[Matematica nella storia] Le prime teorie sulle proporzioni

La teoria delle proporzioni ha radici molto profonde....
Già i Babilonesi utilizzavano proporzioni per risolvere i problemi. È però da attribuire ai Pitagorici lo sviluppo di una vera e propria teoria delle proporzioni, viste da questi filosofi-matematici come relazioni puramente numeriche, mentre più tardi vennero interpretate come relazioni tra grandezze geometriche.
Pitagora visse nel VI secolo a.C. in Grecia, ma conobbe i matematici babilonesi, dai quali apprese, ad esempio, l'uso delle proporzioni.
I Pitagorici consideravano il «numero» come base di ogni cosa: ogni numero aveva un significato e influiva sulla vita delle persone, un po' come i segni zodiacali per gli astrologi.

La scuola pitagorica continuò la sua attività ancora per diversi secoli: la caratteristica di questa scuola fu la netta distinzione tra
• lo studio della teoria dei numeri in sé e per sé a cui i Pitagorici si dedicavano con passione, quasi con fanatismo, e
• lo studio delle tecniche di calcolo, che veniva chiamato logistica e di cui essi non si occuparono minimamente.

La «numerologia» è una tradizione che incuriosisce e interessa ancora oggi molte persone.
Per matematici che tenevano in tanta considerazione il numero, la proporzione, che offriva un'immagine così ricca di regolarità, era certamente molto intrigante.
Infatti, partendo da tre relazioni fondamentali, che Pitagora aveva appreso nel corso dei suoi viaggi in Mesopotamia, la scuola pitagorica si dedicò allo studio delle proporzioni fino a costruire un complesso armonico e coerente.

Le tre specie di proporzioni, che costituivano il fondamento delle teorie dei Pitagorici, possono essere così descritte, usando l'attuale linguaggio matematico.

1. PROPORZIONE ARITMETICA
4 numeri a, b, c, d sono in proporzione aritmetica quando
b + c = a + d
ossia quando la somma dei medi è uguale a quella degli estremi.

2. PROPORZIONE GEOMETRICA
4 numeri a, b, c, d sono in proporzione geometrica quando
a * d = b * c
ossia quando il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi.

3. PROPORZIONE ARMONICA
4 numeri a, b, c, d sono in proporzione armonica quando
1/b + 1/c = 1/a + 1/d
ossia quando i loro reciproci sono in proporzione aritmetica.

Sulla base di queste tre proporzioni, la scuola pitagorica elaborò un sistema di dieci uguaglianze (dieci è il numero perfetto secondo i pitagorici), ognuna delle quali esprime una relazione fra tre numeri, a, b e c, quando b è un medio proporzionale tra a e c (proporzione continua).

Le dieci uguaglianze sono le seguenti:

1) a-b=b-c (proporzione aritmetica)
2) a:b=b:c (proporzione geometrica)
3) a:c=(a-b):(b-c) (proporzione armonica)
4) a:c=(b-c):(a-b) (proporzione subcontraria)
5) b:c=(b-c):(a-b)
6) a:b=(b-c):(a-b)
7) a:c=(a-c):(b-c)
8) a:c=(a-c):(a-b)
9) b:c=(a-c):(b-c)
10) b:c=(a-c):(a-b)

Nella proporzione aritmetica la relazione è di tipo quantitativo perché un estremo ha sul medio "la stessa eccedenza che il medio ha rispetto all’altro estremo."
Al contrario nella proporzione geometrica la relazione fra i termini è di natura qualitativa, poiché è "una relazione di rapporti."
Diversa da entrambe la proporzione armonica, che stabilisce l’uguaglianza del rapporto degli estremi e di quello fra la differenza dei termini più grandi e la differenza dei termini più piccoli, come esprime la formula citata.
Tale proporzione è detta armonica perché su di essa si basano i rapporti fra le corde degli strumenti musicali, rapporti che danno luogo a suoni determinati.

