Ecco le nostre soluzioni del
Sarà mica matematica 37
Quesito 1 la media dell’8!
Per la classe prima hanno risolto correttamente: Antonio, Marta C., Elena, Andrea, Paola, Yuri, Aurora, Roberta e Luca (benvenuto fra i solutori, Luca 
)
Sintetizzo le soluzioni:
Il voto minimo della terza verifica è 7.
Le informazioni erano:
6 voto della prima verifica;
9 voto della seconda verifica;
8 voto di media desiderato;
4 n° verifiche del primo quadrimestre;
Non esistono i mezzi voti.
Per trovare questo risultato mi sono servita della media aritmetica: ho fatto 8*4=32. 32 punteggio totale per riuscire ad avere 8 di media.
Ho sommato i voti delle prime due verifiche: 6+9=15. Poi da 32 ho tolto 15: 32-15=17. 17 punteggio rimanente per poter avere 8 di media.
Nella terza verifica il prof. Davide potrebbe aver preso 8 o 7 e nella quarta 9 oppure 10. Ma si chiede il voto minimo della terza verifica, quindi è 7.
Per la terza, risolvono: Alessia, Gian Franco, Antonella, Miriam e Giuseppe P.
Sintetici tutti:
per avere 8 di media nelle 4 verifiche il prof deve raggiungere la somma di 32;
la somma delle prime due verifiche è 15;
i restanti 17 punti dovrà totalizzarli con un voto minimo di 7 e con il massimo della valutazione, cioè 10.
Quesito 2 la scala dei quadratini
Solutori per la prima: Elena, Paola, Yuri, Antonio, Andrea, Roberta, Marta C., Aurora, Maria, Luca, Sara e Valentina.
Quesito decisamente stimolante! Ehmm ... qualcuno si è divertito perfino a disegnare i 37 quadratini in scala, insomma insomma e che faticaccia!
La spiegazione di Yuri è tuttavia in qualche modo sorprendente:
ho disegnato i quadrati e ho contato i lati del perimetro: sono arrivato a 76. Poi ho anche scoperto la formula e cioè n*2+2. Mi ha confermato la risposta pure il disegno che c’era sul post perché avevo 5 quadrati e perimetro di 12, quindi 5*2+2=12.
Yuri mi spiega, in un secondo momento, che ha trovato la formula considerando che nei 37 quadrati, 2 lati sono visibili per tutti ma del primo e dell’ultimo quadrato si vedono 3 lati, quindi occorre aggiungere 2. Ok, gli è servito il disegno completo ma è stato bravo nella conclusione.
Aurora scrive invece
Eseguo: 37-5=32. 37 sono i quadrati tot., 5 i quadrati già disposti. Adesso devo fare 32*2=64+12=76 cm, Eseguo 32*2 perché ogni volta che aggiungo un quadrato aggiungo 2 lati (da 1 cm) al perimetro di 12 cm dei quadrati già disposti.
Più di uno ha così ragionato
La disposizione a scala, negli estremi ha sempre un quadrato di cui restano scoperti 3 lati, mentre gli altri quadrati hanno solo 2 lati scoperti. Quindi dai 37 quadrati tolgo il primo e l'ultimo e ne restano 35. Moltiplico per 2, che sono i lati utili per calcolare il perimetro e ottengo 70. Poi sommo i lati dei due quadrati tolti inizialmente, 3 lati * 2 quadrati, ottengo 6 che sommo ai 70. Il perimetro della scala di 37 quadrati con lato di cm 1, sarà di 76 cm.
Paola scrive
Per trovare il perimetro di 37 quadratini disposti a scala, conto per ogni quadratino 2 lati (da 1 cm) e li moltiplico per 37: 2*37 = 74 cm. Però nel primo e nell'ultimo quadratino conto un lato in più = 1+1 = 2 cm. Quindi faccio: 74+2 = 76 cm.
Il ragionamento di Paola e di Yuri, rispondono dunque alla domanda proposta dal prof. Davide per puntare più in alto: qual è il perimetro della figura di n quadratini?
