[Unità di apprendimento] Le 4 operazioni nell'insieme N dei naturali

Condivido per i colleghi eventualmente interessati, una mia Unità di apprendimento sulle 4 operazioni fondamentali nell'insieme N dei numeri naturali.
Cliccare qui per scaricare il file word.
Qualche immagine in anteprima (clic sulle immagini per ingrandire).
Mappa degli Obiettivi formativi e Obiettivi Specifici di Apprendimento

Scheda di espansione disciplinare (Matematica)

Scheda di espansione disciplinare (Informatica)

Buon lavoro!

[Contributi] Elementi di Calcolo delle probabilità_3

Ecco il terzo contributo di Paolo sul calcolo delle probabilità.

Frequenza e Postulato empirico del Caso
La differenza sostanziale fra la misura della Frequenza e quella della Probabilità consiste nel fatto che la prima è sperimentale mentre la seconda è teorica.
Più precisamente, la prima misura un esperimento avvenuto (estraggo palline da un'urna che contiene un certo numero rispettivamente di palline bianche e nere e misuro quante bianche e quante nere sono state estratte), mentre la seconda un evento ipotetico date certe condizioni (con che probabilità posso estrarre una pallina bianca da un'urna che ne contiene anche di nere, in un certo numero su un totale complessivo).
Ciò premesso, si dice frequenza (relativa) di un evento E, F(E), il rapporto fra il numero delle volte che l'evento si è presentato ed il numero delle prove fatte.
La formula che l'esprime è la seguente: F(E) = M/N
dove M è il numero di volte che si presenta l'evento e N il numero delle prove fatte.
Nota: il termine prove va inteso in senso lato. Nelle Scienze sperimentali e statistiche è equivalente, più propriamente, a osservazioni.

Nel presupposto che l'evento E si presenti in tutti i casi egualmente possibili ed è quindi determinabile la sua probabilità P(E), l'esperienza ha dimostrato che in una sequenza di prove F(E) assume valori molto prossimi a P(E), in genere tanto più vicini quanto maggiore è il numero delle prove.
Questa asserzione introduce un concetto, il Postulato (o legge) empirico del caso che può essere così formulato:
"In una sequenza di prove, eseguite tutte nelle identiche condizioni, ciascuno degli eventi possibili si presenta con una frequenza che non si discosta molto dalla sua probabilità. In genere l'approssimazione cresce aumentando il numero delle prove."
Un dimostrazione significativa del postulato è data dalla seguente tabella, che mostra la frequenza di uscita dei numeri del lotto in un arco di tempo sufficientemente ampio (dal 7/1/1939 al 30/8/2008 per un totale di 44.396 estrazioni):

N.B.: per rendere paragonabile la Frequenza relativa con la Probabilità, si è moltiplicato il valore per 5 in quanto 5 sono le estrazioni per ogni giocata.
Analizzando la tabella si posso desumere due importanti osservazioni:
• la convergenza del valore della Media della Frequenza relativa (5,556%) con la Probabilità di presentarsi dell'evento (1/90+1/89+1/88+1/87+1/86 = 5,683%).
N.B. il metodo utilizzato per il calcolo della probabilità verrà precisato in un successivo articolo;
• la Media della Frequenza assoluta si discosta dalla Frequenza Assoluta minima e dalla massima rispettivamente di sole 121 e 132 estrazioni. Su 44.396 estrazioni è uno scostamento del tutto insignificante (circa lo 0,272%)
Alla prossima.
Grazie Paolo!

- Stavolta mi piace integrare l'articolo di Paolo (Paolo concorda pienamente) con un esempio riguardante la relazione tra probabilità e frequenza relativa, forse di più facile comprensione per gli studenti di una scuola media.
Per fare questo confronto utilizziamo il piano cartesiano riferendoci al diagramma che rappresenta l'andamento delle frequenze.
Ci proponiamo ad es, di calcolare la frequenza con la quale escono le diverse somme dei punteggi di due dadi, dalla più piccola, 1+1=2, alla più grande, 6+6=12, nella sequenza di un certo numero di lanci.

Supponiamo di aver lanciato effettivamente due dadi e di aver eseguito tre sequenze di lanci, una di 50 lanci, una di 200 e una di 500.
Le tabelle di frequenza in figura, riportano i risultati ottenuti nei tre casi, cioè le frequenze con cui sono uscite le somme da 2 a 12.

