domenica 28 febbraio 2016

Due a settimana..._15, le soluzioni

Ecco anche le nostre soluzioni del

Due a settimana..._15

Quesito 1

Per la classe prima risolvono correttamente: Andrea, Yuri, Maria, Paola, Marta C., Roberta, Aurora, Valentina, Elisa, Antonio.

Questa la costruzione di Roberta, è stata la sola a costruire!

image

Per cui riporto anche la sua spiegazione Smile:

Il perimetro del quadrato grande misura 100 cm.
Per risolvere il quesito innanzitutto ho costruito la figura. In seguito ho diviso il perimetro del rettangolo EFHG in parti uguali, segnando i punti d'intersezione tra le circonferenze e il centro di ognuna di esse. Ho ottenuto 12 parti.
Quindi ho diviso il perimetro del rettangolo EFHG, 60cm, per12: 60/12=5 cm, il raggio di ogni cerchio.
Per trovare la base di ABCD ho fatto: 5cm*6parti=30cm.
Per trovare l'altezza sempre di ABCD, 5cm*4parti=20cm.
Infine ho calcolato il perimetro utilizzando la formula: (b+h)*2 cioè (30+20)*2=100cm.

E comunque:

Andrea, seppure non troppo chiaro nella spiegazione del calcolo delle misure dei lati dei rettangoli, osserva:

il perimetro del rettangolo piccolo è i 3/5 del perimetro del rettangolo grande perché per formare il perimetro di quello piccolo ci vogliono 6 diametri mentre per quello grande ce ne vogliono 10.

E questa è una buona osservazione. Che però non sfrutta adeguatamente. Un pochino è scusato, le frazioni non le abbiamo ancora trattate per poterle sfruttare bene. Altrimenti, poiché era conosciuto il perimetro del rettangolo piccolo, avrebbe considerato, con la sua osservazione, che quello del rettangolo grande è i 5/3 di quello piccolo! E perciò sarebbe stato sufficiente calcolare i 5/3 di 60: 5/3*60=100 (o 60/3*5)

Altri spiegano, in sintesi, in questo modo:

Capisco che il perimetro passa per i diametri e raggi delle circonferenze per un tot. di 6 diametri nel rettangolo piccolo, e quindi basta fare una divisione (60/6) per capire che il diametro è 10 cm. Siccome l’altro perimetro è tangente ai cerchi avrò 10 diametri da 10 cm ciascuno. Basta fare: 10 cm*10=100 cm.

Per la terza: Alessia, Gian Franco, Antonella, Miriam, Giuseppe P., Elisa.

Riporto per tutti la risposta di Alessia:

Per trovare la misura delle dimensioni del rettangolo ho trovato la misura del diametro dei cerchi.

L'altezza del rettangolo piccolo corrisponde a un diametro e il semiperimetro a tre diametri, quindi calcolo 1/3 di P/2(60cm/2=30cm)/3= 10 cm

Quindi, per trovare le dimensioni del rettangolo grande moltiplico il diametro (10cm) per il numero di cerchi che compone la dimensione.
Quindi:
b=10cm*3=30cm
h=10cm*2=20cm
P=(b+h)*2=(30cm+20cm)*2=100 cm

Quesito 2

Per la classe prima, i solutori: Andrea:

per trovare la risposta ho controllato ogni frase. La prima è vera perché la somma di numeri dispari fatta un numero pari di volte da sempre un numero pari;
la seconda è vera perché ho sommato 17+19+21+23=80 che sarebbe un multiplo di 16;
la terza è falsa perché per esempio la somma dei primi 4 numeri dispari è 16 cioè il quadrato di 4;
la quarta è vera perché la somma di 13+15+17+19 è 64 che è il cubo di 4;
la quinta è vera perché la somma dei primi 4 è 16.

Yuri:

La preposizione falsa è: S non è mai un quadrato perfetto

Sono arrivato alla risposta facendomi uno schemino:

-S é pari perchè posso fare 1+3+5+7=16. Quindi è vera.
-S é multiplo di 16 perché posso fare 5+7+9+11=32. Quindi é vera.
-S non è mai un quadrato perfetto é falsa perchè già se faccio 1+3+5+7=16 che é un quadrato di un n°.
-S può essere un cubo perfetto perché se faccio 13+15+17+19=64 ed é un cubo perfetto.
-S è un numero maggiore o uguale a 16 è vera perchè io faccio1+3+5+7=16 oppure 9+11+13+15=48 ed é sempre e comunque maggiore di 16.

Il tutto mi ha dimostrato la risposta.

