Spirale degli irrazionali o di Teodoro e ...

Ragazzi, ricordate la "chiocciola delle radici quadrate"?
Ho rinfrescato la versione con geogebra

Clic sull'immagine per vedere animata la Spirale delle radici quadrate o degli irrazionali, detta anche Spirale di Teodoro di Cirene.
Aggiungiamo un esercizio, un'attività:
come "costruire" un segmento lungo: radice quadrata di un numero qualsiasi?
Dobbiamo necessariamente partire dal triangolo rettangolo di cateti unitari (di misura 1) ? Non è necessario.
Osservate la radice quadrata di 11:
si ottiene dal triangolo rettangolo di cateti: radice quadrata di 10 e 1;
la radice di 10 a sua volta dal triangolo rettangolo di cateti: radice di 9, cioè 3, e 1.
Questo ci suggerisce quindi che: basta partire dal quadrato perfetto che immediatamente precede la radice quadrata che si vuol costruire.
Facciamo un esempio su come fare con geogebra.
Costruzione del segmento lungo: radice quadrata di 18:
1) Con lo strumento: Segmento di data lunghezza, costruite il segmento AB lungo: 4 (radice di 16)
2) Costruite la circonferenza di centro A e raggio: 1
3) tracciate la perpendicolare ad AB passante per A
4) individuate il punto di intersezione tra la perpendicolare e la circonferenza
5) unite con un segmento tale punto (D) con il punto B ( segmento DB): avete costruito il segmento lungo: radice di 17
6) costruite la circonferenza di centro D e raggio: 1
7) tracciate la perpendicolare a DB passante per D
8) individuate il punto di intersezione tra questa perpendicolare e la circonferenza
9) unite con un segmento tale punto (E) con il punto B (segmento EB): avete costruito il segmento lungo radice quadrata di 18.
Noterete, vedi punti 2, 3, 4, 5, e punti 6, 7, 8, 9, che si tratta di ripetere la stessa procedura (si dice reiterare) per tutti i numeri irrazionali, le radici quadrate, che si vogliano costruire [si utilizza ripetutamente il Teorema di Pitagora .... vedi nostro post su citato).

[Segnalazioni] La Scienza è più Facile Grazie alla Matematica

Su Gravità Zero ho appena letto un articolo di Walter Caputo sul problema della difficoltà della scienza.
W. Caputo è convinto che "la soluzione sia utilizzare uno strumento potentissimo: la matematica".
Sulla valenza della matematica scrive:

... e

Gravità Zero - Divulgazione Scientifica: LA SCIENZA È PIU’ FACILE GRAZIE ALLA MATEMATICA via kwout

Ragazzi, che vi dico? :-) Questa è una riflessione in più!
Grazie W. Caputo

Dai pavimenti ... alle isoperimetrie!

Anna Laura mi invia la sua relazione sulle attività...

Abbiamo fatto il lavoro sui “pavimenti matematici”: quasi tutti li abbiamo costruiti a casa [solo qualcuno con la costruzione come da "disegno tecnico"!] e poi anche a scuola con geogebra (la prof ci ha fatto scoprire una maniera facilissima con lo strumento “Simmetrico rispetto a una retta”).
Dopo aver provato ad affiancare triangoli con triangoli, quadrati con quadrati, esagoni ecc ecc siamo arrivati a dire, per primo Giammario, che solo i poligoni regolari che formano un angolo giro quando combaciano in un vertice possono formare una specie di pavimento senza lasciare buchi e spazi vuoti.
Con il triangolo dobbiamo affiancarne 6:

il triangolo equilatero quindi regolare, ha l'angolo interno di 60°

Se usiamo quadrati ne servono 4:

il quadrato ha l'angolo di 90°

Con l'esagono ne bastano 3:

l'esagono regolare ha l'angolo interno di 120°

Dopo questo lavoro abbiamo deciso di costruire con geogebra i poligoni regolari con uguale perimetro.
Abbiamo cercato una misura di perimetro adatta per il triangolo, il quadrato, il pentagono, l’esagono…. : abbiamo fatto in modo che la misura fosse divisibile per il numero di lati (3, 4, 5, …) ottenendo almeno dei numeri decimali limitati (21 poteva andare, siamo arrivati all’ettagono).
Queste figure che abbiamo “costruito” si chiamano isoperimetriche cioè hanno lo stesso perimetro.

