Quadrilateri inscritti e circoscritti (aggiornamento)

Ragazzi, ancora un'altra attività.
Che a questo punto faremo insieme, visto che la tecnologia non ci sostiene! :-(
Ma ... dite la verità: la connessione a me non "obbedisce" un po' di più??? :-) :-)

Una proprietà dei quadrilateri inscritti

Osservate l'applet su questa pagina .
Se non va, scaricate il file quadrilatero_inscritto.ggb)
Il quadrilatero ABCD è inscritto in una circonferenza.
Ferme restando le condizioni di inscrittibilità valide per qualsiasi poligono, scopriamo una particolare proprietà dei quadrilateri inscritti.
Osservate le coppie di angoli α - γ e β - δ:
Sapreste dire qual è la somma delle ampiezze degli angoli γ e δ ?
γ + δ = ?
A quanto è uguale α + β ?
Su, dovete sfruttare la proprietà scoperta qui.
Naturalmente godono della stessa proprietà gli angoli in A e in C.
Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza i suoi angoli opposti sono ... ?

Una proprietà dei quadrilateri circoscritti

Ancora clic QUI, come prima... tornate a leggere,
oppure scaricare quadrilatero_circoscritto.ggb)
Il quadrilatero è circoscritto a una circonferenza.
Muovete con il mouse a piacere i punti O H G J I.
Sapreste spiegare perché la somma di due lati opposti è uguale alla somma degli altri due?
Vi aiutano le coppie di segmenti p - q; r - s; t - a1; d1 - b1
e la proprietà scoperta qui.
[Aggiornamento]: riporto ancora i risultati della lezione (valgono le stesse considerazioni espresse qui)
Abbiamo svolto per intero la prima parte: una proprietà dei quadrilateri inscritti.
I ragazzi hanno saputo utilizzare informazioni e proprietà:
"α + β è un angolo giro! 360°"
"quindi γ + δ = 180°!"
Brava Maria, che ha ricordato la terminologia specifica: "i due angoli opposti sono supplementari" ! :-)
In precedenza avevano lavorato su Angolo al centro e angolo alla circonferenza:
giungendo alle corrette conclusioni.
(Ragazzi, se leggete: ricordare i compiti per casa!)
1) facile: dimostrare la proprietà per gli altri due angoli opposti, in A e in C, e
2) più concentrazione: spiegare perché la somma di due lati opposti è uguale alla somma degli altri due nel quadrilatero circoscritto.

Tangenti a una circonferenza, proprietà (aggiornamento)

Studiamo la
retta tangente a una circonferenza.
Clic sulla figura

e le proprietà delle tangenti

[Aggiornamento]: per riportare, non senza esprimere soddisfazione :-), i risultati della lezione e per testimoniare l'utilità didattica dell'utilizzo del software GeoGebra.
I ragazzi hanno intuito facilmente la congruenza dei due triangoli POB e POC.
"C'è un asse di simmetria! Il segmento PO. Quindi se piego la figura lungo PO i triangoli combaciano"
"Allora l'angolo in P viene diviso esattamente in due parti uguali"
"I due triangoli rettangoli hanno un cateto congruente (i due raggi) e l'ipotenusa in comune (il lato PO) quindi la stessa, perciò, con il Teorema di Pitagora.... anche l'altro cateto è congruente".
Inoltre:
La proprietà della tangente a una circonferenza, perpendicolare al raggio, ci ha dato l'opportunità di sconfinare (quindi un avvio ulteriore ...) nella geometria analitica:
Abbiamo verificato, tracciando la tangente (strumento Tangente) per lo stesso punto B, che le due rette sono la "stessa retta".
Visualizzando "Finestra Algebra" di GeoGebra, si osserva che esse hanno la stessa equazione (i segni dei coefficienti e del termine noto risultano opposti).
Approfondito un po' il discorso sull'equazione di una retta generica (l'equazione della retta passante per l'origine degli assi cartesiani è già nota ai ragazzi), con excel abbiamo costruito il grafico delle due rette.
Ci hanno impegnato un po' i passaggi algebrici per la trasformazione delle equazioni dalla forma: ax + by = c, così riportata da GeoGebra,
nella forma y = kx + q
Ma abbiamo avuto modo di sviluppare/consolidare "consapevolezze"...

[Segnalazioni] Geogebra, gli slider e le animazioni

Maestra Renata, fantastica con GeoGebra (ma non solo!) ci mostra passo a passo, come creare gli slider e le animazioni, appunto con GeoGebra!

Geogebra, gli slider e le animazioni | Splash ragazzi

Grazie, maestra Renata! :-)

Angolo al centro e angolo alla circonferenza

Ragazzi,
Osservate la figura, leggete un po’ le indicazioni sul post e poi fate clic per aprire l’applet geogebra

L'angolo che ha il vertice nel centro della circonferenza viene chiamato angolo al centro.
Ogni angolo al centro insiste su un arco di circonferenza.
Nella figura l'angolo al centro CÂD insiste sull'arco CED
L'angolo che ha il vertice sulla circonferenza e i lati secanti la circonferenza, viene chiamato angolo alla circonferenza.
CBD è un angolo alla circonferenza, insiste sull'arco CED.
Ora andate ad agire sull’applet seguendo le indicazioni sul foglio di lavoro e …alla scoperta di proprietà!
La prima considerazione: ci sono infiniti angoli alla circonferenza che insistono su un arco ma soltanto un angolo al centro che insiste sullo stesso arco.
Avete saputo trarre la conclusione al variare della lunghezza dell'arco CED e dei valori delle misure dei due angoli?
.............................
Come avrete notato nel muovere il punto B:
tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco, sono congruenti fra loro.
Ora muovete il punto D oppure quello C, fino ad ottenere l'angolo al centro di 180°.
Quanto misura l'angolo alla circonferenza corrispondente?
Muovete ancora il punto B e verificate ulteriormente le proprietà.
Ricordate il triangolo rettangolo inscritto in una circonferenza?
Per la verità inscritto in una ...circonferenza!