Giochi matematici

... alla corte di Carlomagno. Problemi per rendere acuta la mente dei giovani­
- Propositiones ad acuendos juvenes -

Come potete vedere si tratta del titolo di un testo scritto, in latino, da Alcuino di York (Northumbria, 735 – York, 804),

un monaco inglese chiamato alla corte di Carlomagno nell’anno 781, con l'incarico di diffondere la cultura e riformare l'insegnamento nei suoi stati. Fu nominato direttore della Schola palatina di Aquisgrana,(la scuola di Palazzo).
Alcuino raccolse una serie di problemi originali e divertenti da usare come strumento per l’educazione dei giovani.
La propositione (proposizione) XLII è la

Propositio de scala habente gradus centum
(Proposizione su una scala avente 100 gradini)

"Est scala una habens gradus C. In primo gradu sedebat columba una: in secundo duae; in tertio tres; in quarto IIII; in quinto V. Sic in omni gradu usque ad centesimum. Dicat, qui potest, quot columbae in totum fuerunt?"
C'è una scala con 100 gradini. Nel primo gradino stava una colomba; nel secondo 2, nel terzo 3, nel quarto 4, nel quinto 5. Così in ogni gradino fino al centesimo. Dica, chi può, quante colombe c'erano in tutto?

In pratica si tratta di sommare tutti i numeri interi da 1 a 100: 1+2+3+4......

Come fareste?

Alcuino propone la sua Solutio (soluzione). Volutamente, ve la riporto solo in latino! :-)

Numerabitur autem sic: a primo gradu in quo una sedet, tolle illam, et junge ad illas XCVIIII, quae nonagesimo [nono] gradu consistunt, et erunt C. Sic secundum ad nonagesimum octavum et invenies similiter C. Sic per singulos gradus, unum de superioribus gradibus, et alium de inferioribus, hoc ordine conjunge, et reperies semper in binis gradibus C. Quinquagesimus autem gradus solus et absolutus est, non habens parem; similiter et centesimus solus remanebit. Junge ergo omnes et invenies columbas ¬V L.

Ma... sono buona! Per la verità ogni scusa è buona per lavorare con Excel e farlo conoscere!

QUI un file .xls che ... somma consecutivi!

ciao!:-)

Numeri e ... G. Leopardi

Stimolata da un articolo scritto dal mio amico P. Vereni sul suo blog,
vado a rileggere Giacomo Leopardi ...
Il quale ha fatto delle riflessioni anche sul... numerare!
[Il post non è precisamente per i ragazzi, semmai potremmo leggerlo insieme, ma io ho amato il poeta e scrittore e mi piace riportare il passo seguente, dalla sua opera Zibaldone. Spero sia gradito agli adulti che ci leggono]
"Alla p.1102. È stata anche utilissima e necessarissima invenzione e pensamento quello di dividere le quantità non per unità, ma per parti di quantità contenenti un numero di quantità determinato, e perpetuamente conforme; vale a dire per diecine, ossia quantità contenenti sempre dieci unità; per centinaia contenenti sempre dieci diecine; per migliaia ec. Senza questo ritrovato ottimo ed ammirabile, noi quanto ai numeri saremmo ancora appresso a poco, nel caso degli [1395]uomini privi di favella. Cioè non potremmo concepir chiaramente l’idea di veruna quantità numerica determinata (e quindi di nessun’altra non numerica, perchè se è determinata, ha sempre relazione ai numeri), se non piccolissima.
L’idea che l’uomo concepisce della quantità numerica è idea compostissima. L’uomo è capacissimo d’idee composte, ma bisogna che la composizione non sia tanta, che la mente umana abbia bisogno per concepir quell’idea di correre tutto a un tratto per una troppo grande quantità di parti.
Se noi non dicessimo undici, cioè dieci e uno, ec. ec. ma seguissimo sempre a nominare ciascuna quantità o numero, con un nome affatto progressivo, e indipendente dagli altri nomi e numeri, e non si fosse data ai numeri una scambievole relazione, tanto arbitraria e dipendente dall’intelletto umano, quanto necessaria, e difficile; noi perderemmo ben presto l’idea chiara di una quantità determinata alquanto grossa, perchè le sue parti, essendo pure unità, sarebbero troppe per poter esser comprese in un tratto, e [1396]abbracciate dalla nostra concezione.
Se il centinaio non fosse nella nostra mente una diecina di diecine (il che, chi ben l’osserva, viene a formare un’idea non decupla, ma quasi unica e semplice, (o al più doppia) a causa del rapporto scambievole delle unità colla diecina, e della diecina semplice colla diecina di diecine); ma fosse un centinaio di pure, slegate, indipendenti, indivise unità, ci sarebbe impossibile il correre in un tratto per cento unità così disposte, e quindi non potremmo concepire idea, se non confusissima e insufficiente, di detta quantità.
Per lo contrario la nostra mente abituata alla facilità di concepir chiaramente la quantità contenuta nella diecina semplice, si abitua ancora facilmente alla stessa concezione nella diecina di diecine, ec. ec. e con un solo atto di concezione, apprende chiaramente il numero delle unità contenute in una quantità, la cui idea se le presenta così ben distribuita nelle sue parti, così relative fra loro.
Questo è infatti il progresso delle idee de’ fanciulli, i quali da principio, quantunque bastantemente istruiti circa i numeri e le materiali quantità loro ec. non si [1397]formano però mai l’idea chiara delle unità contenute in una quantità più che tanto grossa, nè intendono mai chiaramente che quantità sia p.e. il centinaio, finchè la loro mente non si è abituata nel modo che ho detto, ascendendo gradatamente dall’idea simultanea e perfetta di una diecina, a quella di due, di tre, della diecina di diecine ec. "
Da Lo Zibaldone - G. Leopardi

