Ho voluto provare
da Geogebra: “Esporta Vista grafica come Gif animata”
Con una dimostrazione del Teorema di Pitagora che ancora non avevamo.
Verifichiamo come funziona la gif...
[Aggiornamento]
La mia amica Renata mi invia la gif modificata nei tempi dei singoli fotogrammi (si può leggere nei commenti un suggerimento), così che le immagini siano opportunamente rallentate per meglio apprezzare la dimostrazione.
Grazie, Renata, sempre preziosissima.
Un problema
risolto da Giovanni (II)
Questa la figura:
Conosciamo il lato dell'esagono regolare: 10 cm;
sui lati dell'esagono sono costruiti dei quadrati;
Dobbiamo trovare l'area del dodecagono regolare costruito unendo i vertici consecutivi dei quadrati.
La soluzione sull’applet GeoGebra (ho aiutato Giovanni nella scrittura delle formule. Ragazzi, di testi e LaTex dobbiamo parlare, faticate a “far da voi”!)
Davì
mi invia la realizzazione su GeoGebra dell’osservazione proposta dal libro di testo.
Ho aggiunto io il testo dinamico: devono ancora imparare bene! Clic su img per aprire la costruzione dinamica. Con le considerazioni...
Davì, bene la costruzione!
Daniele,
dimostra il Teorema di Pitagora, pesando...
Bravo Dani, sei forte!
... evviva la freschezza dei ragazzi!
Aggiungo il bel lavoro sul quaderno, di Andrea F. che, assente per un paio di lezioni, ha lavorato a casa. Bravo! Clic per ingrandire se necessario.
Dopo aver visto
e lavorato sulla nostra dimostrazione di Perigal del Teorema di Pitagora,
Davì, che ha anche realizzato la costruzione su GeoGebra,
ispirato dal video dei ragazzi di prof Daniele, ha anche lui ... toccato con mano!
Bene, Davì!
Tutti, in classe, abbiamo invece costruito, ritagliato, accostato... con questa dimostrazione. I ragazzi molto bravi anche a dimostrare la condizione di quadrato di C (proprietà lati e angoli!)
Cari III,
ecco il secondo problema dal Sulbasutra di Baudhayana di cui abbiamo parlato stamane e avviato ...
Sì, forse era un tantino più complesso del primo e perciò la soluzione promessa.
Trasformare un rettangolo in un quadrato di area uguale.
Il risultato, secondo il Sulbasutra di Baudhayana, è quello mostrato in figura.
ABCD è il rettangolo di partenza, il quadrato richiesto è JSTR.
La dimostrazione dell’equivalenza delle due figure deriva dal Teorema di Pitagora.
Sull’applet seguite i passi della costruzione. Per visualizzarli agite sul pulsante “inizio” e selezionate Mostra/Nascondi oggetto dalla barra degli strumenti. Alla fine fate clic sullo strumento Muovi per nascondere nuovamente gli oggetti e concentrarvi ancora sulla costruzione. Clic su img
In seconda
stiamo per parlare di Teorema di Pitagora. So che qualcuno ha già sbirciato sul blog e, può darsi abbia già visto che la conoscenza di questo teorema può essere attestata in molte tradizioni matematiche antiche.
E i Sulbasutra?
Sono alcune “appendici”, note come Vedanga, dei principali Veda, i testi sacri dell’induismo [da Indù (chi abita oltre l'Indo). Religione dell'India...].
I Vedanga sono suddivisi in sei rami di conoscenza:
1) fonetica, la scienza dell’articolazione e della pronuncia,
2) grammatica,
3) etimologia,
4) metrica (chandah), l’arte della prosodia dal greco pros, "verso" e odè, "canto"),
5) astronomia e
6) regole per riti e cerimonie (kalpa).
Negli ultimi due Vedanga si trovano le fonti più importanti della matematica del periodo vedico. La testimonianza è generalmente in forma di Sutra, un modo di scrivere particolare che tende alla massima brevità e spesso utilizza uno stile poetico per catturare l’essenza di un argomento o di un risultato (possiamo definirli aforismi della saggezza indiana).
Una gran parte del sapere veniva resa più facilmente memorizzabile cercando di evitare il più possibile l’uso dei verbi e componendo nomi molto lunghi. La condensazione nei Sutra era anche una strada per integrare la scarsità di materiale scrittorio (che serve per scrivere. Interessante per voi ragazzi, questa pagina).
I Sulbasutra contenevano le istruzioni per la costruzione e la misurazione degli altari destinati ai sacrifici rituali. Il termine in origine significava “regole per condurre riti sacrificali", ma in seguito la parola sulba si riferì al tratto di fune usato per la misurazione degli altari. Buona parte di quello che sappiamo della geometria vedica proviene da questi sutra.