Paola:

La risposta falsa è la n° 3, perché se n è un n° dispari, che può essere 1, la formula è n+(n+2)+(n+2*2)+(n+2*3)=1+3+5+7= 16. Da questo risultato ho trovato le risposte 1 e 5. Se n è 13 faccio 13+15+17+19= 64 e ho trovato la risposta 4. Se n è 5 faccio 5+7+9+11=32 e ho trovato la risposta 2. L' ultima risposta che rimaneva era la n° 3, ma per essere sicura ho controllato tutti i risultati e più di uno era quadrato perfetto.

Roberta:

L'unica proposizione falsa è la n°3: S non è mai un quadrato perfetto.

1. S è pari     V   F
2. S può essere multiplo di 16    V   F
3. S non è mai un quadrato perfetto   V  
F
4. S può essere un cubo perfetto    V   F
5. S è sempre maggiore o uguale a 16    V   F

Per trovare questo risultato ho analizzato tutte le proposizioni.

Per la n°1 ho innanzitutto fatto due esempi: 1+3+5+7=16 e 3+5+7+9=24, da qui ho trovato la formula generale, seguendo il consiglio della professoressa (indicate un numero dispari qualsiasi semplicemente con n) -> n+(n+2)+(n+4)+(n+6) = S.
La formula sviluppata è: n*4+12 = S. Qualsiasi numero moltiplicato per 4 da come risultato un numero pari, che viene addizionato ad un altro numero pari, pari + pari = pari. Quindi si otterrà sempre un numero pari e perciò la n°1 è vera.

Per la n°2 ho fatto 16*2 = 32 e poi sono andata avanti con gli es. a partire dal secondo risultato trovato nella prima proposizione: 5+7+9+11 = 32 (corrisponde), 7+9+11+13 = 40, 9+11+13+15 = 48 = 16*3 (corrisponde), qui ho usato la stessa formula utilizzata nella prima proposizione, e anche la n°2 è vera.

Per la n°3 ho inizialmente fatto degli esempi: 16 = 4^2 (corrisponde), 24 = 5^2 (non corrisponde), 32 = 6^2 (non corrisponde). Secondo gli esempi solo uno corrisponde, ma nel testo viene utilizzata la parola "mai" quindi la n°3 è falsa.

Per la n°4 ho fatto degli esempi utilizzando la formula: a^3 = S -> 2^3 = 8 (non corrisponde), 3^3 = 27 (non corrisponde), 4^3 = 64 = 13+15+17+19 (corrisponde), quindi la n°4 è vera.

Per la n°5, l'ultima, ho segnato vero perchè nel primo es. ho iniziato dal primo numero dispari sommando agli altri tre consecutivi e ho ottenuto 16, questo significa che 16 è il numero minimo di S e che gli altri andranno per forza crescendo.

Luca (una delle proposizioni è spiegata in maniera incomprensibile, ma diamogli buone le altre), Marta, che si limita alla risposta secca alla domanda. Spiega infatti, seppure correttamente, solo la proposizione n° 3: La proposizione falsa è la terza, perchè ho preso in considerazione quattro numeri dispari consecutivi cioè: 1-3-5-7, la somma di questi è 16 e 16 è un quadrato perfetto.

 Antonio, che fa una faticaccia …!:

La proposizione falsa è la numero 3 perchè:
1)è vera perchè per esempio 1+3+5+7=16 ed è pari;
2)è vera perchè 1+3+5+7=16 che è un multiplo di 16 perchè 16 x 1=16
3)è falsa perchè 1+3+5+7=16=4 alla 2
4)è vera perchè 13+15+17+19=64 =16 alla 3
5)è vera perchè 1+3+5+7=16

Per la terza: Alessia:

Per trovare la somma di quattro numeri interi, positivi, dispari e consecutivi qualsiasi ho cercato una formula, mettendo n come numero dispari:

n+n+2+n+4+n+6=4n+12

Guardando la formula si intende subito, qualunque sia n, il risultato sarà sempre pari perché: un numero dispari moltiplicato per un numero pari il risultato sarà sempre pari e anche perché addizionando due numeri pari si ottiene sempre un risultato pari. Da questo si capisce che la prima affermazione è vera.

Ipotizzando che n sia uguale a 1, applicando la formula, si ottiene come risultato 16, o che n sia uguale a 5 si ottiene come risultato 32, quindi anche la seconda e la quinta affermazione sono vere.

La terza affermazione è assolutamente falsa perché la somma può essere un quadrato perfetto, e, infatti come abbiamo visto, ipotizzando che n sia uguale a 1, la somma è uguale a 16, e 16 è il quadrato perfetto di 4.

Per verificare che la quarta affermazione fosse vera ho cercato un numero che rispettando la formula fosse anche un cubo perfetto e ho trovato il cubo di 4 che è 64.

Antonella:

La proposizione errata è la numero 3 [perché?].

