La Torre di Hanoi - Il gioco della fine del mondo

Ragazzi, ci siete? dove siete? :D
Ma si, scherzo, godetevi le vacanze....
E tuttavia se doveste collegarvi sappiate che d'estate ritroverete ... ricreazione!
I giochi, carissimi, che tanto vi piacciono!
Cominciamo con il gioco della

Torre di Hanoi

Leggete prima una storiella, poi subito un clic per andare a giocare! Di seguito ci sono delle altre curiosità...per i più bravi! :-) :-)

Narra la leggenda che nel grande tempio di Benares, in India, sotto la cupola che indica il centro del mondo, si trovi una lastra di bronzo sulla quale sono stati fissati tre pioli di diamante.
Su uno di questi pioli, al momento della creazione, Dio infilò sessantaquattro dischi di oro puro, il più grande a contatto diretto con la lastra di bronzo e poi via via gli altri fino ad arrivare al più piccolo in cima. È la Torre di Brahma.
Notte e giorno, senza sosta, i monaci trasferiscono i dischi da un piolo di diamante all'altro in conformità alle leggi fisse e immutabili di Brahma, per cui non si deve spostare più di un disco alla volta e bisogna infilarlo nell'altro piolo in modo tale che nessun altro disco più piccolo si trovi al di sotto.
Quando i sessantaquattro dischi saranno trasferiti nella corretta successione dal piolo in cui Dio li ha collocati a uno degli altri, la Torre, il tempio e i brahmani diverranno polvere e, con un gran fragore, arriverà la fine del mondo.
Per il momento, comunque, non c'è da preoccuparsi troppo perché, supponendo che il lavoro fosse svolto nel modo più efficiente possibile, sarebbe necessario effettuare un minimo di 18.446.744.073.709.551.615 movimenti che, a una media di una mossa al secondo, sarebbero
compiuti in seimila milioni di secoli.

Torre di hanoi in legno e una copia del gioco, Pyramids, messa in commercio nel 1929

Un po' di storia
In realtà, il rompicapo della Torre di Hanoi fu inventato nel 1883 dal matematico francese Édouard Lucas, che lo chiamò "La Tour d'Hanoi". Come è indicato nella scatola originale del gioco,

il rompicapo fu importato da Tonchino dal professor N. Claus originario del Siam, mandarino della Scuola "Li-Sou-Stian".
Ma tutto questo gioco di parole risultò essere nient'altro che l'anagramma di Lucas d'Amiens, della scuola di Saint-Louis, nella quale insegnava.
Anche la leggenda del tempio di Benares fu inventata da Lucas e pensata per suscitare interesse e aggiungere fascino al gioco.
Ora ... a giocare su Math.it! Badate di cliccare su Regole!

E ora le curiosità.
Una torre frattale
Esiste una sorprendente relazione tra la Torre di Hanoi e il curioso oggetto frattale (sui frattali non posso non tornare!) denominato triangolo di Sierpinski.

Cliccando sull'immagine potrete seguire la sua formazione mediante applet...

Tale rapporto fu descritto nel 1992 da Jan Stewart e si rivela partendo dalla costruzione del grafo della Torre di Hanoi.
Seguendo l'idea di Stewart, nella Torre di Hanoi a ogni configurazione si associa, oltre a un punto di riferimento, una serie ordinata di numeri, tanti quanti sono i dischi, nel seguente modo:
- prima si numerano i pioli da 1 a 3, così che, ad esempio, quello a sinistra sia il numero 1, quello centrale il 2 e quello di destra il numero 3.
- Successivamente si associa una serie di numeri ad ogni configurazione: la prima rappresenta il numero di piolo occupato dal disco più piccolo, la seconda il numero di piolo in cui si trova il disco che come formato occupa la seconda posizione, ecc.
Così, per esempio, la serie (1, 2, 3, 2) indicherebbe la seguente configurazione di quattro dischi:

Si suppone che nello stesso piolo i dischi siano ordinati dal più grande al più piccolo come stabiliscono le regole generali del gioco.
In tal modo, ogni serie di numeri designa una sola configurazione possibile.

Come si osserva nel grafo qui sopra, per una Torre di Hanoi da 1 disco, le uniche configurazioni possibili sono: (1), (2), (3).
Per una Torre di Hanoi da due dischi ci sono nove configurazioni possibili, relazionate tra loro come indicato nel grafo corrispondente:

Analogamente, per tre dischi esistono 27 configurazioni differenti relazionate come segue:

Gli archi del grafo della Torre di Hanoi descrivono a poco a poco una figura che ricorda moltissimo il triangolo di Sierpinski.
Man mano che aumenta il numero di dischi, la corrispondenza tra i due disegni diventa sempre più evidente.

Un'apparizione inattesa: il numero binario
La soluzione della Torre di Hanoi è strettamente relazionata con il sistema di numerazione binaria.
Numerando infatti i dischi in modo progressivo (1, 2, 3, 4...), ciascuna mossa della Torre di Hanoi può essere rappresentata dal numero del pezzo che viene spostato.
In questo modo, le sette mosse necessarie alla soluzione di una torre di tre dischi possono essere indicate semplicemente dalla successione dei numeri 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1.
Successivamente, scrivendo i numeri binari in ordine crescente, si può osservare che tra un valore e il successivo c'è sempre una e una sola cifra che passa da 0 a 1, in qualunque delle tre possibili posizioni:

Se si annota ora la posizione che occupa tale cifra partendo da destra, si ottiene a sorpresa la successione di mosse della Torre di Hanoi e questa relazione con il sistema binario continua ad essere valida con qualsiasi numero di dischi.

Da: GIOCHI d'ingegno - Fabbri Editore

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