ciao!:-)

"Sifr" e la scrittura dei numeri

Storiella... 2

"Quelle dieci cifre costituivano uno degli elementi di un dispositivo globale che permetteva di scrivere i numeri e di usarli per i calcoli: la "numerazione decimale posizionale con uno zero". Indubbiamente una delle invenzioni più importanti dell'umanità.

Il signor Ruche [è uno dei protagonisti del racconto...] lasciò trascorrere un istante, prima di domandare: - Ma perché posizionale? Visto che nessuno mi rivolge questa domanda, mi vedo costretto a farlo io stesso. Voi dormite, per caso? [Oh... ma a volte non succede così anche a scuola? :-)]

- Nient'affatto, sto ascoltando - insorse Lea. - Trovo così appassionante questo racconto che ...

Un lungo sospiro di Jonathan le impedì di proseguire: - Ah, Baghdad...-

Scherzi a parte, sembravano veramente interessati. I numeri appassionano sempre tutti. Forse anche troppo! [...]

Il signo Ruche cominciò a rispondere alla domanda che aveva formulato poco prima:

- In pratica tutti i popoli hanno posseduto una numerazione, vale a dire un modo di scrivere i numeri. Alcune molto efficaci, altre bolse [un po' fiacche, meno efficaci], come la numerazione romana, per esempio. Nella maggior parte dei casi, il valore di una cifra è indipendente dalla posizione che occupa nella trascrizione dei numeri: il X della numerazione romana ha il valore di dieci ovunque si trovi, così come XXX vale trenta, ossia dieci più dieci più dieci [si chiamano per questo Sistemi di numerazione additivi]. Invece, nella numerazione posizionale, è vero il contrario, cioè il valore di una cifra dipende dalla posizione che occupa nella trascrizione del numero. Per dirla in una parola, la posizione 'conta'! Il numero uno vale uno, dieci o cento, a seconda che occupi l'ultimo, il penultimo o il terz'ultimo posto. - [se consideriamo le posizioni a partire da destra dovremmo dire al contrario: la prima posizione vale 1, la seconda 10 ecc...]

- Il valore dipende dalla posizione che si occupa! Mi pare di avere già sentito questo genere di slogan - lo interruppe Lea. - Più si è in alto nella società, più si acquista valore, la scala gerarchica che bisogna salire se si vuole avere successo nella vita e bla, bla, bla. - Fece una smorfia. - E tu che ne pensi, Jonathan?-

- Io mi limito a constatare che Lea vuole politicizzare le nostre sedute e ... sono d'accordo con lei. Ma...- Assumendo il tono di un vecchio saggio orientale, declamò: - Un nano seduto sul gradino più alto è più alto di un gigante che sta in piedi sul più basso. Antico proverbio arabo -.

Il signor Ruche prese la palla al balzo. - E il numero uno di 1000 vale più dei tre nove di 999. La numerazione indiana compiì un autentico prodigio, ancor più ammirevole di quello dell'alfabeto. Con una manciata di segni, tanti quante sono le dita delle nostre due mani, permette di rappresentare tutti i numeri del mondo! Ecco che cos'hanno inventato gli indiani e quanto erano in vantaggio su tutte le altre civiltà, almeno in questo campo.