La prima, la seconda, e la quinta sono vere perché 4n + 12 è un “pari + pari”. Questa formula l’ho ottenuta da: n+(n+2)+(n+4)+(n+6).

 S può essere anche multiplo di 16 perche basandomi su degli esempi: 1+3+5+7 =16, ma anche con un altro esempio, 5+7+9+11=32, un multiplo di 16. La 4 è esatta [ma non spieghi perché], anche la 5 perché utilizzando come esempio 1+3+5+7 sono i numeri naturali interi dispari e consecutivi piu piccoli e la loro somma è 16, non può essere dunque un numero minore di questo.

Miriam:

La proposizione falsa è la 3. Spiego il perché:

1) è vero, perché la somma di un “numero pari di numeri dispari” (in questo caso 4), da sempre un numero pari.

Esempio: 1 + 3 + 5 + 7 = 16

n + (n+2) + (n+4) + (n+6) = 4n+12

2) è vero perché, ad esempio:

1 + 3 + 5 + 7 = 16  

5 + 7 + 9 + 11 = 32 = 16 x 2  

9 + 11 + 13 + 15 = 48 = 16 x 3

13 + 15 +17 + 19 = 64 = 16 x 4

...qui ho notato una "regolarità"... [qual è?]

3) è falso, ecco un esempio di quadrato perfetto: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 x 4

4) è vero, un esempio è:  125 + 127 + 129 + 131 = 512 = 8^3

5) ovviamente è vero, gli stessi esempi riportati qui sopra lo dimostrano.

Gian Franco:

Innanzitutto, considerando un numero dispari qualsiasi come "n" ho pensato di rappresentare la somma di 4 numeri dispari consecutivi come "n+n+2+n+4+n+6" o meglio con la formula 4n+12. Con questa formula ho potuto ragionare su alcune proposizioni come la prima in cui ho affermato che la somma è pari perché un numero dispari per uno pari dà sempre pari (4*n) , che sommato a sua volta ad un altro pari(12) dà pari. Oppure la seconda in cui ho dedotto che è vera perché provando a sostituire la n con numeri ad esempio con il primo numero dispari cioè l'1 si fa 1*4+12= 16. Provando con i numeri dispari successivi ho notato che S è multiplo di 16 una volta si una no.

La terza invece è falsa perché S può essere un quadrato perfetto già nella prima somma di numeri dispari consecutivi cioè 1+3+5+7=16. Quindi anche la quarta affermazione è corretta [come quindi, perché?] e lo stesso vale per la quinta che può essere spiegata anche dalla seconda, infatti se la prima somma di quattro numeri consecutivi dispari da 16, le altre possono essere solamente maggiori.

Giuseppe P.:

La proposizione errata è solo la numero3 in quanto:
- la somma di 1-3-5-7 è uguale a 16 che è un quadrato perfetto
- la proposizione n°5 è vera perché la somma di 1-3-5-7 è uguale a 16
- la proposizione n°1 è vera in quanto si tratta di una somma di 4 numeri dispari
- la proposizione n° 2 è vera perchè la somma di 5-7-9-11 è uguale a 32 multiplo di 16
-la proposizione n°4 è vera perché la somma 13-15-17-19 è uguale a 64 che è il cubo di 4

Quesito 3

Per la classe prima: Roberta:

Costruzione:

image

L' area del quadrato ABCD è 1 u².
Per trovare questo risultato innanzitutto ho costruito due figure su GeoGebra, una come quella proposta dalla prof. e una dove poter lavorare. A questo punto ho osservato attentamente la figura iniziale e, nella seconda fig. ho nascosto il quadrato E1F1G1H1, lasciando in vista solamente i punti che mi erano utili. Quindi ho costruito dei triangoli con le parti di area fuori dal quadrato e, grazie agli strumenti di GeoGebra, ho traslato questi triangoli e ho ricomposto il quadrato ABCD.
Questo significa che l' area della parte colorata corrisponde all'area del quadrato.

Yuri:

L' area del quadrato ABCD è uguale a quella della porzione blu cioè 1 u^2.

Sono arrivato alla soluzione anche grazie al suo aiutino, e ho capito che i triangoli che rimanevano all'esterno fossero equivalenti a due dei triangoli che posso vedere dentro al quadrato. Allora ho provato a spostare il triangolo DCH nel triangolo ABE. Ma anche il triangolo BFC nel triangolo AED.

Tutto ciò mi ha dimostrato che avevo ragione. [e tanto basta! Smile]

Paola:

L'area è 1 u^2 perché se prendo in considerazione solo il quadrato ABCD, l'area fuori dal quadrato è precisamente la metà dell'area del quadrato, quindi l'area blu è uguale all'area del quadrato.

