Per la serie, Giochi matematici....
Maurizio, con il suo ultimo post mi ha fatto venire in mente il noto problema, che vi propongo.
Propongo ai ragazzi, per chi già conoscesse...
Le età dei tre figli
Dopo molti anni, un tale va a trovare un amico, bravissimo matematico, a casa sua. Fatti i convenevoli, vuole aggiornarlo sulla sua vita usando la formula che più pensa possa appassionare l’amico, ovvero ponendogli dei quesiti:
"Quanti anni hanno i miei tre figli, se il prodotto delle loro età è 36?" chiede.
Il matematico gli risponde che non ha abbastanza informazioni per determinarlo.
Per aiutarlo allora, il tale gli dice:
"La somma delle loro età è uguale al numero civico della tua abitazione!"
Il matematico ci pensa un po' su e poi gli risponde:
"Mi dispiace ma non ho ancora abbastanza informazioni."
Domanda:
"A quale numero civico abita il matematico?"
Nota: esiste un unico caso nel quale il bravo matematico non ha elementi sufficienti per determinare subito l’età. Questo perché, in tale caso, la soluzione non è unica. In tutti gli altri casi la soluzione è unica, e il matematico non avrebbe avuto bisogno di un’informazione ulteriore.
Il problema ribadisce il fatto che in matematica non esiste sempre una sola soluzione.
Anzi, in questo esempio proprio il fatto che ci siano due possibili soluzioni, è la chiave per risolvere il quesito.
sabato 4 ottobre 2008
Problema delle età dei tre figli
giovedì 2 ottobre 2008
Numero primo con 13 milioni di cifre!
Ne hanno parlato ormai tanti amici bloggers.... e, il mio amico Paolo mi ha dato l'idea di pubblicare per i miei ragazzi!
Per loro riporto qui il post di Maestro Renato
Quadernone blu via kwout
Si tratta del 46esimo numero primo di Mersenne, scoperto il 23 agosto scorso.
I numero primi di Mersenne (dal nome del matematico francese Marin Mersenne, 1588-1684) sono espressi dalla formula $2^p - 1$, dove "p" è a sua volta un numero primo, cioè divisibile solo per se stesso e per uno. Il valore di "p" individuato dai matematici californiani, come leggiamo anche nell'immagine, è pari a 43.112.609.
Esempi di numeri primi di Mersenne:
M2=2^2-1=3
M3=2^3-1=7
M5=2^5-1=31
M7=2^7-1=127
Un numero ottenuto con questa formula può anche non essere primo, ad es:
M11=2^11-1=2047=23*89
In tal caso vengono chiamati semplicemente numeri di Mersenne.
Pi greco in lettere
I ragazzi di III, fra le curiosità riguardanti π e leggendo i commenti di Pier Luigi su Pi greco, sono stati colpiti da "Come ricordare π ?"
E anche loro si sono cimentati....
Un mondo di colori
Blu o bleu o verde, arancione ma chiaro, viola per mondo migliore incantato - Irene
Al cavaliere umbro
Ora è sera, o umbro cavaliere di Assisi, padre dei figli perugini - Nicola
Scuola
Tra i prof o altri segretari, la scuola pazza per Irene, perfetta diventerà - Laura
Macabro...
Via è luna. E' tempo maledetto, le oscure ombre dei morti avanzano disperate - Emanuele
Al baio
Hei o baio, o bello, delizioso, se andrai ancor con forte velocità arriverai allegro - Delia
Paura...
Tra i mari e laghi, lamentosi ed arcani gridi - Maria
Che randagi....
Con i cani i gatti graffiano un maiale morto nel pozzo - Federico
mercoledì 1 ottobre 2008
Scopriamo il Teorema di Pitagora
Alessandra, Laura e Irene hanno scritto la loro relazione, tutti hanno lavorato bene!:-)
Ehmm... siamo un po' in ritardo con i programmi per la verità, dunque, dicono le ragazze....
(E' la sintesi delle tre relazioni).
La prof appena oltrepassata la soglia della porta ha esclamato: oggi iniziamo immediatamente con il lavoro!!!
Ci ha proposto un'attività pratica.
Prendete un foglio a quadretti, matita, gomma. Dovrete usare poi le forbici... dunque foglio separato!
Ci ha dato le seguenti istruzioni:
1. Disegnate due quadrati congruenti, 10*10 quadretti per comodità. Il primo lo chiamate Q1 e il secondo Q2.
2. Scomponete Q1 in maniera tale da ottenere due rettangoli congruenti, e due quadrati non equivalenti, uno piccolo e uno grande.
Noi non sapevamo come orientarci e allora la prof ci da altre indicazioni:
- Basta tracciare solo due segmenti
(non è stato sufficiente....)