Clic per ingrandire l’immagine
LA GEOMETRIA DEI SULBASUTRA
La geometria dei Sulbasutra (riportati in forma scritta fra l'800 e il 600 a. C.) scaturì dall'esigenza di assicurare una rigida conformità dell’orientamento, della forma e dell’area degli altari alle prescrizioni stabilite dalle scritture vediche.
Questa precisione era estremamente importante per l’efficacia del rituale come lo era la pronuncia meticolosa dei canti vedici (o mantra).
I tre aspetti della geometria dei Sulbasutra:
1. le conclusioni geometriche e i teoremi esplicitamente enunciati;
2. le procedure per costruire altari di forme diverse;
3. gli strumenti algoritmici contenuti nei punti (1) e (2).
L'enunciato più importante della prima categoria è il teorema di Pitagora per un triangolo rettangolo.
L'enunciazione attuale del teorema di Pitagora, espressa in termini di lati e diagonali di quadrati e rettangoli, si trova nei Sulbasutra di Baudhayana, Apastamba e Katyayana. La versione di Baudhayana dice:
La fune che viene tesa attraverso la diagonale di un quadrato produce un’area di dimensione doppia rispetto al quadrato originale.
I tre Sulbasutra forniscono una proposizione più generale:
La fune [tesa per la lunghezza] della diagonale di un rettangolo forma un’[area] pari alla somma di quella formata dal lato verticale e da quello orizzontale.
Ed ecco un esempio che illustra il modo in cui questa proposizione veniva applicata al disegno e alla costruzione di un particolare tipo di altare.
Nell’immagine sotto, il progetto della base dell’altare mahavedi (un altare “cimitero” sul quale veniva offerta una bevanda inebriante chiamata soma come sacrificio agli dei). Se si voleva che il sacrificio desse frutti questa base doveva essere costruita adottando dimensioni precise.
Nel Sulbasutra di Apastamba venivano date tutte le istruzioni per la costruzione dell’altare: con l’aiuto di una fune ...
Voi trovate, in notazione moderna, i passi della costruzione, sull’applet GeoGebra. Clic su img.
Le istruzioni portano ad individuare dei triangoli rettangoli con i lati aventi misure espresse da “terne pitagoriche” intere (vedete meglio sull’applet).
BY = YC = 15 pada
XP = 5 pada
PR = 23 pada
RQ = 7 pada
QY= 1 pada
XY = 36 pada
Come si vede, doveva essere un trapezio isoscele ABCD in cui AD e BC erano 24 e 30 pada (letteralmente “piedi”). L’altezza del trapezio (cioè la distanza tra i punti di mezzo X e Y di AD e BC) doveva essere esattamente 36 pada.
Oltre alle terne pitagoriche intere, per costruire triangoli rettangoli venivano anche utilizzate due frazioni conseguenti: $ 2\frac{1}{2}, \; 6, \; 6\frac{1}{2} \; e \; 7\frac{1}{2}, \; 10, \; 12\frac{1}{2} $
Inoltre la costruzione di alcuni altari comportava l’uso di terne come: $1, \; 1, \; \sqrt{2}; \; \; 5\sqrt{3}, \; 12\sqrt{3}, \;13\sqrt{3}; \; \;15\sqrt{2}, \;36\sqrt{2}, \;39\sqrt{2} $ Questi numeri scaturivano probabilmente da necessità rituali che imponevano costruzioni di altari le cui aree erano multipli integrali o frazioni di aree di altri altari della stessa forma. Per es. si arrivava alle dimensioni di un altare soutramani (a base triangolare con i lati $5\sqrt{3}, \; 12\sqrt{3}, \;13\sqrt{3}$, cominciando con un triangolo 5, 12, 13, con un’unità di misura che era la purusha (quasi 2,5 metri, oppure l’altezza di un uomo con le braccia sollevate).
I Sulbasutra erano prima di tutto manuali di istruzione per costruzioni geometriche: quadrati, rettangoli, trapezi e cerchi che dovevano conformarsi a dimensioni e aree stabilite. Qualsiasi inesattezza avrebbe invalidato rituali e sacrifici!
Ecco un esempio su cui potete, voi ragazzi, provare a cimentarvi (è facile, servitevi dell’aiuto, poi, onestiii!, mi direte se siete riusciti....):
Fonte: C’era una volta un numero – La vera storia della matematica – George Gheverghese J. - Il Saggiatore
Letizia,
ha preparato un bel lavoro sul Teorema di Pitagora esteso ai poligoni regolari.
