille e la Tartaruga, peraltro analogo al precedente degli spazi, "sappiamo logicamente" che Achille può raggiungere e superare la tartaruga; è sufficiente immaginarci la scena: chi corre più forte raggiunge e sopravanza chi è più lento.
Al riguardo, per quanto banale, possiamo anche chiedere un piccolo aiuto ad Excel.
Immaginiamo di porre in colonna A i tempi in secondi, in B gli spazi percorsi da Achille nei tempi relativi ed in colonna C quelli della tartaruga comprensivi del margine di vantaggio iniziale.
Come si può facilmente osservare, al tempo 0.00.00 Achille è a 0 mt mentre la tartaruga è a 100 mt dalla linea di partenza. Ogni secondo Achille avanza di 10 mt mentre la tartaruga di 10 cm = 0,1 mt.
Ai 10 secondi Achille ha raggiunto i 100 mt. che erano il vantaggio iniziale della tartaruga (non si può certo dire che il nostro Achille fosse un primatista mondiale di velocità, alle ultime Olimpiadi di Pechino il giamaicano Usain Bolt ha corso i 100 mt. in 9,69"!), nel contempo la tartaruga è arrivata a 101 mt. (per contro la nostra tartaruga è un mostro di velocità!).
Però già all' 11° secondo Achille ha sopravanzato la tartaruga di 9 mt.
Fenomeno che possiamo vedere anche graficamente:

Il paradosso della Freccia venne confutato matematicamente solo alla fine del XIX secolo, quando venne sviluppata la teoria dei numeri reali in base alla quale da un lato si affermava che lo spazio e il tempo erano infinitamente divisibili, dall'altro che l'insieme dei suoi elementi si poteva invece misurare (cardinalità illimitata).
A proposito di quest'ultimo paradosso, si racconta che un giorno il filosofo Antistene "il cinico", che non poteva soffrire Zenone proprio per via dei paradossi, andò a trovarlo per discutere appunto delle sue assurde teorie. Però, non riuscendo a controbattere Zenone sul paradosso della freccia, cominciò a camminare nervosamente su e giù, tanto che Zenone, spazientito, esclamò:
- Ma vuoi stare fermo un momento!
- Ah! Allora ammetti che mi muovo? - rispose Antistene.

Effetto Zenone quantistico
Oggi possiamo affermare che, nonostante l'apparente assurdità dei paradossi di Zenone, questi sono stati utili per sviluppare molti concetti alla base della matematica e della fisica moderne, per questo non si dovrebbe liquidarli banalmente.
Persino nella meccanica quantistica riecheggia il nome di Zenone nel cosiddetto "effetto Zenone quantistico".
Riprendendo metaforicamente il paradosso della freccia, si afferma che un sistema, che decadrebbe spontaneamente, è inibito o addirittura non decade affatto se sottoposto ad una serie infinita di osservazioni (o misure).
E bravo Zenone!!
Grazie Paolo!

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giovedì 23 ottobre 2008

[Esercitazioni] Riduzione di frazioni ai minimi termini

Giulia G. ha preparato un file Excel sulla

riduzione di frazioni ai minimi termini
Per semplificare le frazioni ha utilizzato l'operatore "/" con i riferimenti relativi di cella, ad es.
=A9/B9
L'ho aiutata ad impostare il formato personalizzato per i divisori.
Un esempio:
Nella cella B9 è stato digitato il valore 2, ma appare "/2". (Digitando la stringa "/2", questa sarebbe stata interpretata dal programma come testo e non si sarebbero potuti eseguire i calcoli)
Per applicare il formato personalizzato (versione excel: 2003):
1) Si seleziona la cella contenente il divisore, es B9
2) Menu Formato
3) Si sceglie Celle
Nella finestra Formato Celle
4)
Scheda Numero
5)
Categoria: Personalizzato
6)
Nel campo: Tipo si digita : "/" 0 (zero)
7) Ok
Come da immagine:

Volendo... si può scaricare il file frazioni_semplificazioni.xls

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martedì 21 ottobre 2008

Uniti per sempre. Il re dei numeri....

UNITI PER SEMPRE
Lui. Mi hanno assegnato il numero di Erdös 12!

Lei.
Che cos’è un numero di Erdös?

