Confronto di frazioni

Stamattina abbiamo affrontato il discorso dei confronti con le frazioni.
In matematica confrontare significa stabilire se un numero è più piccolo, uguale, più grande di un altro.
Fra due frazioni, una propria e una impropria è stato abbastanza facile capire che quella impropria è maggiore perché essa è più grande dell'intero.
Poi abbiamo considerato tre casi riguardanti la frazioni: con uguale denominatore, con uguale numeratore, diverso sia il numeratore sia il denominatore.
Approfondiamo il primo: abbiamo 4/13 e 3/13. In questo caso abbiamo capito subito che la più grande è quella con il numeratore più grande perché dividendo l'intero in 13 parti, ne considero "di più". Quindi:
4/13 > 3/13, cioè 4/13 è maggiore di 3/13.
Ora esaminiamo il secondo: possediamo 2/7 e 2/9. Qui abbiamo avuto qualche incertezza! Però poi siamo arrivati a dire che ciascuna delle 9 parti dell'intero era più piccola rispetto a ciascuna delle 7 parti. Quindi:
2/7 > 2/9. Cioè 2/7 è maggiore di 2/9.
Il terzo caso è quello più complesso: le frazioni non hanno né denominatore né numeratore in comune. Tutti abbiamo tentato ma nessuno veniva a capo di questo mistero. La prof ci diceva: quale dei due casi precedenti è stato più semplice??? …..Quindi? Ma le frazioni non permettono una certa possibilità……? Quando ha detto che serviva uno strumento importante per risolvere il problema, a me si è accesa una lampadina e ho alzato subito la mano. Alla lavagna c’era scritto 2/5 e 7/15. Io ho pensato: trovo il m.c.m. fra i denominatori e poi applico l’invariantiva per i numeratori e... il trucco è fatto - )) La prof mi ha detto che sono stata in gamba... e ritornando a prima mi trovo 6/15 che è minore di 7/15... la campanella è suonata... ma comunque le due ore sono trascorse molto velocemente!

Irene - I A

La foto

Saluto e ringrazio tutte le persone che stanno visitando il nostro blog. Io sono Giuseppina, della III A, e vi voglio trasmettere un'esperienza: come usare la matematica per risolvere problemi quotidiani.

Un giorno la nostra prof. di matematica, la prof Arcadu (che ha creato questo blog x noi alunni) è entrata in classe raggiante e ha detto: vi propongo un'attività che potremmo intitolare: "mettiamoci alla prova!"

Il nostro sguardo interrogativo e incuriosito …

E la prof ha continuato: nel corso dei nostri studi abbiamo imparato diverse cose, ci siamo esercitati, fatte verifiche orali e scritte, a volte positive a volte meno… E' interessante verificare se abbiamo acquisito anche degli strumenti rigorosi e non approssimativi per affrontare un problema quotidiano.

Per esempio: sapreste calcolare la vostra altezza all'età di 5 anni, servendovi di una vostra foto di quel periodo?

Compito: per la prossima lezione procurarsi la foto!"

II lezione.

Molti di noi portano la propria foto. Per semplificare il lavoro, la prof ci invita a sceglierne una sola sulla quale svolgere l'indagine. Ci piace molto la foto di Danilo a 5 anni scattata sulla neve di fronte al muretto di una piscina della pineta!

Cominciamo a proporre, a turno, le nostre soluzioni. La prof raccoglie alla lavagna i diversi interventi e ci chiede di non commentare per ora le soluzioni proposte. Qualche compagna prende appunti e registra ogni cosa!

Prima proposta:

"Misuro l'altezza del muretto della piscina nella foto, vado alla pineta e misuro "dal vero" l'altezza del muretto, per sapere di quanto hanno ridotto in scala nella foto. Poi divido la misura del muretto nella realtà per quella nella foto. Misuro anche l'altezza di Danilo nella foto e la moltiplico per il risultato della divisione precedente".

Seconda proposta: "Misuro l'altezza del bambino nella foto, l'altezza di Danilo oggi, considero gli anni trascorsi, poi con la proporzione: (anni-oggi):(anni-foto)=(h-oggi):(h-foto), calcolo l'altezza di Danilo nella foto che è l'unico temine che non conosco.