Abbiamo misurato con geogebra sia i perimetri che le aree. [i poligoni sono stati costruiti usando lo strumento Segmento di data lunghezza e poi Poligono regolare]
Ci siamo subito accorti che l’area dei poligoni aumenta all’aumentare del numero di lati del poligono. Ci immaginiamo quindi che aumentando ancora il numero di lati…
A questo punto la prof ci ha raccontato questa storia:
“molto tempo fa [800 A.C. circa] la regina Didone, figlia del re di Tiro, scappò dal suo paese per motivi politici e famigliari, arrivò in una città chiedendo accoglienza e il re pensando di prenderla in giro le diede una pelle di bue e le disse che poteva abitare dentro i confini di quella pelle. Allora Didone, furba, taglia la pelle in tante strisce fini, ne fa una corda e la dispone … la prof chiede secondo noi come, e noi dopo un po’ diciamo: a forma di cerchio (la prof ci ricorda che aumentando il numero di lati… e poi Sara in un suo lavoro aveva usato tanti piccoli segmenti per avere una curva…). Da quel cerchio la regina Didone costruì la città di Cartagine.
Non so se questa storia è una leggenda ma ci insegna che il cerchio è la figura con area maggiore a parità di perimetro.
Poi la prof ci dice: vi siete mai chiesti come mai le api per costruire le celle del favo utilizzano la forma di esagono?

L'esagono è la forma che permette di contenere più miele perché ha un’area più grande del quadrato o del triangolo di uguale perimetro. [E queste tre forme come abbiamo visto dai "pavimenti" si possono affiancare senza lasciare spazi vuoti e senza sovrapporsi]
Ma le api non usano la forma a cerchio perché resterebbero spazi vuoti mentre l’esagono non lascia buchi.

Anna Laura

Problemi di massimo e di minimo ... con geogebra

... ovvero, per noi, di isoperimetria ed equiestensione.
Ragazzi,
nell'attesa del vostro racconto sui poligoni di uguale perimetro, della storia della costruzione di Cartagine ad opera della regina Didone, e di come le api siano formidabili esperte in geometria piana,
pubblico, come promesso, i lavori realizzati con geogebra sui triangoli isoperimetrici e sui triangoli equiestesi (qualcuno di voi si è ripromesso di provarci: attendo!).
Cominciamo dai primi, i triangoli isoperimetrici
Abbiamo immaginato (e dovreste farlo a casa...) la costruzione di un triangolo mobile con l'utilizzo di uno spago, il perimetro così non varia, di una data lunghezza. Abbiamo detto che occorre fissare lo spago in due punti, che costituiscono gli estremi della base del triangolo; il terzo vertice dobbiamo renderlo mobile, in maniera tale da costruire più triangoli con lo stesso perimetro ma di diverso tipo.
La discussione su come far muovere questo terzo vertice, dopo varie proposte di spezzate e di circonferenze... (e Sara che ha pensato alla versiera di Agnesi! brava Saretta ;-)), ci ha portato a farlo scorrere lungo un'orbita ellittica, come quella della terra intorno al sole e come quella degli elettroni attorno al nucleo dell'atomo [in alcuni modelli atomici...].
Con i disegni abbiamo visualizzato diversi tipi di triangoli. Si tratta di stabilire:
quale triangolo fra tutti quelli di uguale perimetro, ha l'area più grande?
Noi abbiamo trovato la risposta.
Per ...altri alunni: potete scoprirlo con geogebra!
E a tal proposito, per poter costruire con geogebra, abbiamo scoperto che esiste una curva geometrica, l'ellisse, che ha giusto la proprietà che a noi serve: la somma delle distanze di un suo punto qualsiasi da altri due punti fissi (detti fuochi dell'ellisse) è costante.
Ecco l'immagine

Si può già vedere in figura che nei triangoli, che mantengono la stessa base (i nostri due punti fissi o i fuochi dell'ellisse), a variare è l'altezza, dunque varia la loro area.
Clic sull'immagine per visualizzare il foglio dinamico. Si può fermare l'animazione agendo sul pulsante "Pause", in basso a sinistra del foglio di lavoro. E muovere manualmente il punto sullo slider per bloccare la figura al punto di area massima!

E ora i triangoli equiestesi o equivalenti.
Per studiare questi si potrebbe utilizzare un elastico, così varia il ... ?, sempre fissato su due punti, quindi con base costante, e con il terzo vertice lasciato scorrere lungo un filo rigido teso (quindi altezza costante).
Siete stati subito bravi: solo con il disegno avete detto in quale posizione l'elastico, una volta mollato, si sarebbe fermato! "Perché così è meno teso"
Insomma, avete trovato la risposta alla domanda:
quale fra i triangoli che hanno la stessa area ha il perimetro minore?
Per la risposta... qui l'immagine-geogebra,

solito clic sulla figura. L'animazione è sufficientemente lenta per verificare qual è il triangolo dal perimetro minimo!
Ecco il perché: "problemi di massimo e di minimo".
"Le due proprietà sono reciproche: possiamo, indifferentemente, considerare il minimo perimetro fra i triangoli di uguale area, o la massima area fra i triangoli di uguale perimetro"

Emma Castelnuovo, l'Officina mat3mat1ca
(alla grande studiosa di didattica della matematica Emma Castelnuovo dobbiamo le nostre attività. Sono riportate anche sul testo citato)