Ancora un problema_III

Dopo i buoni risultati

delle prime due attività, eccovi ancora una situazione.

Decorazioni

Un pittore ha dipinto quattro figure diverse su un muro, ciascuna con uno strato di pittura dello stesso spessore

Ha utilizzato dei barattoli di pittura della stessa grandezza:
- 72 barattoli di rosso per una figura,
- 84 barattoli di blu per un’altra figura,
- 108 barattoli di giallo per un’altra figura ancora
- e alcuni barattoli di nero per la figura che resta.
Alla fine del suo lavoro, tutti i barattoli erano vuoti.
Indicate il colore di ogni figura.
Quanti barattoli di pittura nera ha utilizzato?
Spiegate come avete trovato la risposta.

9° RMT

Allenamenti prova esame_4

III,

Ci siamo quasi...

Saprete già, vi metto comunque il calendario delle prove scritte:

• Mercoledì 13: prova di Italiano
• Giovedì 14: prova di Matematica
• Venerdì 15: prova di Francese
• Sabato 16: prova di Inglese
• Lunedì 18: prove Invalsi

Dovete presentarvi alle ore 8.30 muniti dei materiali suggeriti dagli insegnanti di ciascuna disciplina. Per matematica, vi ricordo: righello, squadra, compasso, goniometro, calcolatrice [NO quella del cellulare!].

Durante lo svolgimento della prova Invalsi di matematica NON è consentito l’uso della calcolatrice, SI’ gli altri strumenti sopra elencati.

Tra la prova Invalsi di Italiano e quella di Matematica, avrete un intervallo di 15 minuti.

Sereni, tranquilli: mi pare lo siate. Raccomando il giusto impegno.

Ora, eccovi l’ultimo allenamento. No, non vi annoiate...!

1. Una funivia sale alla velocità di 12 km/h nella prima metà del percorso e alla velocità di 18 km/h nella seconda metà del percorso. Compie ognuno dei due tratti del percorso in 10 minuti.

1. Calcola la lunghezza del percorso
2. Calcola la velocità media sull’intero percorso
3. Indicando con x la velocità e con y il tempo impiegato, scrivi la funzione che lega y con x e traccia il grafico della funzione che hai scritto. Si tratta di grandezze direttamente o inversamente proporzionali?

2. I cateti di un triangolo ABC, rettangolo in A, misurano 15 cm e 20 cm (state attenti, non dovete fare molti calcoli...). Un punto E divide il cateto maggiore AC in due parti tali che $ \overline{AE} = \frac{1}{4}  \; \overline{EC}$. Traccia per il punto E una parallela all’ipotenusa BC del triangolo, che tagli l’altro cateto AB in un punto F.

Calcola:

1. l’area e il perimetro di ognuna delle due figure in cui resta suddiviso il triangolo ABC
2. il rapporto fra i lati del triangolo EAF e i lati corrispondenti del triangolo ABC
3. il rapporto fra l’area del triangolo EAF e l’area del triangolo ABC

3. Risolvi l’equazione:

$\frac{x(x+1)}{3}-\frac{(2x-1)^2}{6}=\frac{(x+1)(x-1)}{2} -\frac{5x(x+3)}{6}$

4. Considera i seguenti dati che riguardano i pesi, in chilogrammi, degli alunni di una classe:

40, 55, 51, 54, 42, 58, 47, 50, 68, 53, 52, 45, 60, 40, 53, 50, 56, 60, 50, 40, 54, 25, 54, 54.

1. Costruisci la tabella di frequenza
2. Calcola il peso medio degli alunni, la moda, la mediana
3. Quanti sono gli alunni il cui peso è sotto al peso medio della classe? Quanti sono quelli il cui peso è sopra?

Allenamenti prova esame_3

Ragazzi,

ancora uno ... prima dell’ultimo!

1. Risolvi l’equazione

$ \frac{(2x+2)^2}{6} -\frac{2(x+3)(x-3)}{3}+\frac{(2x+3)(x-1)}{6}=\frac{x(x+2)}{3}$

2. Alcuni studiosi hanno catturato 20 lucertole e hanno misurato la loro lunghezza ottenendo i seguenti dati in cm :
25-28-26-27-26-26-26-28-30-25-22-26-27-29-25-28-25-29-30-30.
Calcola la media, la moda, la mediana e rappresenta i dati graficamente.

