Proseguiamo per il nostro viaggio a piccoli passi, alla scoperta dei "segreti" per risolvere con facilità i problemi di aritmetica o come preferiamo dire, per utilizzare le 4 operazioni fondamentali!
Come abbiamo già detto, le difficoltà più frequenti si presentano nei casi in cui è richiesto l'uso delle operazioni inverse.
Continuando a parlare di problemi di tipo additivo, è la sottrazione l'operazione che dobbiamo imparare a gestire. Ma talvolta.....
Esaminiamo quindi qualche altro esempio di problemi additivi di base.
Premetto che questi esempi prevedono delle trasformazioni di quantità, di dati. E' molto importante anche questo: abituarsi a inquadrare in un medesimo schema logico questioni diverse.
1) Nicola aveva 30 figurine, ne ha regalato 7 a Guido. Quante figurine ha ora Nicola? (trasformazione)
Tenete sempre presente i tre modi per scrivere l'addizione:
a + b = c
c - a = b
c - b = a
Siete capaci di dire quali sono, nel nostro esempio, i termini conosciuti?
"quante figurine ha ora Nicola": mi fa pensare ... che devo trovare una parte rimanente, resto o differenza.
Sono certa che la vostra risposta è: "il termine c, 30, il totale delle figurine di Nicola, e una sua parte, a, 7, le figurine regalate!"
Quindi: totale - parte conosciuta = parte rimanente;
c - a = b; 30 - 7 = 23
2) Maria il mese scorso aveva un gruzzoletto di 15 euro di risparmi. Ora possiede 19 euro. Quanti euro ha risparmiato ancora? (trasformazione)
In questo caso potreste avere qualche difficoltà a individuare immediatamente il "totale".
Perciò dovete fare molta attenzione alla domanda: quanti euro ha risparmiato ancora?
[approfitto per ribadire l'importanza della attenta lettura (e rilettura!) del testo del problema, soffermandosi per cercare di comprendere ogni informazione: i dati del problema].
Già abbiamo detto che il problema comporta una trasformazione di quantità. E credo che quel "ancora" vi aiuti ad individuare per prima, la parte conosciuta.
15 euro: è il dato iniziale
19 euro: è il dato finale
15 euro sono una parte dei risparmi totali, 19 euro.
Ora è chiaro vero? 19 - 15 = 4 euro risparmiati ancora!
3) Marco ha regalato 4 delle sue macchinine al fratellino. Ha ora 11 macchinine. Quante ne possedeva inizialmente? (trasformazione)
Anche in questo caso: leggere attentamente!
"quante ne possedeva inizialmente"....... mi fa pensare che il totale è ... sconosciuto!
11 macchinine: una parte
4 macchinine: una parte
Non occorre scrivere la soluzione vero? :-)
mercoledì 5 settembre 2007
Risoluzione di problemi aritmetici_2
martedì 4 settembre 2007
E ancora ... Pitagora!
E sì ... per rilassarci tra un problema e l'altro. Ve lo avevo detto che su Pitagora non sarebbe finita lì!
"Ecco come si mettevano alla prova i candidati [a frequentare la scuola pitagorica]. Pitagora cominciava col verificare se il postulante [colui che chiedeva di essere ammesso alla scuola] era capace di "tenere la lingua a freno": era questo il termine che usava. Sarebbe riuscito a tenere per sé quello che aveva sentito durante le sedute di insegnamento? In un primo tempo, vedete, il silenzio gli interessava più della parola. 
La sala dove si tenevano le lezioni era divisa in due da una tenda: Pitagora si trovava da una parte e i postulanti dall'altra, quindi avevano accesso al suo insegnamento solo grazie all'udito. Lo sentivano, ma senza vederlo. E quel periodo di prova durava cinque anni! [...] La tenda era di estrema importanza nella vita della scuola pitagorica. Oltrepassarla significava aver superato con successo le prove d'iniziazione. I membri della scuola erano divisi in due categorie, a seconda del lato della tenda dal quale si trovavano. All'esterno dello spazio in cui si trovava Pitagora, gli essoterici [dal greco exo, di fuori, esterno]... All'interno, e per tutto il resto dei loro giorni, gli esoterici [dal greco eso, dentro, interno]. Loro soltanto potevano sentire e vedere Pitagora.
Persino i testi dei pitagorici obbedivano alla regola del segreto. Redatti in un linguaggio a doppio senso, giocavano su due livelli di interpretazione, uno comprensibile a tutti, l'altro riservato agli iniziati. I pitagorici parlavano di symbola e di aenigmata, di simboli e di enigmi. La maggior parte delle nozioni si trasmettevano parlando all'orecchio e ciò dava luogo a una seconda separazione. Da un lato si trovavano gli "acusmatici", ai quali si fornivano i risultati, ma non le dimostrazioni per arrivarvi , e dall'altro i "matematici", ai quali si trasmettevano risultati e dimostrazioni insieme".
Da "Il teorema del pappagallo", Denis Guedj
Ancora problemi!
In questo post qualche problema per i ragazzi di II. Non darò la soluzione! Se occorre, lavoreremo insieme ....
1. Qual è il più piccolo numero maggiore di 15, non primo e non divisibile per nessuno dei numeri primi minori di 15?
A) 23
B) 51
C) 85
D) 187
E) 323
2. Se un orologio ritarda di 12 secondi ogni ora, dopo quante ore avrà accumulato 6 minuti di ritardo?
A) 60 h
B) 72 h
C) 30 h
D) 2 h
E) 15 h
3. Marco colleziona farfalle e conserva i suoi esemplari in 11 scatole. Ognuna di queste contiene almeno una farfalla, otto di queste 11 ne contengono (ciascuna) almeno 2, sei ne contengono (ciascuna) almeno quattro e due scatole ne contengono esattamente 5 ciascuna. Di quante farfalle al minimo è composta la collezione di Marco?