Lui. Paul Erdös è uno dei grandi matematici del XX secolo. È morto nel 1996 al termine di una intensissima produzione scientifica. Ed era convinto della bontà del lavoro collaborativo in matematica. Tant’è che degli oltre 1500 articoli che recano la sua firma, un’alta percentuale sono stati scritti assieme a qualche collega. Ora, si è stabilito che Erdös abbia il numero di Erdös zero. Gli oltre 500 colleghi che hanno firmato un articolo insieme ad Erdös hanno il numero 1. Se hai scritto un articolo con uno di loro (ma non direttamente con Erdös) ti assegnano il numero 2. E così via. Io ho scritto un articolo con un filosofo che aveva scritto un articolo con un fisico che aveva scritto... e così via fino a Erdös, in 12 passaggi. E così ho il numero 12.

Lei. (Con un velo di ironia) Non è un numero un po’ alto per essere tanto soddisfatti?

Lui. Certo, mi piacerebbe avere un numero più basso. (Einstein aveva il numero 2; Fermi il 3.) Ma per uno storico dell’arte come me non è male. Soprattutto, pensa al fatto che in questo modo permetterò ai miei coautori di avere come massimo il numero di Erdös 13...
È un modo di trasmettere la passione per la conoscenza.

Lei. Il numero di Erdös cresce con il tempo, ma mi stupisce che sia così alto. Dopotutto, non vale il principio dei sei gradi di separazione.

Lui. Che cos’è un grado di separazione?
Il dialogo, tra il serio e lo scherzoso (nella forma), prosegue sui gradi di separazione.
Da La Stampa, 9 maggio 2002
di Luciano Coen e Achille C. Varzi
Questo per parlarvi di
Paul Erdös
un matematico praticamente da sempre.