3. Dopo aver definito la legge del moto rettilineo uniforme, risolvi il seguente problema:
Un’auto percorre 580 km in 7 ore e 15 minuti, calcola la velocità media.
Rappresenta graficamente il tempo in funzione dello spazio e ricava sia analiticamente che graficamente in quanto tempo ha percorso 300 km.

4. In una piramide quadrangolare regolare, l’apotema è 13/24 dello spigolo di base; la superficie di base è pari a 2304 cm^2.
Calcola la misura della superficie totale della piramide e il suo volume.

Allenamenti prova esame_2

III,

ehi raga, coraggio, siete in gamba ...!

Temi: piano cartesiano, probabilità, funzioni proporzionalità, geo solida (chi può, risolva con sistema equazioni), equazioni primo grado.

1. In un sistema di riferimento cartesiano rappresenta i seguenti punti:
A(1; 6)  B(-2; 2)  C(1; -2)  D(4; 2)
Calcola perimetro e area del quadrilatero ottenuto unendo i vari punti (considera l’unità di misura 1 u = 1 cm).

2. Da un sacchetto contenente 100 dischetti numerati da 1 a 100, ne estraggo uno a caso.
Calcola la probabilità, esprimendola anche in percentuale, che il numero estratto sia:
a) Pari
b) Maggiore o uguale a 60
c) Divisibile per 9

3. Un corpo si muove con moto rettilineo uniforme alla velocità di 10 Km/h; quanti km percorre rispettivamente in 3h, 5h, 7h, 12h e 15h ?
Costruisci il relativo diagramma cartesiano, portando i valori del tempo t sull’asse delle ascisse e i valori dello spazio s sull’asse delle ordinate.
Qual è la legge matematica che lega le due grandezze ?

4. In una piramide quadrangolare regolare la somma dell’altezza e dell’apotema misura 100 cm e l’apotema è uguale ai 13/12 dell’altezza.
Calcola la misura della superficie totale della piramide e il suo volume.

5. (ehm, 5 quesiti: ok, all’esame saranno 4!) Risolvi l’equazione:

$ \frac{x(x+1)}{2}-\frac{(2x-1)^2}{8}=\frac{(x+1)(x-1)}{4} -\frac{2x(x+3)}{8}$

Allenamenti prova esame

III,

Esercitatevi sui seguenti temi: Piano cartesiano, solidi, peso specifico, statistica, proporzionalità, equazioni di 1° grado.

1. In un sistema di riferimento cartesiano con unità di misura uguale ad 1 cm, disegnate il triangolo di vertici: A(4; 2), B(10; 2), C(4; 10).
- Di quale triangolo si tratta?
- Calcola perimetro ed area del triangolo ABC.
- Calcola la superficie totale, il volume e il peso del solido ottenuto dalla rotazione completa del triangolo attorno al lato AC, nell'ipotesi che il solido sia di piombo (ps =11,35).

2. In una classe di 25 alunni è stato assegnato un test di verifica. Si sono ottenuti i seguenti risultati:
5 – 6 – 4 – 8 – 6 – 7 – 5 – 6 – 5 – 7 – 6 – 4 – 5 – 8 – 4 – 6 – 5 – 9 – 5 – 6 – 7 – 9 – 6 – 7 – 10
a) ordina i dati
b) trova la frequenza assoluta e relativa
c) evidenzia la distribuzione di frequenza con istogramma e la percentuale di frequenza con areogramma
d) calcola la moda, la media aritmetica e la mediana

3. L'intensità I della corrente elettrica che attraversa un conduttore metallico dipende dalla resistenza R del conduttore e dalla differenza di potenziale V applicata agli estremi, secondo la legge di Ohm V= R x I.
Ad un circuito elettrico è applicata una differenza di potenziale di 240 volt e vengono applicate successivamente delle resistenze con 15, 30, 60, 80, 120 ohm.
- Calcola, in ampere (A), le intensità di corrente che lo attraversano.
- Costruisci il relativo diagramma cartesiano, portando i valori di V sull'asse delle ascisse e i valori di I sull'asse delle ordinate.

Qual è la legge matematica che lega le due grandezze?

