Soluzione de "età dei tre figli"

Acci, lo avevo promesso ai ragazzi di III!
Ieri ho scordato di riportare la loro soluzione del problema. Vedo se riesco ora, prima di correre a scuola!

Intanto da citare: Emanuele, Irene, Nicola, Alessandra e Laura (sempre perché promesso!:-)

Scrivono sul quaderno :
18 x 2 x 1 = 36
stanno per sommare... ma io li "accuso" di pigrizia, e li incito: continua il lavoro! :-)
E continuano fino a :
36 x 1 x 1 = 36
4 x 3 x 3 = 36
9 x 4 x 1 = 36
9 x 2 x 2 = 36
6 x 3 x 2 = 36
12 x 3 x 1 = 36
6 x 6 x 1 = 36
(per la verità qualcuno usa anche la commutativa, ma...non vale, si rende conto dopo...)
Ora eseguono le somme
18 + 2+ 1 = 21
36 + 1+ 1 = 38
4 + 3 + 3 = 10
9 + 4 + 1 = 14
9 + 2 + 2 = 13
6 + 3 + 2 = 11
12 + 3 + 1 = 16
6 + 6 + 1 = 13
A questo punto tentennano..
Devo ribadire che: il matematico *conosce* il suo numero civico. E' un bravo matematico, afferma di non avere elementi certi per trovare le *età*.
Questa riflessione richiede qualche minuto ....! Osservano quelle somme...
La prima a portarmi la soluzione è Irene!
Bisogna dirlo, perché qualcuno ha pure pasticciato con le somme! (Così si impara a stare attenti!:-))
"E' 13 il numero perché ha due somme che danno 13".
Seguono nell'ordine:
Alessandra,
poi, ma sì, consideriamo in contemporanea: Nicola, Emanuele, Laura.

La seconda parte del problema è risolta devo dire velocemente, da quasi tutti:
Se c'è un solo figlio maggiore, le età sono: 9, 2 e 2 anni.

Stamane proporrò in seconda.....

Parliamo di frazioni...

In seconda parliamo di frazioni... in vista di un ampliamento dell'insieme N.
Hanno scritto Gimmi, Saverio, Laura, Maria. Altri devono ancora consegnare!
AnnaLaura ci dice...

Conoscevamo già dalle elementari le frazioni ma stiamo scoprendo delle altre cose...
La professoressa ci ha dato da risolvere dei piccoli problemi.
Abbiamo cominciato con un problema che diceva:
una maestra regala a Giovanni, Giuseppe e Maria un nastro della stessa lunghezza. I tre ragazzi decidono di dividere il nastro con i loro fratelli, Giovanni ha 1 sorella, Giuseppe lo divide con i suoi 2 fratelli, e Maria con i suoi 3 fratelli. I nastri erano uguali, ma a chi spetta la parte maggiore di nastro?
Abbiamo fatto uno schema come ci ha consigliato la prof, e abbiamo notato che Giovanni prendeva la parte più lunga di nastro, questo perché divideva il nastro con una sola persona.
La prof ci ha detto di indicare la parte che spettava ad ogni ragazzo in modo "matematico", allora abbiamo scritto che Giovanni prendeva la metà, Giuseppe un terzo e Maria un quarto.
Ma la prof ci ha detto che così era in italiano e non in matematico. Quindi finalmente abbiamo scritto le frazioni! Lo schema completo è questo:

Qualcuno di noi aveva difficoltà a dividere in parti uguali i nastri, lo abbiamo aiutato chiedendoci quale fosse il numero di quadretti più adatto per disegnare il nastro intero. Così abbiamo ripassato anche i multipli (e i divisori). La prof ci ha detto: abbiamo utilizzato ciò che sapevamo!
Con un altro problema abbiamo parlato di frazioni equivalenti.
Questo però è successo per caso, il problema era:
Giulia ha 1 tavoletta di cioccolato e la mamma le dice di dividerla a metà con suo fratello. Giulia mangia ¾ di una tavoletta e il resto lo da al fratellino, e il fratellino strilla. Perché il fratellino strilla?
Come sempre prima ci siamo fatti uno schema, uno schema per rappresentare come avrebbe dovuto fare secondo quello che le aveva detto la mamma e un altro per rappresentare quello che invece aveva fatto.

