Numeri “rettangoli” con geogebra

Vada per numeri rettangoli!

Certo, se parliamo di numeri quadrati allora possiamo dire numeri rettangoli. O rettangolari!

Così li ritrovo nei lavori di Maria Chiara, Erica, Gabriele e Letizia, che li hanno costruiti con GeoGebra. Bravi tutti nell’utilizzo di slider e Condizioni per mostrare l’oggetto.

Questo il lavoro di Gabri, quello più originale. Clic sulla figura

Per chi non riesce ad aprire l’applet, scaricare il file .ggb

Da un numero quadrato sottraggo un numero quadrato

Ragazzi,
Nella cronaca di ieri avete omesso (sì, era complesso da riferire!) le diverse ipotesi emerse nella ricerca della regolarità sui numeri quadrati. Fra le quali,  i vostri litigi con i tentativi di sottrarre fra loro numeri quadrati. Poi, quasi per caso, abbiamo scoperto …
Vedete ora, graficamente, cosa succede a sottrarre tra loro due numeri quadrati. Voi proverete con altre sottrazioni.
Fate clic sulla figura.

Ancora più carina è la
Scomposizione di numeri quadrati di maestra Renata! Cliic, per la presentazione e il geogebra!

Dall’inversa della potenza …

Maria Chiara, Erica, Letizia e Gabriele

relazionano sui Numeri quadrati… di Pitagora 

Ma, “abbiamo iniziato dicendo…”  dice Letizia. Ed ecco il testo collettivo.

Pochi giorni fa abbiamo scoperto l’operazione inversa dell’elevamento a potenza.

Dato che l’elevamento a potenza mi permette di associare due numeri (base, esponente) a un terzo (potenza) moltiplicando il primo per se stesso tante volte quante me ne chiede il secondo,

se mettiamo che l’esponente sia 2, per estrarre la radice quadrata di un numero “n” devo trovare quel numero che moltiplicato per se stesso mi dia il numero considerato: per esempio se prendo in considerazione 64 la radice quadrata è 8.

Consideriamo invece un cubo da costruire con 64 cubetti: di questo cubo vogliamo sapere qual è lo spigolo. Attraverso la simbologia mi esprimo nel seguente modo: x³ = 64.
Quindi devo trovare quel numero che elevato 3 mi dà 64 (che è 4). Ma non importa il risultato: ciò che ci serve sapere è che l’estrazione di radice è quell’operazione che mi permette di trovare la base che non si conosce. 4 è la radice cubica di 64, ma più frequentemente è usata la radice quadrata [da noi…], indicata con il simbolo “√”.

Vediamo degli esempi di numeri elevati alla seconda:

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4²= 16

5² = 25

6² = 36

I risultati sono i cosiddetti numeri quadrati perfetti perché un qualsiasi numero intero moltiplicato per sé stesso (quindi alla seconda) mi dà uno di essi, quindi sono numeri la cui radice quadrata è un elemento di N.

La radice quadrata di questi numeri è perciò, perfetta, è esatta ed è un numero intero, ma provate a trovare la radice quadrata di 3, o di 5, o anche di 7: per averla devo ricorrere ai decimi, ai centesimi o ai millesimi, il che non la rende un numero intero. Radici quadrate così vengono chiamate infatti approssimate.

Ma torniamo ai numeri quadrati: avranno fatto bene a chiamarli così? Per saperlo dobbiamo andare indietro nel tempo, ai tempi di Pitagora che pensò bene di utilizzare dei sassolini per rappresentare i numeri e fece nel seguente modo:

 

… come abbiamo visto q u i

se osservate bene il numero di sassolini con cui riuscì a fare il suo “esperimento”, sono i nostri numeri quadrati. Per costruire dei quadrati, doveva essere un NUMERO QUADRATO PERFETTO. Quindi secondo voi hanno fatto bene a chiamare 1  4  9  16  25 ecc. numeri quadrati? Secondo me si!

Ma non è finita qui. Pitagora provò anche un altro esperimento: provò a sottrarre a ogni numero quadrato il suo precedente:

1 - 0 = 1

4 - 1 = 3

9 - 4 = 5

16 - 9 = 7

25 -16 = 9

Ottenne i numeri dispari. Noi abbiamo indagato sulla regolarità, il problema della scheda… 

Giovanni è stato il primo a scoprirla: ogni numero quadrato si ottiene dalla somma dei numeri dispari, in successione…

Per esempio il 4 si ottiene da 1 + 3, il 9 si ottiene da 1 + 3 + 5 e così via.

Lo dimostriamo anche con excel.

Per ottenere in excel la successione dei numeri quadrati è nata l’esigenza di fissare il primo numero dispari da sommare e ampliare via via l’intervallo, quindi abbiamo utilizzato i riferimenti assoluti. Le formule in figura sono state poi copiate lungo le righe (e le colonne).

Il file num.quadrati.xls si può scaricare.

Ragazzi,

ora posso segnalarvi Numeri quadrati e numeri rettangolari (che ormai avete scoperto…)  da maestra Renata. E’ un incrocio di link (!), ma vi rimando per vedere i numeri quadrati e rettangolari con GeoGebra e anche per eseguire gli esercizi con GeoGebra, che maestra Renata propone attraverso un simpaticissimo gufetto! Occorre cliccarci sopra.

Perimetro di poligoni rettangoli

Ragazzi,

vi propongo un’attività sul calcolo del perimetro di poligoni un po’ particolari. Li chiamiamo poligoni rettangoli: molto semplici in verità, sono poligoni inscritti in un rettangolo.

Cominciamo con due esercizi. Copiate le figure sul quaderno e calcolatene il perimetro. Esprimete le misure in centimetri.

Attenzione: c’è un modo molto semplice e veloce!

1. Calcola il perimetro dell’ottagono rettangolo

2. Un altro poligono rettangolo. Anche qui si può trovare la scorciatoia per il calcolo!

Chi trova le scorciatoie … è il più bravo!

Potete, volendo, aprire l’applet geogebra.

L’attività, assieme ad altre che vi proporrò, è tratta da un Laboratorio di Matematica del prof. Gianfranco Arrigo, che gentilmente mi concede l’utilizzo.