4. Risolvi la seguente equazione

$ \frac{2(x-2)^2}{6} -\frac{(x+3)(x-3)}{3}=\frac{(x+4)(x-3)}{2}-\frac{3x(x+2)}{6}$

La proporzionalità inversa, grandezze inversamente proporzionali

Continuo la pubblicazione del lavoro sulla proporzionalità.
Possiamo considerare il post ... collettivo :-)

La prof ci ha dato da risolvere un problema che, ha detto, potremmo trovarci a dover affrontare! Abbiamo a disposizione 20 € per organizzare la festicciola di compleanno con i nostri amici. Una merendina, qualcosa di non troppo impegnativo...
Dovremmo fare i nostri conti: la somma di cui disponiamo per ciascun amico dipende dal numero di amici che decidiamo di invitare.
Ci siamo chiesti: se organizziamo per 10 amici, quanto possiamo spendere per ciascuno? E se invece riduciamo il numero a 5 amici? O a 4? Sarebbe anche meglio!
Non è stato difficile rispondere: è bastato fare le divisioni
20 : 10 = 2 € per ogni persona
20 : 5 = 4 €
20 : 4 = 5 € .
Insomma diminuendo il numero di amici si dispone di una somma maggiore per ciascuno.
La prof al solito, ci consiglia di riportare la situazione in una tabella: Facciamo le osservazioni: le due grandezze in gioco, le variabili, questa volta sono il n° di persone e la somma per persona;
notiamo che si mantiene costante il prodotto dei valori delle due grandezze;
questo prodotto è uguale a 20: i 20 euro di cui si dispone in totale.
E' la grandezza costante, che prende il nome in questo caso, di: coefficiente di proporzionalità inversa.
Notiamo poi più esattamente che al dimezzare del numero di amici raddoppia la somma disponibile per ciascuno, se il numero di amici diventa 1/5, la somma per ciascuno diventa 5 volte tanto, ecc...
Queste due proprietà:
1) prodotto costante fra le due grandezze;
2) al raddoppiare, triplicare... oppure dimezzare.... di una grandezza, l'altra diventa la metà, 1/3... oppure raddoppia....,
sono le caratteristiche delle grandezze inversamente proporzionali.

Abbiamo fatto altri esempi di grandezze inversamente proporzionali, come al solito trovandole in campi diversi:
nella geometria: se abbiamo una serie di rettangoli equivalenti, cioè di area costante, al raddoppiare della base l'altezza diventa la metà, ecc.... quindi l'altezza è inversamente proporzionale alla base: h = A/b;
nella fisica: il tempo impiegato a percorrere un certo tragitto, costante, è inversamente proporzionale alla velocità, considerando una velocità uniforme (dalla legge del moto rettilineo uniforme: V = s/t);
l'esempio della festa di compleanno è un problema di vita quotidiana;
ancora dalla fisica: la pressione esercitata da un corpo è inversamente proporzionale alla superficie di appoggio: P = peso/superficie.

Da tutti questi esempi, con le stesse considerazioni già fatte per la proporzionalità diretta, non è stato difficile trovare la
legge generale della proporzionalità inversa.
Indicando con x la variabile indipendente e con y la variabile dipendente,
la relazione che le lega è: y = K/x oppure y*x =K (il prodotto costante).
Anche in questo caso abbiamo costruito il diagramma cartesiano della proporzionalità inversa:
Si ottiene come grafico una curva chiamata: ramo di iperbole equilatera.

Proporzionalità inversa su Geogebra

Anticipo il post dei ragazzi sulle grandezze inversamente proporzionali, pubblicando la rappresentazione grafica della funzione realizzata con GeoGebra
Il grafico rappresenta la variazione dell'altezza in funzione della base (o anche viceversa, base che varia in funzione dell'altezza) di un insieme di rettangoli equivalenti, cioè aventi la stessa area (k, costante).
Notiamo che i vertici liberi di rettangoli equivalenti si dispongono su una curva, un ramo di iperbole equilatera.

Agendo con il mouse sul punto rosso dello slider si fa variare l'Area dei rettangoli ottenendo le curve relative a diversi insiemi di rettangoli equivalenti. Il diagramma è sempre un ramo di iperbole equilatera. Clic sulla figura.

Grandezze direttamente proporzionali

Le mie "care" alunne di III hanno finalmente deciso di riprendere (?) a scrivere!:-)
Abbiamo rielaborato in classe le bozze di Alessandra, Laura e Irene.
Qualche tempo fa (ormai...) suddivisi per gruppi, avevamo svolto l'attività sulle "Decorazioni". Tutti eravamo arrivati alla giusta soluzione, in generale ragionando così:
il numero di barattoli di colore, usati per dipingere le figure, 18, 21 e 27, sono multipli di 3, quindi abbiamo dedotto che per ogni quadratino dell'area di ogni figura, erano stati usati 3 barattoli.
Le aree delle figure erano (partendo da sinistra): 8 quadratini, 7 quadratini, 9 e 6 quadratini. Quindi:
- per la figura da 6 quadratini sono stati usati 18 barattoli e la figura è rossa
- per la figura da 7 quadratini sono stati usati 21 barattoli e la figura è blu
- per la figura da 9 quadratini sono stati usati 27 barattoli e la figura è gialla.
Perciò per la figura che rimane, da 8 quadratini, sono stati usati 24 barattoli di colore nero.