Alle tre proporzioni, aritmetica, geometrica e armonica, corrispondono, rispettivamente, la medietà (o media) aritmetica,
semisomma degli estremi
$b = \frac{(a+c)}{ 2}$

la medietà geometrica,
radice quadrata del prodotto degli estremi:
$b= \sqrt{ ac } $

e la medietà armonica,
quoziente ottenuto dal doppio prodotto degli estremi e dalla loro somma:
$b = \frac{2ac}{(a+c)}$

Questa interpretazione trovava appunto delle incoraggianti conferme nello studio della musica; infatti considerando i due toni che definiscono l'intervallo di ottava (do grave e do acuto) come termini estremi a e c di una proporzione, risulta che, essendo essi in rapporto di 1/2, la loro media aritmetica
è b = (2+1)/2 = 3/2
mentre la loro media armonica è
b = 2(2*1)/(2+1) = 4/3.
L'intervallo di quinta è quindi la media aritmetica tra due toni distanti di un’ottava, mentre quello di quarta ne è la media armonica.
Quanto alla proporzione geometrica, essa mette in relazione le due medie, essendo
2 : 4/3 = 3/2 : 1.

Costruzione di terne pitagoriche_2

Ragazzi, finisco io di preparare l'attività.
Si era rimasti al punto:
"Nella costruzione di terne pitagoriche con il metodo dei due valori r e s con r › s, per ottenere terne primitive non è sufficiente partire da due numeri uno pari e uno dispari."
Alessandra aveva intuito bene, ma solo in parte.
Ho continuato a lavorare con Excel... Osservate la tabella:
Ho evidenziato (ehi c'è la formattazione condizionale, date uno sguardo al comando...) con sfondo giallo tutte le righe in cui si hanno i casi: r pari e s dispari (mi accorgo ora che manca il caso r dispari e s pari, ma ciò non influisce ai fini della nostra indagine).
Notate però la colonna verifica terne primitive: non tutte le righe a sfondo giallo contengono terne primitive!
Solo le righe dallo sfondo giallo chiaro contengono tali terne. L'ho fatto per aiutarvi!
Dunque: qual è l'altra condizione necessaria affinché due valori r e s generino terne pitagoriche primitive?
Mi sa che scoprirla è fin troppo semplice!
Potete anche scaricare il file e proseguire con altri tentativi. Basta trascinare le formule nelle celle sotto...

"In proporzione... Che sproporzione! ..."

Ragazzi, nella vita di tutti i giorni si fa riferimento alle proporzioni, non sempre in termini rigorosamente matematici.
Leggete con attenzione i due esempi che seguono e poi rispondete ai quesiti.

In proporzione...
Una signora che cerca casa per il suo figliolo, si lamenta: "Certo che l'affitto di un appartamento piccolo è, in proporzione, più alto dell'affitto di un appartamento grande!"
Cosa intende dire?
Spiegatelo cercando di essere precisi:
- individuate le grandezze in gioco,
- costruite i due rapporti e metteteli a confronto ( › , ‹ , =)

Che sproporzione! Ma non c'è proporzione!
Nelle frasi che seguono si fa riferimento alla proporzione, ma si parla di un solo rapporto.
- Tutto questo cibo è sproporzionato rispetto al mio appetito
- Questa sedia antica è molto bella, ma la sua altezza è sproporzionata rispetto al tavolo.
- Questo frigorifero è molto piccolo per voi che siete in tanti. Non c'è proporzione!
In realtà c'è sempre un altro rapporto a cui si pensa per un confronto, altrimenti non si parlerebbe di proporzione.
- Per ogni caso indicate di quale rapporto si tratta.
- Costruite, per ogni frase, i due "rapporti" della proporzione e metteteli a confronto ( › , ‹ , =).

Ad es. per la prima frase:
quantità di cibo : livello di appetito › quantità di cibo usuale : livello di appetito usuale

In generale quando ci si esprime mediante una frase del tipo precedente si fa riferimento a un rapporto teorico: cercate di spiegare come nasce nella nostra mente una frase di quel tipo.