Oggigiorno tutto il mondo utilizza queste cifre: se c'è un'invenzione che ha avuto un destino universale, è proprio questa. -

Lanciando un'occhiata significativa in direzione dei gemelli [Lea e Jonathan], concluse: - Ecco qualcosa che non è stato inventato dai greci! -

A quel punto si levò una voce che li lasciò interdetti: - Amico mio, non vorrai derubare noi arabi delle nostre cifre, vero? -

[...] Habibi, il droghiere di rue des Martyrs [amico della famiglia....] emerse dalla penombra nella quale era rimaso nascosto fino a quel momento. - Le cifre, lo zero, sono un'invenzione degli arabi - protestò con energia. - Che cosa ci combini signor Ruche? -

- Sono desolato, Habibi, era quello che credevo anch'io, fino a pochi giorni fa. Ma era un errore: le cifre che si utilizzano oggi sono state inventate dagli indiani, in India. E' così, e non si può riscrivere la storia. -

- Allora puoi spiegarmi come mai tutti parlano di 'cifre arabe'? -

- Quando le cifre arrivarono a Baghdad, - spiegò il signor Ruche - gli arabi le chiamarono 'figure indiane'. Un matematico, che faceva parte della Casa del Sapere [Museo, Biblioteca di Baghdad], compilò un trattato per farle conoscere e per descrivere il modo di utilizzarle. E' grazie a lui che gli arabi hanno conosciuto le cifre indiane. Alcuni secoli dopo, il libro è stato tradotto in latino, diventando uno dei più grandi best-seller della fine del Medioevo. Per mezzo di quell'opera le cifre sono state conosciute in Francia, in Italia, in Germania, e infine si sono diffuse in tutto il mondo occidentale.

E poiché è stato grazie alla mediazione degli arabi che i cristiani le hanno conosciute, le hanno battezzate 'cifre arabe' e hanno dichiarato che lo zero era un'invenzione araba. E se tutti dicono 'cifre arabe', e non 'cifre indiane', è perché, nel corso dei secoli, il mondo occidentale si è arrogato il diritto di dare un nome alle cose per conto di tutta l'umanità. -

[...]

- Non essere triste, Habibi. Gli arabi non hanno inventato le cifre, però hanno creato qualcos'altro di veramente formidabile. Se poco fa ho detto che l'algebra non era nata in Grecia, è perché è nata a Baghdad! -

Da: Il teorema del pappagallo - Denis Guedj

... quella dell'algebra, più avanti, sarà per noi un'altra bella storiella!

Nel frattempo godetevi questo gioco:

ciao!:-)

Storiella...

Per i nuovi della I A ... ma anche per i "vecchi". Ma della nuova II! :-)

Dovete sapere che durante il califfato (nel Medioevo islamico, il califfo era il supremo capo spirituale e politico) di al-Ma'mun (anni 813-833 IX secolo), giunse a Bagdad (la città di Bagdad, fondata nell'anno 762 d.C., era detta anche Madinat el Salaam (Città della Pace). E' la città in cui, alla corte del Califfo Harun al Rashid, furono ambientate le favole delle "Mille e una Notte") una carovana ricca di merci e doni per il califfo, che veniva dalle Indie.

"Tra i doni contenuti nei suoi bauli ce n'era uno che avrebbe avuto un'importanza decisiva per i sapienti arabi: il Siddantha, un testo di astronomia completo di tavole, scritto un secolo prima da un matematico e astronomo indiano Brahmagupta (598 – 668).
Subito tradotto in arabo, sarebbe diventato celebre sotto il nome di Sindhind. Nelle sue pagine era contenuto un tesoro. Dieci piccole cifre! Oh, niente di più familiare, per voi: si tratta delle cifre con le quali facciamo i calcoli. Sì, uno, due, tre ... fino al nove. Senza dimenticare l'ultimo, lo zero.
L'erudito incaricato di consegnare i doni al califfo, un certo Kanka, le conosceva bene, visto che le usava da anni per i suoi calcoli. Quante volte, per ingannare il tempo, le aveva salmodiate nel corso degli innumerevoli giorni di viaggio che lo avevano condotto alla città rotonda! [Bagdad].
A forza di sentirli, anche i carovanieri avevano finito per impararli a memoria. La sera, intorno al fuoco, si sentiva la voce di uno di loro che snocciolava le cifre nel silenzio della notte; e gli altri carovanieri le ripetevano in coro.

[...] <<Eka, dva, tri, catvar, panca, sast, sapta, asta, nava ... >>

- E lo zero?
[...] <<Sunya!>> [...]
In sanscrito sunya significa 'vuoto'. Lo zero è rappresentato da un piccolo cerchio. Perché un cerchio? In effetti non si sa. Si sa invece che, tradotto in arabo, sunya diventa sifr, che, tradotto in latino, diventa zephirum, che, in italiano, dà luogo a zefiro. E da zefiro a zero il passo non è lungo.
Invece il nome dello zero, sifr, divenne quello di tutte le cifre. Lo zero, 'quel niente che tutto può', meritava in tutto e per tutto il suo nome."

Da Il Teorema del Pappagallo - Denis Guedj
La storia continua....

alla prox! :-)