La prof ci ha detto che il ragionamento non era male, e ha aggiunto che con questo esercizio ci siamo avviati allo studio della proporzionalità fra grandezze. E che ora dovevamo "mettere in ordine" e completare le nostre conoscenze.
Per svolgere l'attività non è stato neppure necessario usare le proporzioni, abbiamo intuito che il numero di barattoli usati era "proporzionale" all'area delle figure.

Per studiare meglio la proporzionalità abbiamo costruito una tabella, mettendo in relazione Area figure e n° barattoli:
La prof ci ha fatto osservare la tabella e ci ha chiesto cosa notavamo.
Discutendo un po' tutti, siamo arrivati a dire (è stata Laura a dirlo con il linguaggio più appropriato):
nella tabella noto che esiste un rapporto costante tra i valori n° barattoli e Area figure.
Il valore di questo rapporto è 3. Il numero 3, il numero di barattoli che che noi avevamo detto erano serviti per ogni quadratino.
La prof ci ha detto che per cominciare a "generalizzare" e ampliare, potevamo dire: rapporto costante tra le due grandezze (n° baratt. e Area figure) e che questo rapporto costante viene chiamato coefficiente di proporzionalità.
Infatti, moltiplicando le aree delle figure per 3, si ottiene il numero di barattoli per ogni figura.
La prof voleva farci notare qualche altra proprietà.
Ci ha chiesto: se avessimo un'altra figura con area di 12 quadratini, quale sarebbe il valore corrispondente del n° di barattoli?
Naturalmente basta fare 12*3, quindi 36.
Immaginando ancora una figura da 18 quadratini, avremmo n° di barattoli: 54
Ora osserviamo ancora la tabella (abbiamo calcolato anche il rapporto costante tra le due grandezze):
notiamo che al raddoppiare, triplicare ... del valore dell'area, raddoppia, triplica... il valore del n° di barattoli.
Queste due proprietà:
1) rapporto costante tra le due grandezze;
2) al raddoppiare, triplicare...dell'una, raddoppia, triplica... anche l'altra, sono le proprietà caratteristiche delle grandezze direttamente proporzionali.

Abbiamo fatto tanti altri esempi di grandezze direttamente proporzionali.
Esempi presi dalla geometria: l'area di un rettangolo è direttamente proporzionale alla base, se si tiene fissa l'altezza.
Esempi presi dalla fisica: lo spazio percorso da un'automobile, in un certo tempo fisso, è direttamente proporzionale alla Velocità.
Esempi dalla vita quotidiana: la spesa per l'acquisto di una certa merce è direttamente proporzionale alla quantità di merce...
Tutti questi esempi sono particolari, ma rispettano tutti una legge generale (stiamo infatti generalizzando, la prof ha detto: siamo in terza media!).
Qual è la legge generale della proporzionalità diretta?
Dobbiamo trovare la relazione che lega le grandezze.
Prima di passare a scrivere la relazione tra le grandezze, la legge che le lega, occorre precisare che ora stiamo studiando le grandezze non più "statiche" (come in geometria l'anno scorso, es: avevo l'area di un triangolo...) ma nella loro variabilità.
Nei diversi esempi vediamo che si possono avere grandezze variabili e grandezze costanti.
Nei nostri esempi abbiamo due grandezze variabili (che abbreviamo dicendo solo "variabile") e una grandezza costante (diremo solo "costante")
Es: spazio e velocità sono grandezze variabili, il tempo è costante.
Per generalizzare indichiamo con x e y le due grandezze variabili, con K la grandezza costante.
Le due due variabili inoltre sono una "dipendente" dall'altra.
Es:
il numero dei barattoli utilizzati dipende dall'area della figura;
lo spazio percorso dipende dalla velocità della macchina;
il costo della merce dipende dalla quantità, eccc..
Precisiamo che:
la variabile dipendente si indica con y, quella indipendente si indica con x.
Ora possiamo provare a scrivere la legge che lega le grandezze direttamente proporzionali, la legge della proporzionalità diretta.
Partendo ancora dagli esempi:
n° barattoli = 3 * area figura;
A rettangolo = b * h (k);
Spesa = prezzo unitario (k) * quantità merce;
Spazio = t (k) * Velocità.
Quindi in generale:
y (variabile dipendente) = k (costante) * x (variabile indipendente)
y = k*x è la legge della proporzionalità diretta.
Per completare lo studio delle grandezze direttamente proporzionali abbiamo riportato in un diagramma cartesiano i valori delle due varibili:
il grafico che si ottiene è sempre una linea retta che passa per l'origine degli assi cartesiani.

