Viète, il padre dell'algebra simbolica

François Viète, o Vieta nella forma latinizzata, è una figura di primo piano nel passaggio dal Rinascimento all'età moderna. Con lui, l'algebra conquistò lo stesso rango della geometria, che fino ad allora era sinonimo di matematica.

La storia dell’Algebra si può dividere in tre periodi:
1) algebra retorica, anteriore a Diofanto di Alessandria (250 d.C.) nella quale si usa esclusivamente il linguaggio naturale, senza ricorrere ad alcun segno;
2) algebra sincopata, da Diofanto fino alla fine del XVI secolo, in cui si introducono alcune abbreviazioni per le incognite e le relazioni di uso più frequente, ma i calcoli sono eseguiti in linguaggio naturale;
3) algebra simbolica, introdotta da Viète (1540-1603), nella quale si usano le lettere per tutte le quantità e i segni per rappresentare le operazioni, si utilizza il linguaggio simbolico non solo per risolvere equazioni ma anche per provare regole generali.

François Viète nacque a Fontenay-le-Comte nel 1540 (non si conosce la data esatta) da una famiglia agiata. A 15 anni intraprese gli studi di diritto presso la celebre Università di Poitiers, dove si laureò cinque anni dopo. Cominciò a lavorare come avvocato nella stessa Fontenay-le-Comte e non tardò a dimostrare una grande abilità nell'esercizio della sua professione. Nel 1564 accettò la carica di segretario e assessore giuridico del conte Jean de Parthenay, un ricco latifondista appartenente ad una influente famiglia calvinista, e decise anche di occuparsi dell'educazione della figlia di questi, Catherine.
A questo periodo risale una delle sue opere inedite, Ad harmonicon coeleste, di cui sono giunti fino a noi soltanto quattro manoscritti. In essa viene esposta una teoria del sistema planetario basata sulle teorie di Tolomeo.
Nel 1571 fu nominato Avvocato del Parlamento di Parigi. Fu allora che entrò in contatto con importanti matematici dell'epoca, specialmente con Adriaan Van Roomen (1561-1615).
Viète lavorò come consigliere di Enrico III fino a che questi, sotto la pressione delle forze cattoliche, dovette abbandonare Parigi e stabilirsi a Tours, per cui Viète fu costretto a rifugiarsi in campagna, accolto dai suoi amici.
Quando Enrico IV salì al trono prese al suo servizio come consigliere e crittoanalista del regno.
Viète continuò a lavorare allo sviluppo dell'algebra e nel 1591 dette alle stampe la sua opera più importante: In artem analyticam isagoge (Introduzione al metodo analitico).
Nel 1602 andò in pensione raccogliendo il riconoscimento del re per il lavoro svolto al servizio della corona e morì l'anno seguente, il 23 febbraio, a Parigi.
Viète pubblicava i suoi libri, ma solo una parte dei suoi 20 scritti furono dati alle stampe. Altri videro la luce solo dopo la lettura del testamento, mentre molti di essi sono rimasti ancora oggi inediti.

Una formula che ha fatto storia
Tra i contributi più significativi di Viète c'è quello chiamato, in trigonometria, teorema del coseno.
Utilizzando il teorema di Pitagora, giunse alla formula:

$a^2= b^2+c^2-2bc \, cosA$

e alle sue formula simmetriche (permutando a, b e c) che consentono di calcolare il lato di qualsiasi triangolo conoscendo gli altri due e l'angolo tra essi compreso.