- Questi due segmenti devono essere perpendicolari.
Dopo vari tentativi abbiamo realizzato tutti la figura, ognuno aveva misure diverse delle dimensioni dei rettangoli e quadrati.
I primi ad arrivare alla soluzione sono stati Laura ed Emanuele.
Il disegno quindi risultava il seguente:
Come avete visto, abbiamo chiamato il quadratino piccolo A e il quadrato grande B.
Ora la prof ci dà le indicazioni per Q2.
3. Scomporre la figura Q2, in 4 triangoli rettangoli congruenti, le dimensioni dei cateti devono essere pari a quelle dei due rettangoli della figura precedente, in maniera tale che al centro si evidenzi un quadrato.
Ci mettiamo subito a lavoro. Alcuni di noi hanno completato con questa sola indicazione, altri ne hanno voluto qualcuna in più.
- Sono da tracciare quattro segmenti.
- L’angolo retto dei triangoli rettangoli coincide con gli angoli retti del quadrato Q2.
Quindi la figura è la seguente:
La prof ora ci chiede:
riuscite a stabilire una relazione tra le aree dei quadrati A e B e quella del quadrato C?
Noi dopo qualche tentativo sosteniamo che A+B = C perché:
da Q1 abbiamo sottratto i 2 rettangoli e resta A+B;
abbiamo sottratto la stessa quantità (la stessa area) da Q2 però sotto forma di triangoli rettangoli. Perché ad ogni rettangolo di Q1 corrispondono (sono equivalenti) 2 triangoli rettangoli di Q2.
4. La prof ci dice ora di ritagliare i quadrati A, B, C e un triangolo rettangolo a piacere (tanto hanno uguale misura).
5. Ci dice di comporre un puzzle con i 4 pezzi. Delia è stata la prima ad aver fatto l’accostamento giusto che è il seguente.
Il quadrato B sul cateto2 (c2).
Il quadrato C si appoggia sull’ipotenusa (i).
Queste tre frasi e la relazione di A+B = C dette in un italiano migliore risulterebbero:
"In un triangolo rettangolo succede che la somma dei due quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusa."
Questo in un triangolo rettangolo qualsiasi, infatti avevamo misure diverse dei cateti...
Senza rendercene conto abbiamo scoperto il teorema di Pitagora!
Ora dal buon italiano passiamo ancora alla matematica e "traduciamo" quella frase in una formula:
A è l'area di un quadrato che ha per lato c1, quindi la indichiamo con c1²
B è l'area del quadrato che ha per lato c2, quindi la indichiamo con c2²
C è l'area del quadrato che ha per lato i, quindi la indichiamo con i²
Allora scriviamo la relazione: A+B = C, in questa forma:
La prof ci chiede di trovarne una, anche utilizzando numeri piccoli, cioè dall’ 1 al 10. Dopo parecchi tentativi qualcuno arriva alla terna: 3, 4, 5.
3² + 4² = 5²
9 + 16 = 25
Driiiiin... la campanella è suonata!!! Ci vediamo alla prossima lezione!!!
E alla lezione successiva....
La prof riscrive alla lavagna la relazione pitagorica:
se di un triangolo rettangolo conosciamo la misura dei due cateti, come calcoliamo la misura dell'ipotenusa? Dovreste trovare la chiave, che sarebbe poi in matematica una formula!
Noi... zitti!
Allora la prof dice: posso scrivere anche così, vero?
Dunque??? Sollecitazione della prof, che ripete i² = .....
E allora... finalmente qualcuno ci arriva: la radice quadrata! Perché è l'inversa dell'elevamento a potenza 2!
Quindi possiamo scrivere:
$c2 = \sqrt{ i^2-c1^2 } $
La lezione continua con l'invito della prof ad trovare casi, considerando le figure piane che conosciamo, in cui potremmo applicare il teorema di Pitagora.
Li abbiamo trovati! Tutte le volte che su una figura piana è possibile individuare un triangolo rettangolo, si può applicare il teorema di Pitagora!
Funzionano da cateti e ipotenusa le parti della figura: possono essere lati, diagonali, altezze....
E, importante, abbiamo capito solo adesso (ecco perché dovevamo ritornarci!), perché in un quadrato:
d/l = √2
con questi passaggi:
quindi:
l²+ l² = d²
cioè:
2* l² = d²
e
$d = \sqrt{ 2*l^2 } $
con la proprietà distributiva della radice quadrata:
d = √2 * √l²
ma √l² = l perché sono un'operazione inversa dell'altra, quindi:
d= √2 * l
e
d/l = √2
Ora sì: il lato e la diagonale del quadrato sono due grandezze incommensurabili, il loro rapporto è un numero irrazionale: la radice quadrata di 2 è un numero irrazionale!
Post