A) 32
B) 61
C) 30
D) 33
E) 53
4. In una cisterna possono versare acqua due rubinetti, il primo la riempirebbe da solo in 10 ore ed il secondo in 15 ore. Lasciando aperti i due rubinetti in quanto tempo si riempirà la vasca?
A) 10 ore
B) 15 ore
C) 5 ore
D) 25 ore
E) 6 ore
5. Un'automobile ha percorso 72/5 di chilometro in 72/5 di ora. Quanti chilometri ha percorso in un’ora?
A) 1 km
B) 2 km
C) 3 km
D) 4 km
E) 5 km
Sù.... provate da soli!
sabato 1 settembre 2007
La risoluzione dei problemi aritmetici.
Con questo post cominciamo a scoprire come cavarcela, senza faticare troppo, nella risoluzione dei problemi aritmetici.
Principalmente dedico questi post ai ragazzi che arrivano ora in prima media. Insieme leggeremo, e risolveremo prima, i "problemi curiosi".
Avviciniamoci all'attività per gradi. Una volta messi in moto dei semplici ragionamenti ci accorgeremo di quanto poi sia facile, stimolante e divertente!
Sentite, cominciamo col dire, non più: "devo risolvere un problema", ma: "devo utilizzare le operazioni fondamentali". Che sono: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Risolvere problemi consiste in questo! (Secondo me è già più facile...).
Di queste operazioni, prima di imparare ad utilizzarle, avremo conosciuto bene le proprietà, il loro "comportamento" nell'insieme N, cioè se esse sono o no operazioni interne a N, le avremo distinte in: operazioni dirette, operazioni inverse ecc...
E queste cose le impariamo tutti abbastanza facilmente.
Però... quando si tratta di utilizzarle opportunamente, bèh, sì, qualche "problema" si presenta! :-)
I problemi aritmetici che a noi interessa saper risolvere possiamo distinguerli in 2 tipi:
- additivo: si risolvono con l'uso dell'addizione o della sottrazione
- moltiplicativo: si risolvono con l'uso della moltiplicazione o della divisione.
L'addizione vista in tre modi diversi.
Consideriamo un'addizione scrivendo i suoi termini con le lettere al posto dei numeri, in modo da indicare, come sappiamo, un'addizione qualsiasi.
a + b = c
alle lettere a e b, i due addendi, possiamo sostituire due numeri qualsiasi e alla lettera c la loro somma.
Se dal totale si sottrae uno degli addendi si ottiene l’altro addendo. Cioè possiamo scrivere:
c – a = b
c – b = a
Lo sappiamo, infatti, la sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione. Quella che ci permette di…tornare indietro.
Le operazioni scritte possiamo anche considerarle tre modi diversi per scrivere l’addizione.
E i tre modi ci permettono di calcolare un termine conoscendo gli altri due.
Ogni volta che si pensa ad una addizione è importante pensarla sotto questi tre punti di vista.
Consideriamo ora solo due semplici esempi e impariamo a utilizzare le operazioni di addizione e sottrazione.
1) Maria ha 20 Euro, Enrico ne ha 25, quanto posseggono insieme Maria e Enrico?
Questo tipo di problema riuscite tutti a risolverlo.
2) Un libro è costituito complessivamente da 280 pagine. Ne ho lette 150. Quante pagine mi restano da leggere?
Su questo tipo talvolta si incontrano delle difficoltà.
Lo so, qui entra in gioco l’uso dell’operazione inversa. Ed è più dura!:-)
Infatti molti di voi come risolvono?
"Da 150 per arrivare a 280 … mi mancano 130 pagine!"
E bravi. Sicuro, è così. Lo avete risolto per via ... diretta! Vi dirò… anche noi adulti siamo portati, più spontaneamente, ad aggiungere. Ma si… è più immediato per il nostro cervello!
Ma se dovessi avere dei valori più grandi, oppure decimali e il calcolo fosse più complicato?
"Devo sapermi arrangiare in tutte le situazioni!" Questo deve essere il nostro motto!
Meglio ancora: "sono capace di fare scelte opportune in ogni situazione!"
Ricordiamo i "tre modi diversi" per scrivere l’addizione:
a + b = c
c – a = b
c – b = a
Ora cerchiamo di applicarli, adattandoli al nostro problema.
"complessivamente da 280 pagine": il numero 280 quale dei termini dell'addizione rappresenta?
E' il totale delle pagine, quindi è il numero c, la somma.
Il totale lo conosciamo, quindi non dobbiamo usare l’addizione: a + b = c
Conosciamo uno dei due addendi: sono le pagine già lette, 150. Poniamo sia l'addendo a. Dobbiamo scoprire il secondo, l'addendo b.
Dobbiamo scoprire quanto dobbiamo aggiungere al numero 150 per ottenere 280. Vi viene in mente la definizione dell'operazione di sottrazione, vero?
Quindi …?
So che siete capaci di completare:
Dal totale […...] la parte conosciuta e otteniamo quella sconosciuta!
Ricorda sempre:
SE IL TOTALE E’ CONOSCIUTO DEVI USARE
Un'osservazione: il nostro TOTALE in questi casi, è costituito da parti disuguali tra loro. Se le parti sono uguali... è una questione da approfondire più avanti.
alla prox!:-)
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