Su radici quadrate, insieme Irrazionali, Reali ...

Segnalazione per la II!

Cari ragazzi,

mica posso non pensarvi, eheh ... ! E allora:

da QUESTO POST, dove ho già raccolto i richiami all’argomento,

terapia (di rinforzo): un link al giorno!

Buon Natale e Buone Feste

Ai nostri amici, a chi ci legge,

Auguriamo Buone Feste

con una bella presentazione curata da Carmela, Erica, Giada, Giovanna, Letizia, M. Chiara, e Veronica. E’ la componente femminile della III A!

E' Natale

Brave, ragazze

Auguri a voi, tutte le classi e le famiglie.

Piramidi per un cubo

Gabriele,

con SketchUp proprio bravo, non c’è da dire. Ma non solo... !

Ha eseguito l’attività sul volume della piramide: il cubo assemblato con piramidi uguali.

Con GeoGebra 3D –corretta!

Ancora lavori sulla piramide

Ragazzi (III),

eccovi due attività:

1. Costruita una piramide quadrangolare regolare, con altezza lunga 1/2 dello spigolo di base (la mia costruita con SketchUp; volendo, scaricate il file (file in ordine alfabetico) oppure costruite voi),

h =1/2 lato base

quante di queste piramidi si dovranno unire per assemblare un cubo?

Chi è più bravo di me faccia il lavoro su SketchUp!

Ancora una volta potete giustificare la formula per il calcolo del volume della piramide. Provate a scrivere i passaggi matematici utilizzando le lettere.

Aiuto: l = spigolo del cubo, h piramide = ? (in funzione di l).

2. Costruita così invece:

- la base è un quadrato;

- lo spigolo più corto è perpendicolare e uguale alla base.

 quante di queste occorrono per assemblare un cubo?

E ancora si dimostra la formula del volume della piramide...

Chi può, lavori su SketchUp; potete scaricare anche questa seconda costruzione.

Potete altrimenti costruire la piramide da questo sviluppo piano, da stampare (trovato in rete, dovrei mettere un link, per evitare di darvi la risposta lo farò fra qualche giorno ... anche se voi siete furbetti!)

Aggiungo lo sviluppo piano realizzato su SketchUp con il tool suggerito dal prof. Guzman (vedi commenti). Si possono aggiungere perfino le linguette! Sono intervenuta sull’immagine per eliminare lo sfondo verde-azzurro di SK. e ho ravvivato i colori.

Volume della piramide

Per la III

Ragazzi, voi fate il lavoro manuale a casa (e mi raccomando!), io ho fatto questo. Clic su img

Ancora una costruzione. Per rafforzare: le basi dei due solidi devono essere ....?

Cliccate anche sulla figura qui a destra, molto carine le figure geometriche in legno.

Decimale periodico n/7

Ragazzi,

riporto qui la curiosità di cui vi ho parlato, sul numero periodico semplice generato dalle frazioni con denominatore 7.

Abbiamo trovato il numero periodico generato da 1/7 :

Quando si è ripresentato il resto di 1 abbiamo trovato il periodo: 142857 142857 142857 142857 .... di sei cifre.

Il periodo non poteva essere più lungo di sei cifre: infatti, abbiamo ragionato, la divisione per 7, escludendo lo zero  se il divisore è un multiplo di 7, può avere solo sei resti: 1, 2, 3, 4, 5, 6. (Se ho resto 7 o maggiore... so che ho sbagliato la divisione: ci stava qualche volta in più!)

Ora: per calcolare il periodico generato da 2/7,  basta osservare che il calcolo comincia con un resto 2:

2:7 = 0 con resto 2

Il lavoro l'abbiamo già fatto per la divisione 1:7; ci limitiamo a prendere il risultato dal punto in cui compare il resto 2, e a scrivere la risposta come 0,285714... periodico.

Possiamo chiamare questa ricorrenza, proprietà del nastro trasportatore, pensando al dispositivo sui cui girano i bagagli usciti nella sala arrivi di un aeroporto. Dovunque ci fermiamo, ci passano davanti gli stessi oggetti.