Dai due schemi abbiamo notato che il fratellino strilla perché la sorella ha mangiato più cioccolata e di conseguenza ne ha lasciato di meno al fratellino.
Adesso vi spiego perché da questo problema abbiamo parlato delle frazioni equivalenti.
Alcuni di noi per rappresentare la metà nel primo schema hanno scritto 2/4, altri 1/2.
Si poteva scrivere in entrambi i modi perché 2/4 e 1/2 significano la stessa cosa, infatti sono frazioni equivalenti cioè dello stesso valore.
Abbiamo discusso su come ottenere frazioni equivalenti: 1/2 diventa 2/4 se sia il denominatore che il denominatore vengono moltiplicati per uno stesso numero e il valore della frazione non cambia.
Questa regola non è altro che la proprietà invariantiva della divisione (moltiplicando o dividendo sia il dividendo che il divisore per uno stesso numero il risultato non cambia).
La frazione è quindi una divisione! Infatti ci siamo ricordati che la linea di frazione vuol dire diviso. Poi il numeratore è il numero che sta su e il denominatore è quello che sta sotto, i termini della frazione ce li ricordavamo dalle elementari quindi non c’è stato bisogno di spiegarceli. Ma, dobbiamo ancora precisare meglio....
La professoressa ci ha chiesto: - quante sono le frazioni equivalenti alla frazione 1/2?
Ci abbiamo pensato un pochino e poi abbiamo detto che ne esistono infinite. Infatti possiamo moltiplicare in numeratore e il denominatore per infiniti numeri. (Qualcuno ha detto perché i multipli di un numero sono infiniti).
Sulle frazioni equivalenti dobbiamo però ritornare...

Abbiamo fatto ancora un altro problema:
Simone ama la musica rock, ha 57 dischi, 2/3 dei quali sono di musica rock. Quanti sono i dischi rock di Simone?
Abbiamo diviso 57 (il numero totale dei cd) per 3 e abbiamo trovato 1/3, cioè 19 cd.
Siccome ne dovevamo trovare 2/3 abbiamo moltiplicato per 2, 19 * 2= 38 , il numero dei dischi rock di Simone.
Da questo problema abbiamo capito che trovare una frazione (una parte) di una quantità, per es. il numero dei CD, è la stessa cosa che trovare una frazione di una grandezza, per esempio la tavoletta di cioccolato oppure la lunghezza del nastro.
Questo lo abbiamo spiegato in vari modi ad es. prendendo dapprima un foglio, calcolando i suoi 2/3, poi misurando la larghezza del foglio e calcolando la larghezza dei suoi 2/3, ecc...
Poi abbiamo scoperto il linguaggio specifico: la frazione è un operatore. Operatore perché lo usiamo per operare: dividiamo l'intero per quante volte ci dice il denominatore e moltiplichiamo la parte trovata per quante volte ci dice il numeratore.
Quindi: il denominatore di una frazione è il termine che indica in quante parti l'intero è stato suddiviso, il numeratore indica quante parti se ne considerano. Allora, usando il linguaggio specifico: operare su una grandezza equivale a operare sulla sua misura.
Abbiamo precisato che la frazione operatore finora usata, si chiama operatore diretto perché conosciamo l’intero e devo trovare una sua parte. Diretto perché ci viene più spontaneo dividere in parti uguali un intero e considerarne una certa quantità (di queste parti).
Abbiamo inoltre precisato che le frazioni del tipo: 1/ x (x = un qualunque numero intero) si chiamano unità frazionarie (il termine "unità" non ci veniva ma ci siamo arrivati...!). Perché si considera una sola delle parti in cui l'intero è stato frazionato.