prolungando la retta verso l'origine degli assi, ci accorgiamo che essa passa per l'origine.

La prox volta parleremo di grandezze inversamente proporzionali.
Sul blog, un lavoro in Excel sulla proporzionalità diretta e inversa (di una nostra ex alunna).

Attività "Griglie", sulla proporzionalità

Stamane ho cominciato a proporre a una parte della classe (attività a classe suddivisa, per gruppi), le situazioni di cui al post precedente....
La relazione dei ragazzi (spiegano i loro ragionamenti):

Irene, Alessandra e Laura:
Attività GRIGLIE
Abbiamo continuato la sequenza delle figure, aggiungendo sempre una riga e una colonna e calcolando il numero dei quadrati:
Ci siamo accorti che 120 quadrati si potevano ottenere ma 240 no.
Quindi avevamo trovato la risposta!
La prof ci ha detto che era giusto, ma che avevamo seguito un metodo un po' "empirico" (ci ha detto, parolina nuova. Dal greco empeirìa = "esperienza"), cioè avevamo calcolato sperimentalmente, con il calcolo caso per caso, che non si potevano ottenere 240 quadrati e 120 sì.
Ci ha chiesto se potevamo trovare qualche spiegazione che dimostrasse maggiore consapevolezza...
Noi abbiamo detto che anche trovando 120, non potevamo raddoppiare perché così non si rispettava il rapporto.
La prof: mmhh... (ma come quando ci si schiarisce la voce...)
Abbiamo impiegato un po' a capire che così non andava. Ma non sapevamo trovare spiegazioni.
Allora la prof ci ha chiesto: secondo voi cosa vuol dire aver veramente capito un argomento o una proprietà?
Risposte: applicare, utilizzare... consapevolezza..., riconoscere.
Ecco: riconoscere! ha detto la prof.
E cosa vuol dire riconoscere???
Alessandra: identificare.
Giusto....
Ma... non riuscivamo ancora a "partorire" niente! (lo ha detto la prof!)
Allora la prof ci ha detto che anche NON identificando o riconoscendo una proprietà, si può essere bravissimi!!!
Oh, da questo abbiamo capito che ... la proporzionalità in qualche situazione poteva esserci oppure no.
Nel caso delle griglie, le figure non ingrandiscono rispettando una proporzionalità!

L'ora ormai alla fine, ho chiesto solo di avviare il secondo quesito: Altezze.
Emanuele, dalla bella mente ma brontolone, quasi seccato, ha esclamato appena letto: "ma NON si può calcolare! Che ne so quanto è cresciuta!"
Gli ho chiesto solo di essere un po' più gentile! :-)

Le proporzioni, la proporzionalità. Applicazioni_2

Ancora qualche attività sulla proporzionalità.

2) Griglie (Jaquet, 2000)
Da una griglia all’altra, si aggiunge una riga e una colonna di quadrati. Continuando così, si troverà una griglia di 120 quadrati?
E una griglia di 240 quadrati? Spiegate il vostro ragionamento.

3) Altezze (Chastellain, Jaquet, 2001)
Ophélie era alta 83 cm a 2 anni e 1,66 m a 16 anni.
Puoi dire quanto è alta Ophélie oggi, che compie 32 anni?
E quanto era alta a 1 anno, 4 anni, 8 anni?

4) Decorazioni
Un pittore ha dipinto quattro figure diverse su un muro. Ha utilizzato dei barattoli di colore della stessa grandezza:
18 barattoli di rosso per una figura,
21 barattoli di blu per un’altra figura,
27 barattoli di giallo per un’altra figura ancora e
alcuni barattoli di nero per la figura che resta.
Alla fine del suo lavoro, tutti i barattoli erano vuoti.
- Indicate il colore di ogni figura.
- Quanti barattoli di colore nero ha utilizzato?
Spiegate come avete trovato la risposta.