Per trovare il periodico generato da 3/7, basta fermarsi nel punto in cui compare il resto 3 e osservare il ciclo che si ripresenta come 0,428571....

Ribadiamo: ci sono soltanto sei possibili resti: 1, 2, 3, 4, 5, 6, e ciascuno di essi compare una sola volta. E osservate bene la proprietà del nastro trasportatore del numero 142.857:

142.857 x 1 = 142.857
142.857 x 2 = 285.714
142.857 x 3 = 428.571
142.857 x 4 = 571.428
142.857 x 5 = 714.285
142.857 x 6 = 857.142

Non vi sembra curioso?

A questo punto, osservate:

142.857 x 7 = 999.999

Quando si calcola la sesta cifra decimale del rapporto 1/7 il resto è 1. Ciò significa che la divisione di 1.000.000 per 7 ha resto 1, e quindi 7 sta esattamente in 999.999, 142.857 volte.

La frazione 1/7 e il suo valore decimale ci dicono una cosa sugli interi: 7 è un divisore esatto del numero che si scrive come sei 9!

.... C'è una regolarità che sussiste anche per altre frazioni?

La curiosità è tratta dal libro:

 Il Curioso Dei Numeri (già!) - Stranezze matematiche, controversie scientifiche, divagazioni da 1 a 9 di Andrew Hodges  

Prisma retto a base rombica

Ancora un problema risolto.

Su Geogebra, da Gabriele e Erica. Clic su fig.

Problema su parallelepipedo rettangolo

Di Maria Chiara.

Anche lei mostra passo a passo la risoluzione.

Clic su img

Brava M. Chiara!

Problema su prisma triangolare

Di Letizia

sempre su Geogebra 5.0 beta la costruzione del solido in 3D ...

Letizia mostra passo a passo la risoluzione.

Clic su img 

Brava Leti!

La simmetria sul piano cartesiano

Compiti per casa

realizzati su Geogebra da

Beatrice:

Esercizi n° 28-29-30-31-32 pag.227 libro di geometria!!.ggb

Ecco l’applet. Clic

Il n° 31 lo ha eseguito correttamente su Geogebra anche Giovanni

Le costruzioni sono realizzate utilizzando le proprietà dei punti nella simmetria assiale. Come in entrambi i lavori si può verificare visualizzando “oggetti nascosti” : rette e circonferenze (a meno che quella furbetta di Bea non abbia, in qualche figura, “imbrogliato”, usando lo strumento di Geogebra  )

Un problema sul cubo

Di Gabriele

su Geogebra. Ha utilizzato GeoGebra 5.0 beta per la costruzione del solido in 3D ma non è stato possibile creare l’applet. Abbiamo inserito l’immagine in GeoGebra 4. Clic su Img

Simmetria centrale

Sono i lavori su Geogebra di

Marco D.

 Clic su immagini, le costruzioni sono realizzate sfruttando la proprietà dei punti simmetrici rispetto a un punto, centro di simmetria, e non con lo strumento apposito di Geogebra.

di Davide D. Che finalmente si è dato al colore!

e di Davì. Il quale ha risposto alla domanda dell’esercizio del testo: cosa noti?

Geogebra aiuta proprio a fare scoperte! Davì scrive:

provando a giocare con geogebra e volendo sovrapporre i poligoni, ho scoperto che la sovrapposizione in questo caso
non avviene attraverso un ribaltamento ma per rotazione di 180°.
Quindi ho creato uno slider ....

Già: la simmetria centrale corrisponde a una rotazione di 180° attorno al centro di simmetria!

Bravi, ragazzi!

Appena arrivato un lavoro di Stefano. Clic

Bene, Stefano!

Simmetrie del quadrato e analogie di struttura

Le abbiamo viste in classe.

Ho riportato su Geogebra le osservazioni sulle simmetrie del quadrato, nelle quali abbiamo riconosciuto analogie di struttura: operazioni geometriche, operazioni aritmetiche, operazioni logiche... elementi e operazioni del tutto diverse dove si ripete però lo stesso motivo, la stessa struttura!