Ecco un’immagine dal foglio GeoGebra. Ricco, con tanto di “pagine diverse” e caselle di controllo. Brava Leti!
- L'attività di Letizia ci ha dato l'occasione di parlare di poligoni simili e ... dobbiamo provare dell’altro!
... di Erica!
Con Geogebra naturalmente. Questa: clic sull’immagine
Bene, Erica, brava. Tuttavia, ti chiederò una revisione ....!
Aggiorno
Abbiamo discusso in classe il lavoro di Erica. Notavamo che la sua dimostrazione non sempre era valida, non per qualsiasi triangolo rettangolo. Solo per quelli che hanno un cateto doppio dell’altro.
Erica ci ha spiegato di essersi ispirata al pavimento a piastrelle quadrate della leggenda su Pitagora, immagine a questa pagina
Abbiamo quindi rinnovato il file di Erica. Dal quale, la nuova immagine.
Ok ok ragazzi!
Ragazzi (II)
sul Teorema di Pitagora già abbiamo diverse cosette sul blog (io qualcosa ho segnalato, ora cercate voi!)
Ho beccato oggi un’altra bella pagina che propone delle interessanti attività. Cliccate sull’immagine sotto.
Attenzione, in fondo alla pagina dovete cliccare su:
Dalle dissezioni geometriche al teorema di Pitagora.
Potete eseguire le attività stampando le immagini e ritagliando oppure su GeoGebra (o in entrambi i modi!)
In II
Si discuteva (per i monelli no-blog) di QUESTO
Disegno:
Come duplicare il quadrato?
Erica (monella no-blog o poco-blog !):
- lo costruisco sulla diagonale
Ok:
Sono sicura che è doppio?
Giovanni (ancora meno-blog!):
- traccio le diagonali del “rombo”
Ok:
Dunque: ACEF è doppio di ABCD
Allora, SE considero:
e ribalto ABCD sul lato CB,
costruisco un altro “ABCD” sul lato AB,
tenendo sempre ACEF:
Che mi dite di A – B – C?
Gabriele:
C = 2 B
ma
A=B
allora
C = A + B
Bene:
è il Teorema di Pitagora.
- Driinn!
Tento comunque:
Ehi, voi... “uomini” di buona volontà:
Vedetevi la dimostrazione di Perigal. Potrete costruire voi, agire sull’applet ...
- ormai quasi tutti via ...
.. che non era nemmeno un matematico, era un agente di cambio...
- Perché non abbiate scuse:
A parlare di triangoli pitagorici ...
attività didattiche si prospettano!
La dimostrazione dell'agente di cambio Perigal.
"Il matematico Martin Gardner racconta in un suo libro che nel secolo scorso un certo Henry Perigal (1801-1898), agente di borsa e astronomo dilettante, riuscì a dare una singolare dimostrazione del teorema di Pitagora.
Perigal disegnò un triangolo rettangolo qualsiasi e costruì i relativi quadrati su ogni lato.
Quindi suddivise il quadrato costruito sul cateto maggiore in quattro parti, tracciando nel suo interno due segmenti passanti entrambi per il centro del quadrato, uno dei quali parallelo e l'altro perpendicolare all'ipotenusa.
Ritagliò quindi questo quadrato secondo i segmenti tracciati; con i quattro pezzi ottenuti e con il quadrato costruito sul cateto minore riuscì a ricoprire il quadrato costruito sull'ipotenusa.
Perigal fu così orgoglioso di questa sua "dimostrazione" del Teorema di Pitagora che se la fece stampare sui biglietti da visita." [Da R. Rinaldi Carini Matematica 2 Ed. Zanichelli]
Ragazzi, dovreste costruirla anche voi!
Qui ve la propongo con i nostri mezzi: geogebra no?
Clic sull'immagine e, al lavoro! Sul foglio di lavoro troverete tutte le indicazioni.
Già abbiamo incontrato Euclide e i suoi Elementi.
Ora vediamo come il grande matematico tratta del Teorema di Pitagora nella sua opera.
Quando Euclide scriveva i suoi Elementi, la proprietà oggi nota come il "teorema di Pitagora" era conosciuta e utilizzata già da moltissimo tempo: Euclide inserì questo teorema all'interno della sua opera, e ne fornì due dimostrazioni.
Per i matematici, dimostrare significa passare da certe premesse (le ipotesi) a una conclusione (la tesi), utilizzando una sequenza di ragionamenti logici.
Vediamo ora quali sono l'ipotesi e la tesi del così detto teorema di Pitagora, e anche quelli di un altro teorema che con il precedente ha una relazione molto importante (tanto da essere chiamato il suo inverso).