Devo ancora proporli alla classe...

Le proporzioni, la proporzionalità. Applicazioni.

La risoluzione di problemi nei quali interviene la proporzionalità
è spesso soggetta a errori caratteristici, confusioni, false piste. L'applicazione cosciente delle proprietà della linearità a partire dall'intuizione, richiede più di una riflessione...
Da una ricerca in rete riporto alcune attività da proporre in classe, che possono aiutare a far emergere difficoltà ed errori caratteristici.

1) Il puzzle (Brousseau, 1981)
L'insegnante propone agli allievi, suddivisi in gruppi di 4, la situazione seguente:
"A partire dal puzzle rappresentato in figura ogni allievo di ciascun gruppo riceve uno dei quattro pezzi. Poiché ogni gruppo dovrà ottenere un ingrandimento del puzzle,
- ogni allievo di ciascun gruppo ha il compito di fare un ingrandimento del proprio pezzo in modo da poter ricostruire l'intero puzzle ingrandito,
- il lato che misura 4 cm deve misurarne 6 sul puzzle ingrandito.
Naturalmente in ogni gruppo sarà necessario accordarsi sul metodo da seguire."

Si tratta di una situazione che fa venire alla luce la concezione (additiva) erronea del tipo:
Bisogna aggiungere 2 cm a ciascun lato per fare l'ingrandimento richiesto.
Per arrivare alla realizzazione concreta, è necessario rinunciare alla concezione additiva (erronea) della situazione (Grugnetti, 1996).

Ho proposto tale situazione in III. I ragazzi descrivono l'attività, il metodo seguito e le soluzioni a cui sono giunti.
Scrive Alessandra per il gruppo A:
La prof. ci ha disposto in gruppi da quattro, nei quali ogni componente aveva un compito ben preciso. Dopo averci dato la libertà di scegliere il nostro compito, la professoressa ci ha fornito un foglio su cui c’era scritto l’esercizio.
Il mio compito era supportare nei calcoli i membri del gruppo, qualora ci fosse stato bisogno; Irene aveva il compito di coordinare le proposte ed era la portavoce al momento di relazionare agli altri i risultati; Silvia doveva fornire al gruppo gli strumenti necessari per svolgere il lavoro (ad es. riga, forbici, colla…); Daniele doveva moderare il tono di voce dei componenti.
Dovevamo riportare la figura ingrandita, sapendo che il lato del trapezio B che misurava 4 cm diventa di 6 cm.
Daniele in un primo momento ha proposto: siccome il lato di 4 cm diventa di 6 cm, allora anche gli altri bisogna farli aumentare di 2 cm. Ma avevamo intuito che in questo problema bisognava usare le proporzioni, e io gli ho fatto notare che così non si rispettava il rapporto di 4:6. Irene era d'accordo con me.
Quindi abbiamo deciso che per calcolare le nuove misure di tutti i lati andava applicata la proporzione:
4 : 6 = misura (conosciuta) figura: misura (incognita) figura ingrandita.
Es: 4 : 6 = 5 : x
Abbiamo eseguito i seguenti passaggi:
• applicato la proprietà fondamentale, la quale prevede che il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi;
• quindi diviso il prodotto dei medi per l’estremo conosciuto, e trovata l’incognita x.
Abbiamo utilizzato questo procedimento per scoprire i lati incogniti delle altre figure.

La prof ci aveva dato un altro incarico, stavolta comune a tutti: alla fine dell'attività dovevamo fare l'autovalutazione e la valutazione del compito svolto dai nostri compagni.
Alla prof è piaciuto come abbiamo svolto quest'ultimo incarico. Abbiamo detto la verità, per es:
"Daniele doveva intervenire per moderare i toni del gruppo, ma eravamo noi a dover intervenire a volte su di lui!"