Altre proposte sono simili a questa, si considerano sempre gli anni trascorsi…Qualche nostro compagno propone di utilizzare due foto: quella che abbiamo e una foto attuale. Misurare le altezze nelle due foto, misurare l'altezza di Danilo oggi e poi dalla proporzione: (h-oggi):(h-foto-oggi)=(h-5anni):(h-foto-5anni), si può calcolare h-5anni.

Alcuni di noi dicono di non sapere come fare e non si esprimono.

Francesca, che interviene quasi per ultima, dice di essersi convinta che la prima soluzione proposta le sembra giusta.

Vi dico che la prima soluzione era la mia. Ehehe..!

Ormai è finita l'ora e la prof ci assegna il compito per la prox: provare a verificare sperimentalmente e con il calcolo o solo con il calcolo, le ipotesi proposte.

III lezione: discutiamo le proposte…. Non tutti abbiamo eseguito il compito. Seguiamo l'ordine degli appunti registrati e commentiamo tutte le ipotesi. Verifichiamo con i calcoli che molte soluzioni non sono corrette.

Non vorrei dirvi il risultato finale! Chiedo ai miei coetanei che ci leggono: come avreste risolto questo enigma? Mi piacerebbe molto leggere altre soluzioni del problema. Se volete, potete lasciare un commento, scrivendo la vostra risoluzione anche se sbagliata. Perché dovete sapere che "gli errori servono a tutti per migliorare….." dice la prof!

ciao,

by Giuseppina

La proporzionalità

In questo periodo, noi della III (A), siamo molto impegnati con la preparazione dell'esame di licenza. Non vogliamo tuttavia far mancare i nostri contributi! Peccato che il nostro blog sia nato solo adesso e noi stiamo per ... volare agli studi superiori!
Io (Francesca) vi voglio mostrare un mio lavoro su Excel sulla proporzionalità diretta e inversa.
Ecco le immagini dei grafici

ma potete scaricare il lavoro completo cliccando qui . Ehi, vi divertirete: è un lavoro interattivo! :-)

by Francesca

Semplificazioni.riduzioni...

di Laura ...con la classe!

Decanomio su Excel

Sapete cos'è il Decanomio?
Tabellina e prodotti non hanno più segreti!
Andate su questa pagina, leggete con attenzione la presentazione e scaricate l'allegato: decanomio.zip
Buon divertimento e ... buon ripasso! :-)

Schemi di moltiplicazione

C'è proprio da divertirsi con questi Schemi di moltiplicazione (presentazione in .ppt di Giovanna Maria Melis) 05/03/2005 .
..... e qualche trucchetto per le tabelline.
Scaricare per credere!

Indagini sulla moltiplicazione

Sapete tutto sulla moltiplicazione?
Provate a vedere una presentazione su Power Point...
Questa pagina, all'aggiornamento del 03/09/2005, vi darà le indicazioni per scaricare il lavoro.

Classe di equivalenza particolare

Altri esempi di Classi di equivalenza.

Q (2):{ 2/1; 4/2; 6/3; 8/4; 10/5; 12/6...}

Q (5):{ 5/1; 10/2; 15/3; 20/4; 25/5; 30/6...}

Queste sono frazioni apparenti, battezzate così perché apparentemente frazioni, ma in realtà sono numeri naturali. Questo esempio dimostra che tutti i numeri naturali si possono rappresentare con una Classe di equivalenza, cioè sono anche numeri razionali.

Nel linguaggio degli Insiemi diremo che

si legge: N (insieme dei numeri naturali) sottoinsieme o incluso in Q (insieme dei numeri razionali).

di Irene e Laura

Conversione numeri da base ... a base …

Da base ... a base 10 e da base 10 a base ...
Scaricando qui un file interattivo, puoi divertirti a convertire dei numeri naturali da base 10 a base diversa e viceversa, nei sistemi di numerazione posizionali. Leggi le info di presentazione!

Sequenza di numeri primi in Excel

Un numero naturale si dice numero primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso. Gli altri numeri vengono detti composti. [Si possono scomporre in altri fattori, oltre se stessi ed 1]
Excel ci permette di costruire la sequenza di numeri primi compresi fra due numeri naturali.
Leggi la presentazione e scarica il file RICERCA DI NUMERI PRIMI.xls

La lezione di Mercoledì 16 maggio 2007

Scrive Delia - IA

Oggi con la professoressa Arcadu devo dire la verità, mi sono divertita imparando nuove cose.