Raccogliendo in un’unica formula il ragionamento di Paola: 2*37+2, se il numero di quadratini fosse n (n è un numero naturale qualsiasi), scriveremmo: 2*n+2. Ma Paoletta non lo ha fatto
Poi la soluzione inviata da Maria
Risposta: il perimetro è di 76 centimetri
Procedimento: ho seguito il consiglio che ha dato la professoressa, mi son fatta la colonna con il numero dei quadratini e il perimetro nell’altra colonna. Mi sono fermata a 5 quadratini, così:
1 4 cm
2 6 cm
3 8 cm
4 10 cm
5 12 cm
Mi sono accorta che ad ogni quadratino aggiunto il perimetro aumentava di 2 cm, allora ho fatto 37 per 2 ottenendo 74. Ho fatto poi 74+2 perché moltiplicando per due toglievo due centimetri al primo e all’ultimo quadratino. Infine ottengo 76.
Chiaramente Maria da una spiegazione non propriamente algebrica, non vede la regolarità, la legge che lega valori numerici corrispondenti (non era semplice per i ragazzi della classe prima, ho suggerito la tabella come primo approccio per studiare regolarità, lo abbiamo fatto in classe...), comunque è corretta la sua intuizione.
Infine la soluzione di Roberta
(la quale -anche altri risolvono ma lei mi invia la risposta via e mail- risponde anche alla mia provocazione, rivolta alla classe dopo aver visto il disegno dell’intera scala da 37 quadrati: e se la scala fosse formata da 1271 quadrati? eh... non l’avrei disegnata tutta)
Roberta segue il ragionamento visto sopra, fatto da più di uno dei ragazzi: 35 quadrati hanno due lati non in comune con quelli adiacenti quindi utili per il perimetro, mentre 2 quadrati hanno tre lati non in comune con altri. Perciò il calcolo: 35*2 +6.
Secondo tale ragionamento, Roberta scrive la formula matematica valida per n quadrati, in questo modo:
(n-2)*(2*1)+6
(2*1) perché ogni lato è lungo 1 cm
Tutti insieme ci siamo poi divertiti a semplificare la sua formula:
eseguito 2*1 che è uguale a 2 (!),
la formula diventa: (n-2)*2+6
Applichiamo la proprietà distributiva della moltiplicazione (il fattore 2 distribuito a minuendo e sottraendo) e otteniamo:
2*n –4 +6
ma -4+6 = +2 (risolto dai ragazzi eh!)
Ecco dunque la formula semplificata: 2*n+2
E’ quella di Yuri (e Paola)!
Bene, ora le risposte della terza inviate da: Alessia, Elisa, Gian Franco, Antonella, Miriam, Giuseppe P.
Miriam e Giuseppe, seguono il ragionamento visto sopra (Roberta &...). Miriam utilizza le due formule (indica con l la misura del lato del quadrato):
(35 x 2l) + (2 x 3l) = 70 + 6 = 76 cm
Lo stesso concetto si può esprimere tramite un'altra formula: (37 x 2) + 2l = 74 + 2 = 76
In quest'ultima formula, a differenza dell'altra, il lato esposto che, sia il primo che l'ultimo scalino hanno in più (rispetto agli altri 35), viene sommato singolarmente dopo. Infatti, prima si moltiplicano tutti i gradini per due, come se tutti avessero due lati esposti (37 x 2) e poi si sommano i due lati al risultato precedentemente ottenuto.
Risposta alla seconda domanda: la formula generale è: 2n + 2
Alessia e Gian Franco risolvono entrambi utilizzando linguaggi più specifici. Gian Franco:
Ho cercato di trovare una regolarità. Mi sono preparato una tabella di valori esprimendo il perimetro in funzione del n° dei quadrati:
x (n°quadrati) y (perimetro)
1 4 cm
2 6 cm
3 8 cm
4 10 cm
5 12 cm
37 ?
