Costruzione di terne pitagoriche

Nicola, Irene, Laura e Alessandra scrivono....

Durante l’ora di laboratorio abbiamo svolto un'attività:

Come costruire terne pitagoriche.

La prof ci dice di scegliere e scrivere sul quaderno un numero dispari che indicheremo con d.
Ci dice che indicheremo con a, b e c i numeri della terna pitagorica.
Ci detta le seguenti:

a = d
b = (d ²-1)/2
c = (d ²+1)/2

ci chiede di trovare immediatamente una terna [immediatamente?:-)].
Es. se d = 7
a = d = 7
b = (d²-1)/2 = (7²-1)/2 = 48/2 = 24
c = (d²+1)/2 = (7²+1)/2 = 50/2=25
Ora proviamo se effettivamente i numeri ottenuti sono una terna pitagorica
7² + 24² = 25² 49 + 576 = 625
7, 24, 25 è una terna pitagorica.
Abbiamo provato tutti con diversi numeri dispari.
La prof ci ha chiesto solo se i numeri delle terne trovate erano numeri naturali. Tutti abbiamo detto che era così. Abbiamo trovato terne con numeri naturali.

Ora la prof ci dice di applicare lo stesso procedimento però, anziché usare un numero dispari, usare un numero pari, indicandolo con p.
quindi i tre procedimenti sono i seguenti

a = p
b = (p²-1)/2
c = (p²+1)/2

E come prima ci dice di applicare le formule.
Es:
a = p = 12
b = (p²-1)/2= (12²-1)/2 = 143/2 = 71,5
c = (p²+1)/2 = (12²+1)/2 = 145/2 = 72,5
Ora alla domanda: la terna è costituita da numeri naturali?
Rispondiamo: no. Scegliendo un numero pari si ottengono numeri razionali e non più naturali.
Questo accade perché, se elevo a potenza 2 un numero dispari ottengono sempre un numero dispari, invece se elevo alla seconda un numero pari ottengono sempre un numero pari.
Ci è utile la tabella della moltiplicazione del pari e dispari.

Se a un quadrato di un numero dispari aggiungo o sottraggo 1 avrò un numero pari e quindi divisibile per 2, con resto 0.
Invece se a un quadrato di un numero pari aggiungo o sottraggo 1 ottengo un numero dispari e dopo con la successiva divisione per 2 avrò un numero razionale.
E' per questa ragione che con numeri dispari ottengo terne naturali, invece con numeri pari ottengo terne razionali.

Esiste anche un altro metodo per trovare terne pitagoriche:
Prendiamo due numeri e li chiamiamo r ed s ( con r maggiore di s)
I tre numeri della terna li chiameremo ancora a, b, c.
Ora scriviamo i tre procedimenti per trovare a, b, e c.

a = r² – s²
b = 2 * r * s
c = r² + s²

Es:
r = 5
s = 2
Ora applichiamo le tre formulette:
a = r² – s² = 5²-2² = 25 – 4 = 21
b = 2 * r * s = 2*5*2 = 20
c = r² + s² = 5²+2² = 25 + 4 = 29
Verifichiamo se 21, 20, 29 formano veramente un terna pitagorica
21² + 20² = 29²
441+ 400 = 841
21, 20 e 29 è una terna pitagorica.
In classe abbiamo fatto una tabella con altri esempi:

tabella realizzata con excel

La prof ci ha chiesto di osservare attentamente le terne ottenute, verificarne il tipo e cercare qualche relazione con i numeri r e s scelti.

Ci riflettevamo… Alessandra ha detto:
"non sono sicura ma, se prendiamo due numeri uno pari e uno dispari otteniamo terne primitive, se invece sono entrambi pari o entrambi dispari sono derivate."
La prof: "Brava"
Infatti: 40-198-202 è una terna derivata come lo è 308-144-340.
Invece le terne ottenute da un numero pari e uno dispari sono terne primitive. Di fatto 39-80-89 e 261-380-461 sono terne primitive [Irene impara a scrivere proprio bene! :-)].

Abbiamo indagato sui procedimenti.
La colonna del numero b non ci aiuta perché c’è un raddoppio, e quindi ottengo un numero sempre pari.
Invece le colonne dei numeri a e c mi possono servire.
Osserviamo la colonna del numero a.
Spieghiamo con le tabelle del + e del – (addizione e sottrazione) del pari o dispari, tenendo conto anche della tabella precedente, della moltiplicazione.
Se r ed s sono entrambi pari o entrambi dispari ottengo un numero pari.
Se invece ho r dispari e s pari, o viceversa avrò:
Osserviamo la colonna del numero b.
Se r ed s sono entrambi pari o entrambi dispari ottengo un numero pari.
Se invece ho r dispari e s pari, o viceversa ho:
Da tutte queste indagini abbiamo potuto provare però che i numeri che formano una terna pitagorica (a, b, c) possono essere tutti pari oppure uno pari e due, fra cui c, dispari. Ci sembrava che questo spiegasse anche le terne primitive e quelle derivate.
Ma... la prof: "questo non basta per spiegare come si ottengano terne primitive o derivate".
Dobbiamo continuare il lavoro, con altri tentativi!
Il lavoro continua QUI

Articoli correlati per categorie