Sarà mica matematica 40, le nostre soluzioni

Pronto l’ultimo post-soluzioni dell’anno scolastico.

Sono le soluzioni del

 Sarà mica matematica 40

Solutori ormai un po’ stanchi, forse più del dovuto hanno faticato nelle risposte ai quesiti e più del dovuto ho dovuto io ritoccare l’italiano!

Quesito 1, numeri triangolari e triangoloni

Da una serie di immagini in sequenza tipo questa:

si chiedeva l'area totale del triangolone con 40 triangolini alla base e quanti triangolini bianchi esso contiene.

Solutori e soluzioni per la classe prima:

Roberta, per la prima, miglior risposta!

L'area totale del triangolone è di 1600 cmq e contiene 780 triangolini bianchi. Per trovare questo risultato mi sono servita della formula per trovare i numeri triangolari: n * (n + 1) / 2
Se n è il numero di triangolini arancioni della base, devo trovare il 40° numero triangolare: 40 * (40 + 1) / 2 = 820
Poi ho riflettuto che nella prima fila di triangolini bianchi, partendo dal basso, ci sono 39 triangolini e ho fatto: 39 * (39 + 1) / 2 = 780 
Infine ho trovato l'area totale dei triangolini bianchi e arancioni (ognuno di essi ha area 1cmq) e poi ho sommato:
780 * 1cmq = 780 cmq
820 * 1 cmq = 820 cmq
780 cmq + 820 cmq = 1600 cmq.

Paola:

L'area del triangolone è di 1600 cm^2 perché:
negli esempi del prof. Davide con due triangolini arancioni alla base l’area del triangolone è di 4, con tre triangolini è di 9, con quattro è di 16, quindi con 40 l’area è di 40*40= 1600.
I triangoli bianchi sono 780 perché la formula dei n° triangolari è: n*(n + 1) / 2. Quindi faccio 39*40 / 2 = 780.

Andrea:

Calcolo il numero dei triangolini bianchi con la formula: 39*40/2=780, quelli arancioni invece sono 820 perché la base è di 40 e a 780 aggiungiamo 40 che sono in più [è così ma Andrea non spiega il perché]. Siccome ogni triangolino ha un'area di 1 cm^2 facciamo 820(triangolini arancioni)+780(triangolini bianchi)= 1600 cm^2.

Antonio:

l'area del triangolone è 1600 perchè:
la formula n*(n+1):2 mi fa trovare il numero esatto di triangolini arancioni:
40*(40+1):2=820.
Per completare il triangolone mi servono i triangolini bianchi: osservando le figure del quesito ho notato che l’esempio dei quattro triangolini alla base iniziava con 4 triangolini arancioni poi 3 bianchi, 3 arancioni, 2 bianchi, 2 arancioni, 1 bianco e finiva con 1 arancione. Gli arancioni sono 4 triangolini in più.
Quindi ho applicato la formula:
n*(n+1):2-n cioè:
40*(40+1):2-40=780
780+820=1600.

Marta C.:

I triangolini arancioni sono 820 perché n*(n+1)/2=40*(40+1)/2=820 che sarebbe il 40esimo numero triangolare.
I triangolini bianchi sono 780 perché togliendo 1 triangolino per ogni fila sarebbero 40, quindi 820-40=780 e infine l'area del triangolone è 820+780=1600

Elisa:

L’area del triangolone è 1600 cmq perché ho visto dagli esempi che l’area completa dei triangoloni era il numero di triangoli arancioni della base elevato alla seconda. Poi per sapere quanti triangoli arancioni ci sono ho addizionato i numeri da 1 a 40 (1+2+3+4+5...........+40) [ah!] e mi ha dato 820 che ho sottratto da 1600: 1600-820=780. 780 sono i triangoli bianchi.

Yuri:

L' area è di 1600 cmq: ho fatto 40*40 basandomi sugli esempi del prof. Davide.
Poi invece il numero di triangoli bianchi è 780 con la rispettiva aerea da 1cmq.
Ho trovato il risultato facendo uso di una formula n*(n+1)/2, e cioè 39*40/2=780cmq (numero di triangoli bianchi alla base del triangolone, l'ho trovato osservando che essi erano uno in meno dei 40).