Ale

Laura per il gruppo B (riporto la procedura seguita dal gruppo):
Per ingrandire la figura abbiamo bisogno delle proporzioni. La prima osservazione è stata fatta da Emanuele che ha detto: 4 cm sono diventati 6 cm; bisogna sommare a 4 la sua metà. Si può applicare lo stesso ragionamento a tutti i lati da ingrandire.
Ci è sembrato che il suo ragionamento filasse e quindi abbiamo provato a scrivere una proporzione per un lato, per es. il lato da 5 cm:
[(1/2 * 5) + 5] : [(1/2 * 4) + 4] = 5 : 4
[2,5 + 5] : [2 + 4] = 5 : 4
7,5 : 6 = 5 : 4
Questi numeri sono in proporzione: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, 6*5 = 7,5*4
Quindi il lato da 5 cm diventa di 7,5 cm.
Abbiamo impostato la stessa proporzione per calcolare le misure di tutti i lati ingranditi.
Verificavamo sempre l'esattezza delle proporzioni. I rapporti erano uguali e la proprietà fondamentale era rispettata.
Per quanto riguarda la valutazione e autovalutazione... noi siamo stati "poco obiettivi"! (ha detto la prof! :-))

Laura

Nicola per il gruppo C (metodo seguito):
Delia ha detto dapprima: forse dobbiamo aumentare di 2 cm ogni lato... Ma ho fatto notare che bisognava rispettare il rapporto 4 : 6. Allora Delia si è corretta: il quadrato ingrandito è in rapporto di 3 : 2 rispetto all'altro!
Quindi per scoprire tutti i lati richiesti bisognava applicare per ogni lato il rapporto 3 : 2.
Abbiamo applicato l'operatore 3/2 a ciascuna misura originale:
Es.:
3/2 * 5 = 7,5
il lato da 5 cm diventa di 7,5 cm,
3/2 * 7 = 10,5
il lato da 7 cm diventa 10,5 cm
e così per gli altri lati.
Noi abbiamo consegnato per primi la nostra relazione e siamo stati abbastanza giusti nel giudicarci...

Nico

La foto ... consapevolezza e padronanza di concetti.

Ciao ragazzi,
mi sembra interessante integrare l'articolo La Foto di Giuseppina, per ribadire ancora qualche concetto che nello svolgimento dell'attività si è rivelato (forse inaspettatamente) un po' difficile da interiorizzare!
Il lavoro ci è servito a consolidare abilità specifiche, a sviluppare capacità di utilizzare le stesse in situazioni reali (competenze --> la vita).
Riepiloghiamo i risultati positivi:

• corretto utilizzo dei concetti di rapporto, proporzione, riduzione in scala, proporzionalità;
• consapevolezza della necessità di un riferimento concreto nella foto (oggetto da poter misurare realmente).

E le difficoltà incontrate:

• errata interpretazione delle proprietà dei rapporti e della legge di proporzionalità;
• scorretta impostazione di proporzioni;
• scarsa consapevolezza nel distinguere le funzioni di tipo empirico da quelle matematiche.

Avete faticato un po' nell'intuire la necessità di un riferimento ad un oggetto presente nella foto, tuttora esistente, quindi la necessità del rapporto di riduzione in scala.

E' stato utile ripensare ad un'attività da voi svolta con l'insegnante di Ed. Tecnica: realizzazione della pianta della classe. Avete misurato la cattedra, il banco ecc… "nella realtà", poi ridotto in scala tutti gli oggetti secondo il rapporto indicato dall'insegnante.
Abbiamo considerato che il vostro foglio da disegno, nel nostro problema, non era altro che ... la foto! E quindi il problema diventa: "dal disegno, come "tornare" alle misure reali?" Naturalmente sapevate farlo usando il rapporto di riduzione indicatovi dall'insegnante. Nel nostro problema non si conosce però il fattore di riduzione. Ma... Giuseppina ha pensato di misurare l'altezza del muretto nella foto e nella realtà...!
E poi, vi siete resi conto: in molti di voi c'è stata la tendenza a considerare l'altezza variabile in maniera proporzionale all'età.
E' bastato ricordarvi che abbiamo studiato le funzioni empiriche… ed ecco allora: "Aaaah! L'altezza non cresce in maniera direttamente proporzionale agli anni!" E anche: "Non si può calcolare con una formula matematica, a tavolino!" Già...! :-)
E infine qualcuno di voi ha proposto la soluzione, rapportando le differenze di altezze e le differenze di anni...: problema più complesso ma, ottima questa occasione!
Abbiamo ribadito il concetto di rapporto come quoziente, come frazione, quindi esso gode della proprietà invariantiva della divisione. Abbiamo ancora esaminato semplici casi di proporzionalità diretta...
Se si ha la proporzione: 6:2=12:4 il 6 e il 2 diventano rispettivamente 12 e 4 moltiplicandoli per lo stesso valore e non aggiungendo o togliendo da essi lo stesso valore! "Stiamo crescendo: dobbiamo superare il più immediato ragionamento additivo per passare a quello moltiplicativo!"
Infine... occhio alla matematica nella realtà! ;-)

prof. Arcadu

La foto

Saluto e ringrazio tutte le persone che stanno visitando il nostro blog. Io sono Giuseppina, della III A, e vi voglio trasmettere un'esperienza: come usare la matematica per risolvere problemi quotidiani.