A partire da questa immagine:

osservando particolari coppie di figure, ci si accorge che alcune coppie sono inversamente uguali, ottenute perciò con un ribaltamento, altre sono direttamente uguali, si ottengono senza che la figura si sollevi dal piano, come avviene ad es. con la rotazione.

 Sull’applet, potete interagire, sono riportate le composizioni di simmetrie e rotazioni e

la tabella di composizione:

Ragazzi, qui vi sottolineo un particolare sulla composizione delle due simmetrie assiali. E’ noto come il Teorema dei due ribaltamenti:

Il prodotto di due simmetrie assiali rispetto ad assi incidenti equivale alla rotazione, intorno al loro punto di intersezione, di ampiezza pari al doppio dell’angolo formato dagli assi di simmetria. 

Verificatelo sull’applet.

Ricordiamo le strutture analoghe, viste l’anno scorso (clic sulle immagini, sono le vostre relazioni):

Tabella dell’addizione del Pari e Dispari 

Tabella di composizione del Sì e del No

E la tavola dell'addizione dello zero e dell'uno

Attenzione! Non c'è un errore nell'ultima casella in basso: 1+1 non fa 0 nella nostra aritmetica, ma in un’aritmetica che ancora dobbiamo scoprire, quella delle "classi resto [0] modulo 2", sì! (per il momento stabiliamo soltanto che i simboli 0 e 1 stanno ad indicare, in modo breve, i termini pari e dispari: i numeri pari sono i numeri che divisi per 2 danno resto 0 e i numeri dispari sono i numeri che divisi per 2 danno resto 1)

Potete scaricare un file Excel tab_Pari_Dispari.xls dove troverete, anche la legge moltiplicativa oltre a quella additiva.

Simmetrie, giochi di specchi

Tempo fa scrissi 

in un commento su Il piccolo Friedrich, che avrei rubato l’attività sulle Riflessioni geometriche della maestra Cristina. [Ragazzi, fate clic sul link dell’attività, vedrete le belle immagini del lavoro della classe!]

Infatti: ho proposto nella classe seconda, la simmetria dei poligoni regolari anche attraverso l’utilizzo degli specchi incidenti.

Il materiale è stato procurato dai ragazzi; chi preciso, chi un po’ meno, hanno costruito gli specchi, disegnato, ritagliato, e svolto con entusiasmo e allegra partecipazione l’attività.

Qualcuno ha lavorato con più calma a casa e principalmente di quei lavori ci siamo serviti per riportare i risultati e le scoperte in una presentazione Power Point. Abbiamo lavorato anche con Geogebra, simulando gli specchi incidenti. Le osservazioni sulla presentazione sono tratte dalle relazioni dei ragazzi sul lavoro svolto.

Anche le righe che seguono sono una sintesi dei loro diversi scritti.

In prima media abbiamo già conosciuto la simmetria. Con Geogebra abbiamo costruito, con rotazioni, inviluppi, effetto caleidoscopio, ecc..., tante belle figure simmetriche anche animate.

Nello studio dell’aritmetica (le tabelle dell’addizione e della moltiplicazione)  e della geometria abbiamo riconosciuto figure che si guardano allo specchio ! Ma abbiamo scoperto che la simmetria è un fenomeno che si registra in natura, non solo nell'aritmetica e geometria.

Ora, in seconda, stiamo facendo un lavoro di maggiore consapevolezza, dice la prof!
Per studiare meglio la simmetria dei poligoni regolari abbiamo utilizzato gli specchi.
Con due specchi incidenti, uniti con un pezzo di scotch, facendo in modo che si possano muovere a seconda dell'angolo desiderato, abbiamo eseguito delle attività divertenti. Ecco la nostra presentazione!

Simmetrie specchi incidenti

Grazie, Maestra Cristina!

Link

Nostro lavoro su geogebra, simulazione specchi. Con doppio clic si può aprire l’applicazione e salvare.

Altri nostri lavori:

Simmetrie nei poligoni regolari

Simmetrie nel rombo e nel rettangolo

Trova gli assi di simmetria nel triangolo

Trova gli assi di simmetria nel rettangolo

E con la simmetria?

Da cosa nasce ... “+ belle immagini!”