Algebra e notazione matematica
Viète dette vari contributi alla trigonometria e alla geometria, ma i suoi lavori più importanti sono quelli dedicati all'algebra, specialmente nel momento in cui passò dal calcolo con i numeri (logistica numerosa) al calcolo con i simboli (logistica speciosa).
Fino ad allora l'algebra consisteva in una serie di trucchi per risolvere casi particolari, non era un autentico metodo di ragionamento matematico. Il lavoro degli algebristi era concentrato sull'individuazione di un valore sconosciuto relativo a un problema infarcito di numeri.
Per comprendere meglio in che cosa consistette questo cambiamento, esaminiamo il seguente problema:
consideriamo un cesto in cui si trova un certo numero di mele. Aggiungiamo mele fino a triplicarne il contenuto originale. Poi diamo una mela a un amico. Andiamo ora a contare le mele che sono rimaste nel cesto e risulterà che ce ne sono 20.
Quante mele avevamo all'inizio?
Potremmo cominciare a fare dei tentativi per individuare l'incognita, oppure possiamo partire dalla risoluzione del problema e chiamare x il risultato.
Se traduciamo in un'equazione l'enunciato del problema, avremo 3x-1=20 (il numero di mele triplicato meno uno dà 20),
per cui si ha 3x = 20 + 1 = 21 e, pertanto,
x = 7.
Inoltre, ponendo che Ax - B = C, avremo individuato l'equazione generale che risolve tutti i problemi di questo tipo la cui soluzione è:

$x= \frac{ C+B }{ A}$

per cui se ci viene detto che il numero di mele nel cesto è raddoppiato, che ci hanno tolto 5 mele e che alla fine ne sono rimaste 15, potremo immediatamente affermare che nel cesto c'erano
x= 10 mele.
Anche se Viète non aveva a che fare con equazioni così semplici, lo schema mentale è molto simile a questo.
Egli cominciò con l'utilizzare una lettera per le quantità sconosciute (una vocale) e un'altra per quelle conosciute (una consonante) e portò a termine un'impostazione generale per le equazioni, dando origine così all'algebra moderna attraverso un significativo miglioramento nella notazione matematica.
Viète non scriveva in una notazione moderna come quella che abbiamo utilizzato per il problema.
Impiegava il termine in per il prodotto, racchiudeva tra parentesi graffe le espressioni che considerava dello stesso tipo e usava la parola aequale per il segno "=".
Un'espressione come:

$\frac{ ab }{c } + \frac{ cd-ax }{ f} =h$

l'avrebbe scritta nella forma:

$\frac{ a\, in \, b }{c } +{ \frac{ c \, in \, d \, - \, a \, in \, x }{ f} }\, aequale \, h$

Qui sopra due pagine esemplificative dello straordinario talento di Viète: si tratta di una sua risposta ad un celebre problema di Van Roomen che implicava la risoluzione di un'equazione di 45° grado, un'enormità per quei tempi.

La formula di Dio

Gli umani hanno pensato per decenni di mandare messaggi alle stelle,
benché ci sia sempre stato un certo dibattito su quello che questi messaggi dovessero contenere. Per esempio, negli anni settanta, i ricercatori sovietici suggerirono di mandare il messaggio:

10 ²+11 ²+12 ² = 13 ²+14 ²

i sovietici chiamarono questa equazione "cattura-mente".
Indicarono che la somma da ogni lato del segno di uguale è 365, il numero dei giorni di un anno terrestre.
Questi fantasiosi sovietici andarono oltre dicendo che gli extraterrestri avevano in realtà modificato la rotazione terrestre per convalidare questa stupefacente uguaglianza! Sicuramente avrebbe catturato l'attenzione degli alieni e dimostrato la nostra abilità matematica.
Il dottor Googol considera la formula sovietica arbitraria e non adatta a essere inviata. Piuttosto, egli vorrebbe in qualche modo cercare di inviare la formula più profonda ed enigmatica conosciuta dagli umani:

$1+e^{iπ}=0$

Questa formula di Leonhard Euler (1707-1783) unisce i 5 simboli matematici più importanti: 1, 0, π, e e i (la radice quadrata di -1).
Un'altra bella e meravigliosa espressione implica un limite che unisce non soltanto π e e, ma anche radicali, fattoriali e limiti infiniti.
Sicuramente questa poco conosciuta bellezza fa piangere gli dei per la gioia:

$\lim_{n \to \infty} \frac{ e^n*n! }{ n^n* \sqrt{ n } } = \sqrt{ 2π } $

Da La magia dei numeri, Clifford Pickover, Sfide Matematiche, vol. 4.