Lo dimostro così:

Ho riprodotto la costruzione con geogebra e ho fatto dei poligoni triangolari sovrapposti all'area blu che sta fuori dal quadrato ABCD e li ho copiati e incollati nell'area bianca del quadrato. Coincide perchè le misure sono uguali. [mmh… dobbiamo parlarne]

image

Aurora:

L'area del quadrato coincide con l'area della parte colorata. Infatti il triangolo AEB è uguale al triangolo DHC (perché sono equivalenti) [perché sono equivalenti?] e il triangolo ADE è uguale al triangolo BCF (perché equivalenti) [perché?], quindi l’area del quadrato ABCD è uguale 1u^2

Andrea (più che sbrigativo):

per trovare l'area ho messo due triangoli dell'area colorata nell'area bianca come nella figura infatti è simile a un puzzle, adesso le mando la ricostruzione. L'area bianca di un quadrato è 0,5.

image[boh! Spero tanto che Andrea non si piaccia, leggendosi qui!]

Luca: noo, spiega in un italiano inintelligibile! E non spiega le equivalenze che riconosce nella figura.

Antonio (lavora sulla figura del testo).

image

La risposta è 1 u^2 perchè:

ho tracciato il segmento AE, poi ho prolungato il segmento HE fino al lato AB, stesso procedimento per il segmento FE fino al lato AD. Così mi sono reso conto che i triangoli che ho formato sono uguali a quelli che stanno fuori dal quadrato. [mah! Sì, c’è proprio da parlarne…]

Per la terza: Alessia:

I quadrati ABCD e EFGH hanno area 1 u^2, perché (prendendo come esempio il quadrato ABCD), immaginando di traslare il triangolo BCF verso il lato AD e il triangolo HDC verso il lato AB si ottiene la stessa area della parte colorata iniziale.

Dopo sollecitazione mi aggiunge che i triangoli che immagina di traslare sono equivalenti perché hanno stessa base e stessa altezza. Ah, se non si sollecita!

Antonella: spiega con la traslazione di triangoli

Gian Franco:

osservando attentamente la figura e con l’aiuto, ho notato che fuori dal quadrato ci sono due triangoli. Essi potrebbero essere inseriti nel quadrato ABCD perché:

considerando ad esempio il triangolo CBF si può notare che è equivalente al triangolo ADE. Questo perchè innanzitutto hanno la stessa base, infatti è il lato del quadrato.

Per quanto riguarda l'altezza: prendiamo in considerazione il lato EF, è suddiviso dal punto d'intersezione con il lato BC. La distanza punto intersezione-F è la stessa punto E-lato AD perché il lato EF è parallelo e uguale al lato DC.

Lo stesso vale per il triangolo DCH, equivalente a ABE, perché hanno la stessa base e la stessa altezza. Quindi concludo dicendo che l'area della parte colorata cioè 1u^2 è uguale a quella del quadrato ABCD.

Miriam: stesso ragionamento di Antonio, spiega con le traslazioni. Ma la costruzione è sua Smile

image

Giuseppe P.:

l'area del quadrato ABCD è uguale all'area della parte colorata perché l'area compresa tra ADE è uguale all'area del triangolo BCF, e l'area compresa tra ABE è uguale all'area del triangolo CDH [perché? Smile]

Oh, mi pare di aver detto tutto!

Bravo a chi ha lavorato (qualcuno ha lavorato, lo possiamo dire, con non troppo impegno e poi, soprattutto: c’è da lavorare sui perché, intesi?), e bravo anche a chi ha tentato e non è riuscito.

A prestissimo dal prof Davide per i nuovi giochi!


Articoli correlati per categorie



Stampa il post

4 commenti:

  1. Decisamente Standing Ovation Giò, è così che si insegna la matematica, e che si impara! Penso a quanti vorrebbero averti come professoressa se conoscessero quello che fai. Go ahead my friend!!! :-) Un abbraccio

    RispondiElimina
  2. Nico, grazieee, iniezione di fiducia :-)
    E comunque, magari fosse così ....!
    Abbraccione a te!

    RispondiElimina
  3. Mi accodo alla standing ovation😀
    Per la prof e un po' anche per gli alunni.
    Io sono sul pullman, di ritorno dalla gita di tre giorni. Il tempo di riprendermi e domani (o forse dopodomani... ) conto di pubblicare i nuovi giochi.

    RispondiElimina
  4. Ooh, eroe prof! :-)
    Ma certo, riprenditi con calma, come non capirti!
    a presto, grazie!

    RispondiElimina

I vostri commenti sono graditissimi, l'interazione è molto utile!
Non ci piace però comunicare con "anonimi". Vi preghiamo di firmare i vostri messaggi.
Come fare:
Cliccare su Nome/URL.
Inserire il vostro nickname nel campo "nome".
Lasciate vuoto il campo URL se non avete un blog/sito.

Grazie!