[Matematica nella storia] L'accademia di Platone e Eudosso di Cnido

Il concetto di rapporto...
Nel IV secolo a.C. ad Atene, un momento d'oro della civiltà greca, la scuola più importante era l'Accademia di Platone.
Platone (428/427-348/347 a.C.) era un «leader» degli intellettuali dell'epoca, e godeva grande fama anche da un punto di vista pedagogico, pertanto la sua Scuola era frequentata dalla migliore gioventù della città.
Sulla porta della scuola era scritto: Non entri nessuno che sia ignorante in Geometria.
La geometria era una delle cosiddette sette arti liberali: la geometria, l'aritmetica, la musica, l'astronomia, la grammatica, la retorica e la dialettica, il cui insegnamento costituiva allora, ed è stato per molti secoli, la base dell'educazione scolastica.
Platone in prima persona si occupò di matematica solo marginalmente, ma lasciò sicuramente una forte impronta culturale. A lui si deve infatti il consolidamento della netta distinzione, di scuola pitagorica, tra:
• aritmetica: studio della teoria dei numeri in quanto aventi una propria essenza e dignità, studio adatto a elevare la mente su un piano di ragionamento astratto
e
• logistica: studio delle regole di calcolo, studio adatto a chi si occupa di affari o di guerra, a chi doveva operare su oggetti concreti, fossero uomini o anfore d'olio, a chi doveva sommare, moltiplicare o suddividere.

Un'analoga suddivisione egli prevedeva per la geometria.
Dalla scuola di Atene uscirono pertanto importanti matematici con l'impronta platonica del privilegio assoluto della matematica teorica su quella applicativa.
Questo portò sicuramente a un ampliamento delle conoscenze e alla costruzione di importanti impianti teorici, ma lasciò campo libero ad esempio agli indiani e agli arabi per quanto riguarda l'aspetto certamente pratico ma fondamentale della scrittura dei numeri.

Il concetto di rapporto, per il legame che crea tra due numeri, era sicuramente molto interessante per i teorici della scuola di Atene, ma rimase sempre piuttosto indefinito in sé e per sé.
Maggiori attenzioni ebbe l'uguaglianza di due rapporti, cioè la proporzione.
Chi si dedicò in modo particolare a questi studi e ne ricavò le osservazioni più durevoli fu Eudosso di Cnido (408 - 355 a.C.), che per un certo periodo fu allievo di Platone in persona.

Prima degli studi di Eudosso per i matematici greci era difficile accettare l'esistenza di un rapporto che non si presentasse come il rapporto tra un numero intero e un altro numero intero. In questo modo, ad esempio, non era possibile considerare il rapporto tra 1 e √2 (la lunghezza del lato del quadrato, considerata come unità, e la sua diagonale).
Eudosso diede invece una rivoluzionaria definizione di rapporto perché permetteva di prendere in considerazione qualunque tipo di numero.
Si dice che due grandezze sono in rapporto tra loro quando si può trovare un multiplo dell'una che superi l'altra. Questa affermazione è generalmente nota come «Assioma di Archimede», ma è lo stesso Archimede che ne attribuisce la paternità a Eudosso.

Osservate che questa definizione elimina molte complicazioni dovute alla presenza dello 0, in quanto lo esclude come numero che possa far parte di un rapporto. Infatti nessun multiplo dello 0 può essere maggiore di un altro qualunque numero diverso da 0.

Esercizi per i ragazzi:
1) Avendo letto il testo precedente, avrete letto la differenza fra aritmetica e logistica.
Esaminate i seguenti casi e indicate per ogni situazione se ci si occupa di aritmetica o di logistica:
- il calcolo di quanto spenderò oggi per la spesa;
- lo studio delle proprietà delle operazioni;
- l'applicazione della proprietà invariantiva della divisione per semplificare i calcoli;
- il calcolo dello sconto che mi è stato fatto quando ho acquistato la bicicletta;
- lo studio delle operazioni interne agli insiemi N, Q, R.

2) Dopo aver riletto la definizione di rapporto data da Eudosso, applicatela alle seguenti coppie ordinate di numeri:
(7; 30) (12; 50) (36; 9) (42; 14)