Quando il girasole si volge al suo Signore

Bel titolo no?
Avevo chiuso questo post, così: "Una volta scoperti, i numeri di Fibonacci sembrano saltar fuori dappertutto, non solo nella matematica astratta ma in quella applicata e nella natura in genere. "
Dunque eccovi ancora un bel passo da "La sezione aurea" di Mario Livio, che porta giusto il titolo che ho voluto dare a questo post.

Quando il girasole si volge al suo Signore

Nel regno vegetale, le foglie sui rami e i rami lungo il tronco tendono a occupare posizioni che rendono massima l'esposizione al sole, alla pioggia e all'aria. Perciò, un fusto verticale produce foglie e rami secondo schemi regolari. È raro, però, che queste formazioni seguano schemi rettilinei, perché in tal modo si priverebbero a vicenda della pioggia e della luce.
La successione delle foglie e dei rami ha invece una componente rotatoria, che con l'avanzamento verso l'alto traccia intorno al fusto un'elica immaginaria:

figura1

Schemi analoghi di unità ripetitive sono formati anche dalle squame delle pigne e dai semi del girasole.
Il fenomeno ha il nome scientifico di fillotassi (dal greco, «disposizione delle foglie»), un sostantivo coniato nel 1754 dal naturalista svizzero Charles Bonnet (1720-1793).
Per esempio, nei boschi di tigli le foglie si collocano in genere da due parti opposte (corrispondenti a un mezzo giro intorno al fusto), uno schema descritto come «quoziente di fillotassi 1/2».
In altre piante, come il nocciolo, il rovo e il faggio, il passaggio da una foglia all'altra comporta un terzo di giro («quoziente di fillotassi 1/3»).
La figura1 illustra un caso in cui occorrono tre giri completi per passare attraverso otto rami (corrispondente a un «quoziente di fillotassi 3/8»).
Avrete forse notato che le frazioni citate sono rapporti di termini alternati della successione di Fibonacci.
Il fatto che le foglie delle piante seguano certi schemi era già stato notato nell'antichità (Teofrasto -c. 372-287 a.C., Plinio il Vecchio -23-79 d.C.)
Lo studio della fillotassi non andò molto oltre queste prime osservazioni qualitative fino al XV secolo, quando Leonardo da Vinci (1452-1519) aggiunse un elemento quantitativo, osservando che alcune foglie erano disposte secondo uno schema a spirale, a cicli di cinque (cioè secondo angoli corrispondenti a 2/5 di un angolo giro).
Il primo a scoprire (intuitivamente) il rapporto tra fillotassi e numeri di Fibonacci fu Keplero, che scrisse: «È in modo paragonabile a questa serie che si sviluppa da sé [un'allusione alla natura ricorsiva della successione di Fibonacci] che, a mio avviso, funziona la naturale facoltà di accrescimento. Per questo il fiore innalza il vero e proprio vessillo di questa facoltà, cioè il pentagono».
Charles Bonnet diede inizio al vero e proprio studio della fillotassi descrittiva. Nel suo libro del 1754, Recherches sur l'Usage des Feuilles dans les Plantes (Ricerche sul l'uso delle foglie nelle piante), egli dà una chiara descrizione della fillotassi con quoziente 2/5..
La storia della vera fillotassi matematíca inizia però nel XIX secolo con gli studi del botanico Karl Friedrich Schimper (del 1830), di Alexander Braun (del 1835) e del cristallografo Auguste Bravais, insieme al fratello Louis, un botanico (del 1837).
Questi studiosi scoprirono la regola generale secondo cui i quozienti di fillotassi si possono esprimere come quozienti dei numeri di Fibonacci (come nei casi già menzionati delle fillotassi 2/5 e 3/8) e notarono anche la comparsa di numeri di Fibonacci consecutivi nelle disposizioni a spirale delle squame dell'ananas e delle pigne d'abete.
L'ananas, in particolare, è un magnifico esempio di fillotassi basata sui numeri di Fibonacci.
Ognuna delle squame esagonali che rivestono questo frutto appartiene a tre diverse spirali.