Elena e Luca inviano soluzioni non corrette e non rispondono all’invito al ripensamento! (A Elena sarebbe bastato davvero poco, ha ragionato bene inizialmente ma si è persa nella seconda parte…)

Solutori per la classe terza:

Alessia, miglior risposta per la terza 

L'area del triangolone avente 40 triangoli alla base è 1600 cm^2. L'area del triangolone è uguale alla somma dei numeri triangolari consecutivi, il 39° e il 40°.
Il 39°: 39*40/2=780
780 è il numero dei triangolini bianchi
il 40°: 40*41/2=820, il numero di triangoli arancione
780cm^2+820cm^2=1600cm^2

Antonella:

L'area del triangolo grande è di 1600cm^2 perche ho calcolato il quadrato della base da 40cm (basandomi sugli esempi del prof. Davide). Per trovare i triangoli arancioni applico questa formula:(nxn+1)/2= (40x41)/2=820. Per calcolare i triangolini bianchi sottraggo 820 da 1600=1600-820=780.

Miriam:

osservando bene i diversi triangoli dell'esempio ho notato una regolarità: …. qualsiasi fosse il valore di n (base), l'area era sempre il suo quadrato. Perciò, sostituendo n con 40cm, posso dire che l'area è 1600 cm^2, pari a 40^2.
Per conoscere il numero di triangolini bianchi presenti ho usato la formula: 39*(1 + 39)/2 = 780 = numero di triangolini bianchi.
in effetti, 780 non è un numero qualsiasi: è un numero triangolare!
In matematica, i numeri triangolari sono quei numeri poligonali che, rappresentati con altrettanti punti, si possono disporre a formare dei triangoli.

Elisa:

1) l'area del triangolo che ha per base 40 triangolini è di 1600 triangolini, ho semplicemente fatto 40x40, come ho notato osservando gli esempi del prof.

2) i triangoli bianchi sono 780. Come avevamo detto in classe la formula per la somma di n numeri naturali è n*(n+1) /2 quindi ho seguito questa formula per trovare il numero di triangoli arancioni, quindi ho fatto 40*(40+1)/2=820 poi ho fatto 1600-820 e trovo 780.

Gian Franco:

basandomi sulla regolarità degli esempi dati ho intuito che il triangolone con quaranta triangoli alla base ha l'area di 1600 cmq. Per quanto riguarda la seconda domanda ho pensato di trovare il numero dei triangoli arancioni, perché nel triangolone, la somma dei triangoli arancioni rappresenta il 40esimo numero triangolare, ovvero la somma dei numeri naturali (triangoli arancioni) in successione. Ho applicato la formula n(n+1)/2, cioè: (40*41)/2 ottenendo 820cmq. Da questo deduco che i triangoli bianchi sono 780 sottraendo 820 dai totali cioè 1600-820=780.

Quesito 2, i numeri autobiografici (a proposito, per il Sarà mica i miei alunni quasi mi ignorano, avevo chiesto “i numeri raccontano sé stessi, quindi sono auto……. ?” Macché, hanno risposto solamente Davide e Antonella ) nei quali, come accenna il prof Davide, non importa tanto il valore delle cifre, quanto i numeri di cifre. 

Solutori per la prima: Davide, Roberta, Paola, Andrea, Yuri, Elisa, Antonio, Nicol, Margherita, Luca.