Maurizio? eccolo!:-)
Erdös incarna alla perfezione lo stereotipo del matematico stravagante, geniale, solo e un po' matto e offre lo spunto per parlare di matematica e incuriosire con le sue storie.
Si ritiene sia stato il secondo matematico più prolifico di tutti i tempi, superato soltanto da Leonhard Euler (Eulero), ha dimostrato un'innumerevole quantità di teoremi o ha risolto e lasciato da risolvere un altrettanto grande numero di problemi (circa 1500 articoli pubblicati, 50 o più inediti dopo la sua morte).
Come il più tipico dei bambini prodigio, a tre anni poteva calcolare a memoria moltiplicazioni a più cifre, a quattro aveva chiaro il concetto di numero negativo, poi imparò tutto il possibile sui numeri.
Ma ciò che rende Erdös assolutamente unico è la sua bizzarra esistenza.
Senza una casa, senza una cattedra universitaria o un posto da ricercatore, senza una famiglia (se si esclude la madre), Erdös ha vissuto per più di 60 anni in giro con due valigie, presso case di amici matematici o alberghi e un solo scopo nella vita: ["fare matematica:dimostrare e congetturare"]
"Poteva accadere ad ogni ora del giorno o della notte. Alla porta di alcuni dei più importanti matematici del secolo si presentava un uomo di bassa statura, con la barba lunga e un vecchio paio di occhiali dalla spessa montatura nera. La frase con cui chiedeva ospitalità era sempre la stessa: «Il mio cervello è aperto». A risolvere i calcoli più' ardui e a spiegare le congetture più' complesse.
Il visitatore inatteso, ma sempre gradito, era Paul
Erdös, uno dei piu' eccentrici matematici del Novecento. Ebreo ungherese, membro della scuola di John von Neumann ed Edward Teller.
Erdös, che a 17 anni era già considerato un prodigio, arrivò in America nel 1938, ma fu costretto ad andarsene in seguito alle persecuzioni maccartiste. Da allora iniziarono le sue incessanti peregrinazioni per il mondo.
La sua fertilissima attività di esploratore alla scoperta di terre sconosciute nel pianeta dei numeri e la sua crescente estraniazione dalla realtà, dai rapporti umani, dalle relazioni affettive, lo portarono a condurre un'esistenza estremamente bizzarra: usava un proprio personalissimo vocabolario (epsilon stava per bambino, Sommo Fascista per Dio etc.)
Nessun «buon giorno» o «Come va?» era previsto nel suo vocabolario, bastava un «Sia n un numero intero positivo, data la funzione f(x)…».
Non aveva una casa propria, non mostrava il minimo interesse per il cibo, il sesso, il denaro, la compagnia, l'arte. Tutto ciò di cui aveva bisogno era contenuto in due logore valigie, per lo più zeppe di appunti, che lo accompagnarono per 60 anni a un ritmo frenetico attraverso 4 continenti alla caccia di problemi e talenti matematici.
In questo secolo per trovare un'altra vita così intensamente dedita all'astrazione bisogna risalire a Ludwig Wittgenstein(1889-1951), che si spogliò di tutto per la filosofia. Ma mentre Wittgenstein rinunciò alla fortuna di famiglia in una forma di auto tortura,
Erdös dava via la maggior parte del denaro che guadagnava semplicemente perché non ne aveva bisogno.["La proprietà è un fastidio"]
E mentre Wittgenstein era dominato da impulsi quasi suicidi,
Erdös strutturò la sua vita semplicemente per trarne la massima quantità di felicità (Matematica)." (da L'uomo che amava solo i numeri - Paul Hoffman)
Il grande evento matematico del 1949 fu una prova elementare del Teorema dei Numeri Primi, a opera di Atle Selberg ed Erdös.
Il risultato, che preannunciava la distribuzione dei numeri primi con una certa accuratezza, era stato dimostrato per la prima volta nel 1896 con un metodo sofisticato e si pensava che non fosse possibile alcuna dimostrazione elementare.
Erdös aveva soltanto 20 anni quando scoprì questa dimostrazione così elegante per il famoso teorema della teoria dei numeri.
Il teorema dice che per ogni numero maggiore di 1, esiste sempre almeno 1 numero primo tra questo e il suo doppio.
Erdös perseguì il suo interesse per la teoria dei numeri per tutta la vita, ponendo e risolvendo problemi che erano spesso semplici da enunciare ma notoriamente difficili da risolvere, e che coinvolgevano le relazioni tra i numeri. Erdös credeva che se si enuncia un problema matematico rimasto irrisolto per più di cento anni, si tratta probabilmente di un problema di teoria dei numeri.
Erdös, come molti altri matematici, credeva che le verità matematiche sono scoperte, non invenzioni. Egli vagheggiava di un Grande Libro nel cielo, sorretto da Dio, che conteneva le dimostrazioni più eleganti di ogni problema matematico. Egli scherzava su quel che avrebbe potuto trovare se soltanto avesse potuto dare un'occhiata a quel libro.
Paul Erdös collaborava con così tanti matematici che il fenomeno del numero di Erdös si è evoluto. I numeri di Erdös sono stati oggetto di pubblicazioni scientifiche.
Per dare ancora un'idea del lavoro di Erdös, rimando a quest'altra interessante pagina.

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lunedì 20 ottobre 2008

Quadrati magici e stranezze

Un quadrato magico, (quasi) tutti sanno, è uno schieramento di numeri interi distinti in una tabella quadrata tale che la somma dei numeri presenti in ogni riga, in ogni colonna e in entrambe le diagonali dia sempre lo stesso numero; tale intero è denominato la costante di magia o costante magica o somma magica del quadrato.

"Il quadrato magico occidentale (esistono quadrati magici islamici) preferito dal dottor Googol è quello di Albrecht Dürer, che compare in alto a destra nella sua incisione Melencolia I


Melencolia l di Albrecht Dürer (1514). Quest'opera è generalmente considerata la più complessa tra quelle di Dürer; le sue diverse valenze simboliche hanno confuso per secoli gli studiosi. Perché secondo voi l'artista ha rappresentato un quadrato magico in alto a destra? Gli studiosi credono che l'incisione mostri l'insufficienza del sapere umano per raggiungere la saggezza celeste, oppure per penetrare i segreti della natura.
Il quadrato magico 4 x 4 di Dürer, che può essere anche rappresentato come
contiene i primi 16 numeri e ha alcune affascinanti proprietà.
I due numeri centrali nella riga in basso si leggono come 1514, l'anno in cui Dürer realizzò l'incisione.
Inoltre, in verticale, in orizzontale e nelle 2 diagonali, la somma dei numeri è 34. In più, 34 è la somma dei numeri dei numeri agli angoli (16 + 13 + 4 + 1 ) e di quelli al centro (10 + 1 1 + 6 + 7). La somma dei numeri rimanenti è 68 = 2 x 34. Dürer voleva forse dirci qualcosa di particolare sul numero 34?