Ho scoperto un nuovo insieme, quello delle infinite frazioni equivalenti a una frazione primitiva.

Ti faccio un esempio:

Q(5/7): {5/7; 10/14; 15/21; 30/42; 60/84.......}

5/7 = primitiva,

tutte le altre dentro la parentesi = derivate

Se noti, alla fine ho messo ....... perché è un insieme infinito.

La prof. me lo ha rispiegato perché non avevo capito bene.

Credo che oggi tutti dai più bravi ai meno hanno seguito.

Faccio anche uno schema:

La prof dice che è da completare.....

Bèh, spero ti sia divertito. Ma non come me!

Classe di equivalenza

A cura di Alessandra - IA

Rappresentazione di una CLASSE DI EQUIVALENZA

E' la rappresentazione di un insieme. La frazione 2/3 viene chiamata “frazione primitiva”, poiché il numeratore e il denominatore sono primi fra loro.

Questo insieme si chiama Classe di Equivalenza. La Classe di Equivalenza è l’insieme delle infinite frazioni equivalenti ad una frazione primitiva.

Le frazioni equivalenti alla primitiva sono infinite.

La primitiva è la "rappresentante" del NUMERO RAZIONALE. Nell'esempio: 2/3

Ampliamento conoscenze sulle frazioni del 16/05/07

A cura di Laura - I A

Oggi la prof. ci ha proposto una diversa strada per trovare frazioni equivalenti.
Il problema è: mantenere sempre le misure del rettangolo (altezza: 12 cm; base: 8 cm); operatore applicato: 2/3. Trovare frazioni equivalenti.
Noi rispondiamo: applicando operatore diverso!
A differenza della scorsa lezione, dove aveva proposto di cambiare le misure del rettangolo mantenendo lo stesso operatore.
Noi alunni abbiamo riflettuto, la prof. ci ha aiutato dandoci qualche indicazione, dopo un po’ Nicola dice che basta moltiplicare i due numeri, il 2 e i 3 di 2/3, per lo stesso numero.
La prof dice:
lo potresti dire in diverso modo, questa è una maniera un po’ .... "limitata"!
Nicola allora dice: basta che io applichi l’invariantiva e potrei trovare infiniti operatori.
Bravo!
Dopo noi alunni abbiamo fatto una marea di esempi che la prof scrive alla lavagna. Dimostra che applicando operatori diversi ma "equivalenti", le dimensioni del rettangolo, 8 e 12 cm, sono mantenute.
Gli operatori trovati vengono scritti in ordine alla lavagna.
La prof:
ora vi faccio una domanda: quanti numeri ho scritto alla lavagna? Non fatevi ingannare…..
Subito mani alzate, 2 o 3 ragazzi rispondono, uno 7 (erano 7 le frazioni elencate), l’altro 14 e l’altro infiniti.
Dopo la prof dà la parola e me (Laura), Irene e Alessandra. E noi: 1 professore'!
Lei ci chiede perché.
Ma perché sono frazioni equivalenti!
Brave!
E ancora chiede: queste frazioni da quale sono "nate"?
Noi rispondiamo: da 2/3.
Lei ci fa notare come ad es. da 6/9 si può tornare a 2/3 dividendo numeratore e denominatore per lo stesso numero, mentre con 2/3 sarebbe possibile dividere entrambi solo per 1.
Ci chiede il perché.
Risponde Federico dicendo che 2 e 3 sono primi fra loro.
La prof dice che è stato bravo, e chiede quindi: alla frazione 2/3 che aggettivo possiamo attribuire? Badate alla parola “primi”.
Risponde Delia: primitiva!
Si, bravaa!
E allora le altre frazioni come sono?
Noi, dopo qualche tentativo…: derivate!
La prof ci fa i complimenti!
Dice infine che l’insieme di cui stiamo parlando si chiama CLASSE DI EQUIVALENZA. Ci fa definire correttamente la classe di equivalenza: "è l'insieme delle infinite frazioni equivalenti ad una primitiva". E' questo insieme il numero razionale!
Fine della lezione.