figura2

Nella figura2 è evidenziata una delle 8 file parallele che salgono con gradualità da sinistra a destra, una delle 13 che salgono più rapidamente da destra a sinistra, e una delle 21 file che salgono quasi verticali da sinistra a destra. La maggior parte degli ananas presentano sulla superficie 5, 8, 13 o 21 spirali via via più ripide di squame. E tutti i numeri di spirali sono numeri di Fibonacci.
Come accade che le piante dispongono le foglie e altre loro parti secondo schemi basati su tali numeri?
La crescita delle piante ha luogo in corrispondenza dell'apice del fusto, dove si trova un tessuto giovane atto all'accrescimento chiamato «meristèma» .
Un apice vegetativo ha una forma pressappoco conica, restringendosi verso la sommità. La figura3

figura3

mostra un fusto dall'alto, con le foglie numerate secondo l'ordine di formazione. L'abbozzo della foglia «0», che si è formato per primo, è il più basso rispetto all'apice vegetativo e il più lontano dal centro del fusto.
Il botanico A. H. Church sottolineò per la prima volta l'importanza di questa rappresentazione per la comprensione della fillotassi. Quello che scopriamo (immaginando una linea curva che colleghi le foglie 0-5 della figura3) è che le foglie si succedono lungo una stretta spirale, chiamata «spirale vegetativa».
L'importante dato quantitativo che caratterizza la disposizione delle foglie è l'angolo formato dalle linee rette che collegano il centro del fusto agli abbozzi delle foglie (per esempio, gli abbozzi 0 e 1 della figura3).
Una delle scoperte dei fratelli Bravais nel 1837 fu che nuove foglie avanzano lungo la circonferenza formando un angolo pressappoco costante, e che quest'angolo (noto come angolo di divergenza) è di solito prossimo a 137,5°.
Vi turba apprendere che questo valore è determinato dal rapporto aureo?
L'angolo maggiore risultante dalla divisione dell'angolo giro secondo il rapporto aureo misura 360°/φ, ovvero 222,5°.
Ciò significa che l'angolo minore in cui l'angolo giro è diviso misura 360°-222,5°, cioè 137,5° (ed è a volte chiamato «angolo aureo»).
Il matematico G. van Iterson ha dimostrato che, collocando una fitta serie di punti separati da 137,5° lungo una spirale avvitata strettamente, l'occhio riceve l'impressione di due famiglie di spirali, che si avvitano l'una in senso orario e l'altra in senso antiorario.
I numeri di spirali delle due famiglie tendono a essere numeri consecutivi di Fibonacci, e infatti i rapporti tra questi numeri si avvicinano al rapporto aureo.
Simili spirali orarie e antiorarie trovano una delle realizzazioni più spettacolari nell'infiorescenza del girasole.
Ammirando un girasole

è facile notare, al centro dell'infiorescenza, l'insieme di spirali orarie e antiorarie che si intersecano con regolarità.

È chiaro che gli elementi dell'infiorescenza crescono in modo da occupare nel modo più efficiente lo spazio circolare al centro del fiore. Il numero di spirali dipende di solito dalle dimensioni del girasole.
Nel caso più comune ci sono 34 spirali avvolte in senso orario o antiorario, e 55 avvolte nel senso opposto, ma sono stati osservati girasoli con rapporti del numero di spirali di 89/55, 144/89 e perfino di 233/144.
Ancora una volta tutti i numeri citati sono termini (contigui, in questo caso) della successione di Fibonacci.

La quantità e la disposizione dei petali di alcuni fiori sono anch'esse collegate coi numeri di Fibonacci e il rapporto aureo.
Quanti di noi, almeno una volta nella vita, hanno «interrogato» i petali della margherita intorno alla fatale questione (m'ama o non m'ama)?