Questo il diagramma di frequenza

in ascissa le somme che si possono ottenere,
in ordinata le frequenze in percentuale.
I punti sono uniti per meglio visualizzare l'andamento del fenomeno

Ora in maniera analoga rappresentiamo le probabilità delle diverse somme e costruiamo il diagramma di probabilità.
Come calcoliamo le probabilità delle diverse somme?
Possiamo aiutarci con una piccola tabella dell'addizione:

Lascio a voi il calcolo della probabilità delle diverse somme!
Ricordate: P(E)=m/n
m= casi favorevoli (ad es., quante volte può uscire la somma 3 ?)
n= casi possibili
Ecco il diagramma di probabilità:

in ascissa le somme possibili,
in ordinata il numero di casi favorevoli.
I punti rappresentano il numero di casi favorevoli per ciascun punteggio.
I punti sono anche qui uniti, possiamo così confrontare l'andamento della probabilità con quello della frequenza.

Osservate e rispondete:
Il diagramma di probabilità è simmetrico rispetto alla retta r. Perché?
Presenta inoltre, una "punta" in corrispondenza del valore 7. Perché?
Il confronto grafico
Confrontando il grafico delle frequenze con quello delle probabilità, si può osservare che il diagramma della frequenza, all'aumentare del numero di lanci, si avvicina sempre di più al diagramma della probabilità.
Il diagramma relativo a 50 lanci presenta più punte, quello relativo a 200 lanci presenta una punta e una maggiore simmetria, quello relativo a 500 lanci presenta una sola punta e una forma che è abbastanza simile al diagramma della probabilità.
Dunque,
la frequenza tende alla probabilità: aumentando il numero di prove, la frequenza relativa si avvicina sempre di più alla probabilità.

I numeri di Fibonacci e la formula di Binet

Mario Livio ne "La sezione aurea", parla di esigenza di una formula maneggevole per calcolare, per qualsiasi valore di n, l'nesimo numero di Fibonacci Fn, poiché la sequenza di Fibonacci è definita in maniera ricorsiva, ovvero per trovare un numero della serie, basta conoscere tutti quelli precedenti.
Ma, è possibile calcolare direttamente il termine nesimo, senza compiere gli n passaggi di ricorsione?
Es. sappiamo che per n= 24, F24= F23+F22
ma occorre costruire l'intera successione da F1 a F23!
Ecco perché occorre una formula maneggevole!
"A metà del XIX secolo, il matematico francese Jacques Philippe Marie Binet (1786-1856) riscoprì una formula che a quanto pare era già nota nel XVIII secolo al più prolifico matematico di ogni tempo, Leonhard Euler o Eulero (1707-1783), nonché al suo collega francese Abraham de Moivre (1667-1754). La formula permette di calcolare qualunque numero di Fibonacci, purché sia noto il suo posto nella successione."

La formula di Binet

$Fn= \frac{ 1 }{ \sqrt{ 5 } } [( \frac{ 1+ \sqrt{ 5 } }{ 2} ) ^n-( \frac{ 1- \sqrt{ 5 } }{2 } ) ^n]$

Sorprende constatare che una formula di questo genere, contenente addirittura termini irrazionali, possa fornire al variare di n solo numeri naturali.
Eppure è così: svolgendo i calcoli si scopre che tutte le radici si eliminano, e la frazione si semplifica fino a fornire esattamente il numero di Fibonacci corrispondente al valore di n.
Il valore [1+radq(5)]/2 che compare nella formula, corrisponde alla famosa "sezione aurea", il numero a cui tende il rapporto fra due numeri di Fibonacci consecutivi: 1.6180339..., il numero Φ

"Per valori piuttosto grandi di n, il secondo termine in parentesi quadra diventa molto piccolo, cosicché Fn è semplicemente l'intero più vicino a Φ^n/radq(5). Per esempio, per n=10, Φ^n/radq(5)=55,0036 e il 10° numero di Fibonacci è 55"
"Per pura curiosità, potreste chiedervi se ci sia un numero di F. con 666 cifre. Il matematico e scrittore Clifford A. Pickover chiama "apocalittici" i numeri collegati al 666, e ha trovato che il 3184esimo numero di F. può essere assegnato a questa categoria, avendo 666 cifre."
"Una volta scoperti, i numeri di Fibonacci sembrano saltar fuori dappertutto, non solo nella matematica astratta ma in quella applicata e nella natura in genere. "
Ne parleremo, promesso!:-)

Blog Day!