Libro I, proposizione 47
Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto 
all'angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l'angolo retto.
Ipotesi: ABC è un triangolo rettangolo, retto in A.
Tesi: Il quadrato costruito sul lato BC è equivalente alla somma di quelli costruiti sui lati AB e AC.
Libro I, proposizione 48
Se in un triangolo il quadrato di uno dei lati è uguale 
alla somma dei quadrati dei rimanenti due lati del triangolo, l'angolo che è compreso tra i due rimanenti lati del triangolo è retto.
Ipotesi: Il quadrato costruito sul lato BC è equivalente alla somma di quelli costruiti sui lati AB e AC.
Tesi: ABC è un triangolo rettangolo, retto in A.
Avrai certamente notato che l'ipotesi della proposizione 47 corrisponde alla tesi della 48 e l'ipotesi della 48 corrisponde alla tesi della 47.
Non è uno scioglilingua: è ciò che accade ogni volta che siamo in presenza di un teorema e del suo inverso: l'ipotesi e la tesi si scambiano i ruoli!
Nel libro VI degli Elementi, Euclide generalizza il risultato, dimostrando che la proprietà descritta dal teorema di Pitagora continua a valere se, al posto dei quadrati, si costruiscono sui lati del triangolo rettangolo altre figure, a patto che si tratti sempre di figure simili: per ora ricordiamo solo che due figure sono simili quando puoi ottenere una dall'altra semplicemente... facendone una fotocopia ingrandita o rimpicciolita!
Libro VI, proposizione 31
Nei triangoli rettangoli la figura descritta sul lato opposto all'angolo retto è uguale alla somma delle figure simili e similmente descritte sui lati che comprendono l'angolo retto.
Alessandra, Laura e Irene hanno scritto la loro relazione, tutti hanno lavorato bene!:-)
Ehmm... siamo un po' in ritardo con i programmi per la verità, dunque, dicono le ragazze....
(E' la sintesi delle tre relazioni).
La prof appena oltrepassata la soglia della porta ha esclamato: oggi iniziamo immediatamente con il lavoro!!!
Ci ha proposto un'attività pratica.
Prendete un foglio a quadretti, matita, gomma. Dovrete usare poi le forbici... dunque foglio separato!
Ci ha dato le seguenti istruzioni:
1. Disegnate due quadrati congruenti, 10*10 quadretti per comodità. Il primo lo chiamate Q1 e il secondo Q2.
2. Scomponete Q1 in maniera tale da ottenere due rettangoli congruenti, e due quadrati non equivalenti, uno piccolo e uno grande.
Noi non sapevamo come orientarci e allora la prof ci da altre indicazioni:
- Basta tracciare solo due segmenti
(non è stato sufficiente....)
- Questi due segmenti devono essere perpendicolari.
Dopo vari tentativi abbiamo realizzato tutti la figura, ognuno aveva misure diverse delle dimensioni dei rettangoli e quadrati.
I primi ad arrivare alla soluzione sono stati Laura ed Emanuele.
Il disegno quindi risultava il seguente:
Nell'attesa del vostro post, ragazzi, sappiate che...
Leggete ancora una bella storia!
"Dalla parte opposta del sipario, si aprì la porta laterale e una ventata d'aria fresca entrò nello studio. Perrette sgattaiolò silenziosa nella sala proprio nel momento in cui si spegneva il fischio di ammirazione di Jonathan e Lea. Lei avrebbe voluto raggiungerli, poi, vedendo Albert, cambiò idea e si sedette.
Fu allora che, dall'altoparlante, giunse una voce ferma: «Attenzione, attenzione, questa è una rivelazione! Questa è una rivel... »
Ruche spense il contatto e annunciò: « Qui Ruche, ho una rivelazione da farvi. Il teorema di Pitagora non è di Pitagora».
Una salva di applausi accolse lo scoop. Lea non avrebbe saputo spiegare per quale motivo provasse tanto piacere; Jonathan, invece, rimase impassibile.
«Bisogna dare a Cesare quel che è di Cesare », riprese Ruche, « e togliere a Pitagora quel che non è di Pitagora. Molto tempo prima di lui, gli egizi e soprattutto i babilonesi avevano scoperto che esisteva un legame tra alcuni gruppi di tre numeri interi, e precisamente quello indicato dal celebre teorema.»
Per non allungare troppo il proprio intervento, si astenne dal precisare che su una tavoletta babilonese, la tavoletta Plimpton 322, così chiamata dal nome dell'archeologo inglese che l'aveva scoperta, uno scriba aveva indicato una quindicina di gruppi di tre numeri interi per i quali valeva la regola che la somma del quadrato di due di essi era uguale al quadrato del terzo.
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