A proposito di unità frazionarie, interrompo qui il "racconto" di Anna Laura sulle attività svolte, per mostrarvi il lavoro che Anna Laura ha fatto, da sola, senza che in classe se ne fosse parlato.
Con Excel ha rappresentato come varia il valore delle unità frazionarie al crescere del denominatore.

"Vediamo che al crescere del denominatore il valore diminuisce"
In cella C2 ha immesso la formula: =A2/B2
che poi ha copiato nelle celle sottostanti. Ha creato quindi il grafico.
Devo dire: bravissima Anna Laura!

[Matematica nella storia] Il teorema di Pitagora negli Elementi di Euclide

Già abbiamo incontrato Euclide e i suoi Elementi.
Ora vediamo come il grande matematico tratta del Teorema di Pitagora nella sua opera.

Quando Euclide scriveva i suoi Elementi, la proprietà oggi nota come il "teorema di Pitagora" era conosciuta e utilizzata già da moltissimo tempo: Euclide inserì questo teorema all'interno della sua opera, e ne fornì due dimostrazioni.
Per i matematici, dimostrare significa passare da certe premesse (le ipotesi) a una conclusione (la tesi), utilizzando una sequenza di ragionamenti logici.
Vediamo ora quali sono l'ipotesi e la tesi del così detto teorema di Pitagora, e anche quelli di un altro teorema che con il precedente ha una relazione molto importante (tanto da essere chiamato il suo inverso).

Libro I, proposizione 47
Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all'angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l'angolo retto.
Ipotesi: ABC è un triangolo rettangolo, retto in A.
Tesi: Il quadrato costruito sul lato BC è equivalente alla somma di quelli costruiti sui lati AB e AC.

Libro I, proposizione 48
Se in un triangolo il quadrato di uno dei lati è uguale alla somma dei quadrati dei rimanenti due lati del triangolo, l'angolo che è compreso tra i due rimanenti lati del triangolo è retto.
Ipotesi: Il quadrato costruito sul lato BC è equivalente alla somma di quelli costruiti sui lati AB e AC.
Tesi: ABC è un triangolo rettangolo, retto in A.

Avrai certamente notato che l'ipotesi della proposizione 47 corrisponde alla tesi della 48 e l'ipotesi della 48 corrisponde alla tesi della 47.
Non è uno scioglilingua: è ciò che accade ogni volta che siamo in presenza di un teorema e del suo inverso: l'ipotesi e la tesi si scambiano i ruoli!

Nel libro VI degli Elementi, Euclide generalizza il risultato, dimostrando che la proprietà descritta dal teorema di Pitagora continua a valere se, al posto dei quadrati, si costruiscono sui lati del triangolo rettangolo altre figure, a patto che si tratti sempre di figure simili: per ora ricordiamo solo che due figure sono simili quando puoi ottenere una dall'altra semplicemente... facendone una fotocopia ingrandita o rimpicciolita!
Libro VI, proposizione 31
Nei triangoli rettangoli la figura descritta sul lato opposto all'angolo retto è uguale alla somma delle figure simili e similmente descritte sui lati che comprendono l'angolo retto.

Nella figura di sinistra sono stati costruiti degli esagoni regolari, in quella di destra degli ottagoni regolari. In entrambi i casi, la somma delle figure costruite sui cateti è uguale a quella costruita sull'ipotenusa.

Il teorema di Pitagora è una proprietà geometrica talmente famosa che le sono stati dedicati anche numerosi francobolli; puoi vederne due qui riprodotti.

Età del figlio maggiore!

Scenetta amico e matematico continua....

Il dialogo prosegue così:
Amico: "Il mio figlio maggiore porta gli occhiali"
A questo punto il matematico risponde raggiante: ""Il più grande dei tuoi tre figli ha ... anni, complimenti per i gemelli di ... anni!"
Gli è bastato sapere che vi era un unico primogenito per scartare ...
Questa facilita no? ;-)