La maggior parte delle margherite di campo hanno 13, 21 o 34 petali - numeri ormai familiari. (Si noti che i primi due sono dispari; perciò, cominciando con «m'ama» il buon esito è garantito.) Il numero di petali riflette semplicemente il numero di spirali in ogni famiglia.
Anche la mirabile corolla della rosa è collegata al rapporto aureo.

Il millenario enigma dell'origine della fillotassi si riduce a un solo interrogativo fondamentale: perché la successione circolare delle foglie si basa sull'angolo aureo di 137,5°?
I tentativi di rispondere a questa domanda sono riconducibili a due «scuole»: quella che si concentra sulle proprietà geometriche delle disposizioni, e quella che considera i fenomeni geometrici come altrettante manifestazioni di cause sottostanti di natura non geometrica.
Per quanto riguarda la prima scuola, ricerche fondamentali (effettuate, tra gli altri, dai matematici Harold S. M. Coxeter e L Adler e dal cristallografo N. Rivier) hanno rivelato che germogli posti lungo la spirale generatrice risultano più fitti e usano lo spazio con più efficienza se separati da angoli aurei. In parte, il motivo è facile da capire.
Se l'angolo di divergenza avesse, poniamo, un'ampiezza di 120° (360°/3), o di qualunque altro prodotto razionale di 360°, le foglie si allineerebbero in modo radiale (lungo tre linee, nel caso dell'angolo di 120°) lasciando inutilizzata una grande quantità di spazio tra una linea e l'altra. D'altra parte un angolo di divergenza come quello aureo (multiplo irrazionale di 360°) assicura che i germogli non si allineino, riducendo al minimo lo spreco di spazio.
L'angolo aureo è in questo preferibile ad altri multipli irrazionali di 360° perché il rapporto aureo è «il più irrazionale» dei numeri irrazionali, in questo senso: sappiamo che φ può essere espresso come una frazione continua che non contiene altri numeri oltre a 1; e una frazione continua di questo tipo converge più lentamente di qualsiasi altra.
Il rapporto aureo è quindi più lontano di qualunque altro irrazionale dal poter essere espresso come frazione.
Spero che la prossima volta che gusterete una fetta di ananas, manderete delle rose a una persona cara o ammirerete i Girasoli di Van Gogh, il piacere che ne trarrete sarà arricchito dalla consapevolezza che dietro ai loro pregi estetici si celano le misteriose proprietà numeriche di φ.

Non bisogna dimenticare, tuttavia, che la crescita delle piante è legata anche a fattori diversi dall'uso ottimale dello spazio. Perciò, le regole di fillotassi appena descritte non valgono in ogni caso e circostanza, come le tipiche leggi fisiche. Si tratta piuttosto, per usare le parole del matematico canadese Harold Coxeter, di «affascinanti e prevalenti tendenze».
La botanica non è il solo ambito naturale in cui il rapporto aureo e i numeri di Fibonacci appaiono come in filigrana. La loro presenza si può riscontrare su scale di grandezza che vanno dal mondo microscopico alle galassie. E non di rado tale presenza assume la forma visibile di spirali particolarmente armoniose.

[Esercitazioni] Le frazioni equivalenti in Excel

Sara, Anna Laura e Saverio hanno trovato con excel le frazioni equivalenti ad una data (primitiva, vero ragazzi?)

Il lavoro di Sara:

quello di Anna Laura:

Anche Anna Laura ha immesso in cella B3 la formula:
=simbolo_dollaroA3*Bsimbolo_dollaro1 (come nella formula di Sara)
che ha poi copiato sia verticalmente, in B4, che orizzontalmente.
Il lavoro di Saverio:

Anche Saverio ha utilizzato naturalmente nelle sue formule i riferimenti di cella misti;
in C14:
in C21:
trascinate poi nella cella sottostante e in quelle adiacenti...
Hanno cominciato dunque a utilizzare i riferimenti di cella e l'uso del tasto F4 per passare da un riferimento all'altro.