Quasi tutti sinteticamente dicono:
Il settimo e ultimo numero che si racconta è 1210.
Sono arrivato alla soluzione dopo qualche tentativo.
1210 perché:
la prima cifra indica quanti 0 ci sono nel numero: 1
la seconda indica quanti 1 ci sono nel numero: 2
la terza quanti 2 ci sono nel numero : 1
la quarta quanti 3 ci sono nel numero: 0

Paola spiega un tantino meglio il ragionamento seguito:

il settimo n° è 1210 perché, oltre a essere il più piccolo, ho notato che tutte le prime cifre sono 6,5,4,3,2,2 e mancava solo l'1. Se ho messo 1 come prima cifra ci doveva essere per forza uno 0 che ho messo come ultima cifra, se lo mettevo per 2° non andava bene perché un 1 c' è già, non potevo neanche mettere 1 come 2° cifra perché se no c'erano due 1 e quindi ho messo il 2. Lo 0 non lo potevo neanche mettere per 3° cifra perché ho messo il 2 come 2° cifra e non potevo mettere il 2 come 3° cifra perché ho considerato che c'erano due 1, quindi come 3° cifra ho messo l'1.

E Antonio:

deve essere più piccolo di 2020 quindi devo mettere uno 0 alla fine per perchè se no supererebbe il 2020, quindi considero che ci sia uno 0 e così metto 1 come prima cifra (per indicare quanti 0 ci sono), per indicare quanti 1 ci sono devo mettere per forza 2, perche se mettessi 1 ci sarebbero due uno quindi sarebbe una falsità. Per terza cifra devo mettere 1 per indicare quanti 2 ci sono. Ricapitolando:
1=c'è uno 0 nel numero
2=ci sono 2 uno nel numero
1=c'è un 2 nel numero
0=non ci sono 3 nel numero.

Per la terza: Alessia, GianFranco, Antonella, Miriam, Elisa

Solo qualcuno, al di là della giustificazione delle cifre 1-2-1-0, spiega un certo ragionamento. Alessia:

Il numero è 1210. Per trovarlo ho più o meno ipotizzato il numero che volevo "creare" cioè, volevo che nel numero ci fosse uno 0, quindi la prima cifra era 1, poi se avessi ipotizzato che ci fosse solo un 1 avrei dovuto scrivere 1 come seconda cifra ma sarebbe stata una contraddizione perché realtà sarebbero stati già due, quindi come seconda cifra ho scritto 2. La terza cifra era facile perché doveva “raccontare” che nel numero era presente un solo due e poi confermava il secondo criterio (erano presenti 2 uno) e infine l'ultima cifra era 0 perché non c'era nessun 3 nel numero e confermava il primo criterio (solo uno 0).

Gian Franco:

Il numero è 1210. Inizialmente ho pensato che il numero iniziasse con l'1. Quindi ci doveva essere uno 0. La seconda cifra non poteva essere un 1 perché in quel caso doveva essercene solo una all'interno del numero completo. Quindi ho provato a mettere come seconda cifra il 2. La terza cifra a questo punto poteva essere solamente l'1 perché avrebbe dovuto indicare quanti 2 ci sono all'interno del numero e anche perché quest'ultimo doveva contenere due 1. La quarta e ultima cifra doveva essere lo 0 in quanto non erano presenti 3 e perché il primo numero indicava che ci sarebbe stato un solo 0. Poi ho ricontrollato tutto il numero e i principi erano rispettati.

Elisa:

Il numero è 1210 perché
1= c'è un solo 0
2= ci sono due 1
1= c'è un solo 2
0= non ci sono 3
Questo numero l'ho pensato più o meno seguendo questa sequenza: per il primo numero ho scelto l'1 perché così avrei messo uno 0 alla fine che indicava che non c'erano 3, poi per indicare che c'era un solo 1 avrei dovuto mettere un altro 1 ma così ne avevo due... quindi ho messo prima il 2 che indicava "i due 1", poi ho messo l'1 che indicava il singolo 2 e infine lo 0.

Bene, finito finito!

Al solito, Bravo a chi ha retto fino alla fine, e anche a chi ha tentato.

Un GRAZIE più grande del solito al prof. Davide, stavolta per averci fatto conoscere nuove curiosità matematiche, e per averci fatto pensare con tutte le sue belle e interessanti proposte, che ci hanno arricchito aiutandoci a crescere. 

Arrivederci al prossimo anno con i giochi matematici!

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