Già lo scorso anno partecipai (partecipammo, mi piace dire) al Blog Day, la "celebrazione della bellezza di comunicare",

come scrive la carissima Pokankuni, che carinissimamente e con parole di stima, mi ha piacevolmente sorpreso segnalando il nostro blog. Quando queste citazioni arrivano da una collega che si apprezza, dico, davvero danno una carica speciale ! GRAZIE Pokan!
Ed ora accolgo l'invito a segnalare altri blog.
Oddio, qui viene il difficile: i blog da segnalare sarebbero soltanto 5! :-(
Si potrà trasgredire la regola?
Io provo a mettere insieme per gruppi i blog che in questo momento ho nel cuore, per come li sento dentro!:-)
1) i blog delle brave colleghe della scuola primaria, che stimo per la loro grande professionalità, per la disponibilità, la loro grande carica umana, che mi arricchiscono costantemente...:
- Splash Ragazzi, della mia amica Renata. Ricco di spunti didattici per tutte le discipline, interessanti non solo per la scuola primaria: offre ottime occasioni per un discorso di continuità didattica con la secondaria di 1° grado. Renata utilizza per le attività didattiche Excel e Geogebra, e questo ci accomuna, come non amarla?!:-)
- Ciao Bambini, della cara Maria Pia. Spazia anche lei su tutte le discipline, condivide schede didattiche, giochi e programmi, articoli di approfondimento, attualità scolastica, proposte operative varie.
- Lo Zainetto, di Elisa. Condivide le interessanti attività della sua classe, dalle quali traspare il grande entusiasmo, l'amore per la professione e per i bambini, il desiderio di comunicare e di crescere insieme... E' una cara amica anche lei.
2) I blog di due amici che stimo particolarmente per la loro bravura, per le tematiche affrontate e perché ... sono degli amici!:-)
- Così è se mi pare, di Pier Luigi. Giornalista eclettico, sagace osservatore, arguto critico, il suo blog affronta l'attualità a 360°: politica, costume, cultura, società, filosofia....
- Metamorphosis, di Fabio. E' un bel blog il suo. Ama i classici, tratta l'attualità, i sentimenti, i valori, la poesia, la cultura....
3) I blog delle mie amiche Stella e Luigina: non aggiungo altro, sono delle amiche!
- Il bene in noi, di Stella e
- Finanza allegra, di Luigina. Sono due blog pieni di sentimento, poesia, amicizia, natura ... insomma, pieni di umanità!
4) ho aperto e chiudo tornando alla mia professione ... :
- Wild Web Chapinèring, di Mario Agati. Agati è uno ... speciale! E' solo da leggere, no non lo commento! Dalla sua "NuvolaSemantica": autismo digitale, best practice, bulimia cognitiva, bullismo, Calvino, Carrada, cellulari in classe, collegio docenti, comunicare, conoscenza, cooperative learning, costruttivismo, costruzionismo, cultura digitale, Cuore, decadenza, democrazia, Didattica, Digital Divide, docente 2.0, docente-allenatore e tanto altro....
- Le Mate-Mitiche ..., è il blog della mia collega Luciana, che ho incontrato in rete qualche mese fa. Anche Luciana, oltre ad essere un'insegnante in gambissima , mette allegria, calore ed entusiasmo nelle attività con i ragazzi. Che vivacemente intervengono sul blog!

Oh... mi fermo, non credo di poter andare oltre nella trasgressione! E mi rincresce per i blog di altri amici/amiche che tanto avrei voluto citare, ohhh penso a France, Daniele, Manuela, Nevia... Per favore cliccate sui blog roll! ... ah, ecco un altro motivo per cui i meme mi mettono in crisi. :-(

Buona navigazione.
[Aggiornamento] Matteo de La ricerca perfetta, segnala il nostro blog sul suo "Blog Day 2008". Leggete il blog di Matteo (e Marino). E' un ragazzo che frequenta la scuola media e porta avanti un gran bel blog! Merita!
Grazie Matteo.