Il concetto di Insieme

"mappato" da Alessandra - IA

Un'esperienza di podcasting

"keIdeaGeosolida"

della III A

Qui si può scaricare la scheda PDF con la descrizione del Format e la sceneggiatura della trasmissione.


Esercitazione per il Seminario di Podcasting - curato da Alberto Pian
Master E-Learning - Università della Tuscia - Garamond

Matematica in I A

Voglio "inaugurare" il blog raccontando la lezione di matematica di stamattina nella mia classe I A.
Stiamo parlando di frazioni. Siamo alla terza lezione.
Oggi il primo approccio con le frazioni equivalenti, quindi con il concetto di numero razionale come classe di equivalenza.
Come ci stiamo arrivando?
La frazione come operatore su un intero. Un esercizio:
la base di un rettangolo è uguale ai 3/4 dell'altezza che misura 28 cm. Quanto è lunga la base?
Laura disegna alla lavagna il rettangolo mostrando esattamente il rapporto tra base e altezza (ma ancora non lo chiamiamo così!): l'altezza formata da 4 segmentini e la base da tre segmentini. I ragazzi applicano senza difficoltà l'operatore 3/4 "all'intero" 28 cm: la base misura 21 cm.
Scriviamo sotto la base del rettangolo, 21 cm e lungo l'altezza, 28 cm.
Io chiedo loro:
le dimensioni del rettangolo potrebbero avere misure diverse, facendo si che la base sia sempre uguale ai 3/4 dell'altezza? Badate, vi aiuto: ne potete trovare ... infinite!
Laura dice: "posso fare 3/4 di 32 cm?"
Ma certo!
"... allora la base è di 24 cm"
Seguono una serie di interventi dei compagni che calcolano i 3/4 di.... e trovano le basi corrispondenti. (Sempre nel rapporto di 3:4....).
Una bambina non sa come trovare nuove dimensioni. Un compagno le fa notare che si deve prendere un multiplo di 4 per poterlo dividere in 4 e prenderne 3!
Man mano si trovano nuove dimensioni del nostro rettangolo, le coppie delle misure vengono in ordine trascritte.

Alessandra aggiunge: "ma la base può essere pure di 3 cm e l'altezza di 4!"

Esatto!

Allora decidiamo di mettere in fila sotto forma di frazione tutte le dimensioni trovate: 3/4; 21/28; 24/32 ecc ...

Ecco che Laura esclama: "aah! io so adesso come trovarne infinite!"

Laura non dirlo! :-)

Mi rivolgo ad altri bambini....: osserva cosa succede ai numeratori e ai denominatori...

Ancora qualche incertezza...

Decidiamo quindi di mettere in ordine le frazioni: 3/4; 6/8; 9/12;.....

Emanuele dice: "sìì, il numeratore e il denominatore sono moltiplicati per lo stesso numero!"

Laura che freme...

Avanti Laura, "dicci!" :-) :-)

"Volevo dire che applico la proprietà invariantiva e trovo infinite frazioni!"

Bravaa!

Ora io chiedo: vi viene in mente qualcosa vedendo queste frazioni che si susseguono? E poi infinite...

E Irene: "elementi.... le mettiamo tra parentesi graffe...."

Bene, quindi?

"Quindi un insieme" dice Laura.

E quale insieme?

"Insieme Q, quoziente...razionali si dice?"

Bèh, ma brave, non è proprio tutto l'insieme dei razionali....

Irene allora propone: "scriviamo Q(3/4)"

Ooh brava Irene!

Facciamo diverse verifiche con la proprietà invariantiva riportando 21/28 a 3/4 eccc... Quindi chiedo:

Come le possiamo chiamare tutte queste frazioni?

Come sono tra loro? Suu, un aggettivo.... dalla lingua italiana!

Alessandra: "equivalenti!"

Bravaa!

E....suona la campanella, dobbiamo uscire!

Era pure l'ultima ora e di Sabato, ma...non ci è pesata!

Benvenuti

Ciao!
Benvenuti nel nostro blog!
Vogliamo divertirci a raccontare le nostre esperienze...matematiche.
Ci auguriamo di coinvolgervi!