Un giorno la nostra prof. di matematica, la prof Arcadu (che ha creato questo blog x noi alunni) è entrata in classe raggiante e ha detto: vi propongo un'attività che potremmo intitolare: "mettiamoci alla prova!"

Il nostro sguardo interrogativo e incuriosito …

E la prof ha continuato: nel corso dei nostri studi abbiamo imparato diverse cose, ci siamo esercitati, fatte verifiche orali e scritte, a volte positive a volte meno… E' interessante verificare se abbiamo acquisito anche degli strumenti rigorosi e non approssimativi per affrontare un problema quotidiano.

Per esempio: sapreste calcolare la vostra altezza all'età di 5 anni, servendovi di una vostra foto di quel periodo?

Compito: per la prossima lezione procurarsi la foto!"

II lezione.

Molti di noi portano la propria foto. Per semplificare il lavoro, la prof ci invita a sceglierne una sola sulla quale svolgere l'indagine. Ci piace molto la foto di Danilo a 5 anni scattata sulla neve di fronte al muretto di una piscina della pineta!

Cominciamo a proporre, a turno, le nostre soluzioni. La prof raccoglie alla lavagna i diversi interventi e ci chiede di non commentare per ora le soluzioni proposte. Qualche compagna prende appunti e registra ogni cosa!

Prima proposta:

"Misuro l'altezza del muretto della piscina nella foto, vado alla pineta e misuro "dal vero" l'altezza del muretto, per sapere di quanto hanno ridotto in scala nella foto. Poi divido la misura del muretto nella realtà per quella nella foto. Misuro anche l'altezza di Danilo nella foto e la moltiplico per il risultato della divisione precedente".

Seconda proposta: "Misuro l'altezza del bambino nella foto, l'altezza di Danilo oggi, considero gli anni trascorsi, poi con la proporzione: (anni-oggi):(anni-foto)=(h-oggi):(h-foto), calcolo l'altezza di Danilo nella foto che è l'unico temine che non conosco.

Altre proposte sono simili a questa, si considerano sempre gli anni trascorsi…Qualche nostro compagno propone di utilizzare due foto: quella che abbiamo e una foto attuale. Misurare le altezze nelle due foto, misurare l'altezza di Danilo oggi e poi dalla proporzione: (h-oggi):(h-foto-oggi)=(h-5anni):(h-foto-5anni), si può calcolare h-5anni.

Alcuni di noi dicono di non sapere come fare e non si esprimono.

Francesca, che interviene quasi per ultima, dice di essersi convinta che la prima soluzione proposta le sembra giusta.

Vi dico che la prima soluzione era la mia. Ehehe..!

Ormai è finita l'ora e la prof ci assegna il compito per la prox: provare a verificare sperimentalmente e con il calcolo o solo con il calcolo, le ipotesi proposte.

III lezione: discutiamo le proposte…. Non tutti abbiamo eseguito il compito. Seguiamo l'ordine degli appunti registrati e commentiamo tutte le ipotesi. Verifichiamo con i calcoli che molte soluzioni non sono corrette.

Non vorrei dirvi il risultato finale! Chiedo ai miei coetanei che ci leggono: come avreste risolto questo enigma? Mi piacerebbe molto leggere altre soluzioni del problema. Se volete, potete lasciare un commento, scrivendo la vostra risoluzione anche se sbagliata. Perché dovete sapere che "gli errori servono a tutti per migliorare….." dice la prof!

ciao,

by Giuseppina

La proporzionalità

In questo periodo, noi della III (A), siamo molto impegnati con la preparazione dell'esame di licenza. Non vogliamo tuttavia far mancare i nostri contributi! Peccato che il nostro blog sia nato solo adesso e noi stiamo per ... volare agli studi superiori!
Io (Francesca) vi voglio mostrare un mio lavoro su Excel sulla proporzionalità diretta e inversa.
Ecco le immagini dei grafici

ma potete scaricare il lavoro completo cliccando qui . Ehi, vi divertirete: è un lavoro interattivo! :-)

by Francesca