Mark Collins, un collega di Madison, Wisconsin, interessato tanto alla teoria dei numeri quanto all'opera di Dürer, ha studiato il quadrato di Dürer e ha trovato alcune sorprendenti caratteristiche quando ha convertito i numeri in codice binario. (Nella rappresentazione binaria, i numeri sono scritti in un sistema numerico posizionale che utilizza soltanto due cifre, 0 e 1).
Poiché i primi 16 numeri binari esadecimali cominciano con il numero 0 e terminano con 15, egli sottrae 1 da ogni elemento del quadrato magico. Sotto si può vedere il risultato:

È da notare il fatto che se la rappresentazione binaria del quadrato magico viene ruotata di 45° in senso orario intorno al suo centro in modo che il 15 sia sopra e lo 0 sotto, la struttura risultante sembra avere uno specchio piano al centro:
Per esempio, nella riga due, 0100 è l'immagine speculare di 0010. (Il dottor Googol dubita grandemente che Dürer sapesse di questa simmetria.)

Se ruotiamo il quadrato binario in senso antiorario in modo che il 12 sia in alto e il 3 in basso, e poi disegniamo uno specchio verticale immaginario al centro, vedremo una particolare inversione del sinistra-destra:

Per esempio, nella seconda fila, 0001 e 0111 sono immagini speculari inverse l'uno dell'altro.

Mark Collins ha scoperto la presenza di misteriosi esagrammi interconnessi quando i numeri pari e dispari sono connessi:
Il dottor Googol sarebbe interessato ad ascoltare chi di voi riuscirà a trovare ulteriori significati o strutture nel quadrato magico di Dürer.
Mark Collins e il dottor Googol non conoscono altri quadrati magici che abbiano le proprietà simmetriche quando convertiti in numeri binari.
Mark ha anche effettuato numerosi esperimenti convertendo questi numeri in colori e così commenta: "Io credo che il quadrato magico sia un archetipo così ricco di significati e di misticismo come lo sono I Ching. Credo sia una rappresentazione matematica e visiva dell'origami della natura - bella come un fotone di luce".
Mark suggerisce che dovreste creare altri diagrammi secondo un processo di mitosi connettendo 0 con 1, 2 e 3. Poi alzate la mano e unite 4 con 5, 6 e 7. Unite 8 con 9, 10 e 11. E ancora 12 con 13, 14 e 15."
Da La magia dei numeri, Clifford Pickover, Sfide Matematiche, vol. 4.

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venerdì 17 ottobre 2008

La frazione è anche un numero

La frazione esprime un quoziente fra due numeri.
Giacomo ci "racconta" ....

Abbiamo visto in tanti problemi che la frazione funziona come "operatore" sulle grandezze o sulle loro misure.
Oggi la prof ci ha presentato un altro problema. Ci ha detto che questo tipo di problemi è stato ritrovato in uno dei più antichi documenti scritti [il Papyrus Rhind], un papiro egiziano del 1600 a.C.
Uno di questi problemi parla di divisione di 7 pani fra due persone.
L'uomo con i numeri naturali riusciva facilmente a eseguire una divisione, per es. 6 pani fra 3 persone: dava 2 pani ad ogni persona.
Ma noi sappiamo già che la divisione non sempre si può fare nell'insieme N.
E quando si è presentato il problema di 7 pani fra 2 persone?
La prof ci ha chiesto come avremmo risolto noi quel problema.
Io ho proceduto così:

Ho preso i 7 panini e ognuno di essi l'ho diviso per 2 e a ogni persona ho dato la metà di ciascun pane, cioè ½. In seguito ho addizionato ogni 1/2 che la persona riceveva e come risultato ho ottenuto 7/2: è la parte che spetta a ogni persona.
Un altro problema che ci ha dato la professoressa:
un uomo doveva dividere i suoi 3 appezzamenti di terreno ai suoi 4 figli. Come fare?
Il procedimento cosi:

Ho preso i 3 appezzamenti e li ho divisi per il numero dei figli cioè per 4, in seguito ho addizionato ogni ¼ di appezzamento e sono arrivato alla conclusione che a ogni figlio spettava ¾ di appezzamento di terreno.
Abbiamo scritto alla lavagna le due divisioni con i risultati:
7 : 2 = 7/2
3 : 4 = 3/4
Le frazioni
7/2 e 3/4 sono i quozienti delle due divisioni.
Q
uindi possiamo dire che la frazione è un numero: è il quoziente tra due numeri interi. Con le frazioni l'uomo ha scoperto nuovi numeri.
Bene, Giacomo. Dobbiamo ancora approfondire la conoscenza di questi nuovi numeri!

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giovedì 16 ottobre 2008

[Esercitazioni] I riferimenti di cella in Excel

Gian Mario, il nostro Gimmi, ha preparato un file molto carino dove ci spiega
i riferimenti di cella in Excel.
Questa un'immagine, fate un clic per ingrandire.


Il file di GianMario da scaricare: riferimenti cella .xls
bravo gimmi! :-)

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martedì 14 ottobre 2008

Alla caccia dei numeri primi in Pi (pigreco)

Il dottor Googol e Monica sono impegnati in un'operazione segreta....
Mentre cadeva nel cielo scuro, Googol si girò verso Monica:
"Monica, 3 è un numero primo. Anche 31. Questi numeri sono anche il primo e le prime 2 cifre nell'espansione decimale di π = 3,14159... Mi domando se ci sono altri numeri interi k tali che le prime k cifre decimali di π siano numeri primi? Sai trovarne qualcuno? Pensi che ce ne siano molti?"
II vento impetuoso fluttuava attraverso i capelli di Monica come uno stormo di gabbiani.
"Dottor Googol, mi risulta che anche 314.159 (k = 6) sia un numero primo".
"Oh, Monica, mi hai reso così felice!"
"Dottor Googol, sa dirmi perché noi stiamo per infiltrarci nelle installazioni militari in giro per il mondo? Stiamo per disarmare i piccoli computer degli infidi terroristi'? Stiamo per disattivare le armi atomiche di instabili superpotenze?"
"In un certo senso, sì. Stiamo per costringere i loro computer a dare la caccia ai numeri primi di π. Questo renderà i militari inoffensivi e porterà la pace nel mondo".
Prima che il dottor Googol e Monica aprissero i loro paracadute, il dottor Googol si domandò se i successivi numeri primi di π sarebbero mai stati trovati. Si tratta di un compito così grande da superare la portata dei moderni supercomputer? Forse i successivi numeri primi di π (simboleggiati da ) saranno relegati nel regno dei miti, come gli dei sovrumani dell'Olimpo degli antichi.

I matematici conoscono i primi-pi, , per k= 1, 2, 6 e 38 che corrispondono ai primi
(k) =3, 31, 314159, 31415926535897932384626433832795028841, ...?
Qualcuno di voi conosce il successivo di sequenza? Il dottor Googol crede che esista un'infinità di primi della forma (k) ma che né l'uomo né un'altra forma di vita nell'universo conoscerà mai il primo che segue
(38). È semplicemente troppo grande perché i computer riescano a trovarlo.
Martin Gardner nel suo libro Gardner's Whys and Wherefores nota che molti ricercatori hanno provato a rintracciare i "primi-pi inversi".
Indicati con il simbolo , si tratta di numeri primi nelle n prime cifre di π letto al contrario.
Ci aspettiamo che siano più numerosi di , perché tutti i pi-inversi terminano con 3 (la prima cifra di π), uno dei 4 numeri con cui deve terminare un numero primo; gli altri sono 1, 7, e 9. Diversamente i numeri possono terminare con qualsiasi numero, il che significa che soltanto il 40% dei numeri ha una possibilità di essere primo.
Sono stati trovati sette numeri : 3, 13, 51413, 951413, 2951413, 53562951413 e 979853562951413.
Se potete trovare qualche e-primo, scrivete al dottor Googol.
Da La magia dei numeri, Clifford Pickover, Sfide Matematiche, vol. 4.

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