[Matematica nella storia] Il teorema di Pitagora negli Elementi di Euclide

Già abbiamo incontrato Euclide e i suoi Elementi.
Ora vediamo come il grande matematico tratta del Teorema di Pitagora nella sua opera.

Quando Euclide scriveva i suoi Elementi, la proprietà oggi nota come il "teorema di Pitagora" era conosciuta e utilizzata già da moltissimo tempo: Euclide inserì questo teorema all'interno della sua opera, e ne fornì due dimostrazioni.
Per i matematici, dimostrare significa passare da certe premesse (le ipotesi) a una conclusione (la tesi), utilizzando una sequenza di ragionamenti logici.
Vediamo ora quali sono l'ipotesi e la tesi del così detto teorema di Pitagora, e anche quelli di un altro teorema che con il precedente ha una relazione molto importante (tanto da essere chiamato il suo inverso).

Libro I, proposizione 47
Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all'angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l'angolo retto.
Ipotesi: ABC è un triangolo rettangolo, retto in A.
Tesi: Il quadrato costruito sul lato BC è equivalente alla somma di quelli costruiti sui lati AB e AC.

Libro I, proposizione 48
Se in un triangolo il quadrato di uno dei lati è uguale alla somma dei quadrati dei rimanenti due lati del triangolo, l'angolo che è compreso tra i due rimanenti lati del triangolo è retto.
Ipotesi: Il quadrato costruito sul lato BC è equivalente alla somma di quelli costruiti sui lati AB e AC.
Tesi: ABC è un triangolo rettangolo, retto in A.

Avrai certamente notato che l'ipotesi della proposizione 47 corrisponde alla tesi della 48 e l'ipotesi della 48 corrisponde alla tesi della 47.
Non è uno scioglilingua: è ciò che accade ogni volta che siamo in presenza di un teorema e del suo inverso: l'ipotesi e la tesi si scambiano i ruoli!

Nel libro VI degli Elementi, Euclide generalizza il risultato, dimostrando che la proprietà descritta dal teorema di Pitagora continua a valere se, al posto dei quadrati, si costruiscono sui lati del triangolo rettangolo altre figure, a patto che si tratti sempre di figure simili: per ora ricordiamo solo che due figure sono simili quando puoi ottenere una dall'altra semplicemente... facendone una fotocopia ingrandita o rimpicciolita!
Libro VI, proposizione 31
Nei triangoli rettangoli la figura descritta sul lato opposto all'angolo retto è uguale alla somma delle figure simili e similmente descritte sui lati che comprendono l'angolo retto.

Nella figura di sinistra sono stati costruiti degli esagoni regolari, in quella di destra degli ottagoni regolari. In entrambi i casi, la somma delle figure costruite sui cateti è uguale a quella costruita sull'ipotenusa.

Il teorema di Pitagora è una proprietà geometrica talmente famosa che le sono stati dedicati anche numerosi francobolli; puoi vederne due qui riprodotti.

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