Osservando questa tabella ho notato che y è sempre il doppio di x + 2. Così ho potuto trovare una formula generale: 2n+2. Il perimetro della figura con 37 quadrati è 2*37+2=76 cm
Poiché Gian Franco ha parlato di funzione, la prof gli chiede la y = f(x). Risponde, risponde... : “la funzione è y=2x+2, cioè p=2n+2” Mi aggiunge: “cioè una retta che passa per il punto 2 dell'ordinata” [ah, questi raga mi fanno penare ma mi danno anche qualche soddisfazione!]
Alessia:
Per prima cosa mi sono fatta una tabella dei valori per capire la regolarità del quesito:
n quadrati | P (cm)
_______________
1 | 4
2 | 6
3 | 8
4 | 10
5 | 12
n | 2n+2
Dalla tabella noto che: aumentando di una unità il numero di quadrati, aumenta di 2 unità il perimetro, noto che il perimetro è sempre maggiore di 2 del doppio del numero di quadrati.
Quindi calcolo il perimetro dal numero n di quadrati: P=2n+2
Quindi, il perimetro della figura di 37 quadratini è 2*37+2=76u
Anche Elisa e Antonella (quest’ultima con tabella) arrivano alla legge per trovare il perimetro. La legge è quindi: 2n+ 2, intendendo come n il numero dei lati.
Quesito 3 l’area colorata
Per la prima risolvono correttamente: Paola, Aurora, Roberta, Yuri, Andrea, Maria, Luca, Antonio, Marta C.
Per la terza: Alessia, Elisa, Gian Franco, Antonella, Miriam, Giuseppe P.
Le soluzioni fornite da entrambe le classi possono riassumersi nei due tipi (immagini dalle soluzioni):
Miriam, come altri che risolvono alla stessa maniera, così spiega:
Per trovare l'area della parte colorata in arancione ho pensato di sottrarre dall'area del quadrato bianco (ABED), l'area del quadrato grigio (GHIJ) e gli equivalenti triangoli (DKL e BMN)
Mi sono calcolata le aree dei poligoni suddetti:
-Quadrato ABED, Area= l x l = 3 x 3 = 9 cm^2
-Quadrato GHIJ, Area = l x l = 1 cm^2
-Triangoli DKL e BMN, rettangoli
La misura dei due cateti è 2/3 del lato del quadrato bianco, quindi 2 cm. Quindi: Area = (b x h) : 2 = (2 x 2) : 2 = 2 cm^2 (per ciascun triangolo)
Quindi, ho fatto la sottrazione:
Area parte arancione = 9 cm^2 – 1 cm^2 - 4 cm^2 = 4 cm^2
Scrivono molto bene le soluzioni anche Andrea, Roberta, Antonio, Giuseppe e Luca (ma Luca avrebbe dovuto costruire la figura).
Yuri dice:
L'area della porzione arancione è di 4 cmq.
Sono arrivato alla soluzione disegnandomi su un foglio di carta il quadrato presente sul web. Nella parte arancione ho tracciato otto triangoli rettangoli con lato 1 cm (di conseguenza due di questi triangoli formano un quadrato esattamente uguale a quello grigio). Quindi mi sono calcolato l'area di questi 4 quadrati e sono arrivato a 4 cmq.
Soluzione di Gian Franco:
Oh, è fatta anche stavolta. Solite lodi a chi ha lavorato, lodi speciali a chi non ha mollato dopo le osservazioni della prof, pure provando un attimo di scoramento, e anche a chi si è deciso a partecipare ai giochi
Grazie come sempre al prof Davide e ...
vado a controllare se ha pubblicato il suo post-soluzioni ...
Sì, vedo che io sono più ritardataria!
Leggerò tutto, fatelo anche voi, per ora ho intravisto la sua conclusione e comunico: decido di regalare i nuovi giochi per le vacanze di Natale (oh, così avete un sacco di tempo per le soluzioni!)
A prestissimo dunque!
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