Enigmi di aritmetica: Dischi rotti

Ancora da
ESPERIENZA A-AH! - Martin Gardner
un rompicapo davvero carino ... :-)

DISCHI ROTTI

Bob e Helen sono appassionati di rompicapi. Il loro passatempo preferito è escogitare quesiti per mettersi alla prova.


Un giorno Bob a Helen passarono davanti a un negozio di dischi.
Bob: Hai ancora i tuoi dischi di musica country?


Helen: No, ne ho regalato la metà, più la metà di un disco, a Suzy.


Helen: Poi ho regalato la metà di quel che mi era rimasto, più la metà di un disco, a Joe.

Helen: Ora mi è rimasto soltanto un disco, e lo regalerò a te se saprai dirmi quanti dischi di musica country avevo all'inizio.


Bob era sconcertato perché non riusciva a capire a che cosa potesse servire mezzo disco.


All'improvviso gli venne un'idea, e capì che neppure un disco era stato spezzato.
Rispose alla domanda di Helen, e lei gli regalò quell'ultimo disco.
Quale intuizione ebbe Bob?

Suggerimento:

Sì, sì: è un suggerimento!
Chi spiega la soluzione? :-)
Per i ragazzi aggiornerò il post con ulteriori dritte.
[Aggiornamento] Avvio l'attività con i ragazzi.
Ragazzi, per trovare la soluzione al rompicapo rappresentiamo in un primo momento la situazione con degli schemi: un trattino (__) rappresenta un disco, mezzo trattino (_), "la metà" di un disco. Tra virgolette, perché nessun disco è stato rotto!

Riflettiamo sulla situazione finale: a Helen è rimasto 1 solo disco dopo i regali a Suzy e Joe:

Helen dice di aver regalato a Joe la metà di quel che le era rimasto, più la metà di un disco.
(mi raccomando, non facciamoci ingannare da quel "metà di un disco", ripeto, nessun disco spezzato!)
SE dunque ha regalato la metà più un mezzo (1/2), quell'unico disco che le è rimasto rappresenta la metà di quelli che aveva alla quale metà manca un mezzo (1/2):
questa è la metà dei dischi che aveva Helen prima del regalo a Joe.
Quindi, osservate ancora:
ho messo in evidenza la metà e la metà più un mezzo.
Quanti dischi aveva Helen prima di regalare a Joe?
Quanti dischi ha regalato a Joe?
La risposta, sù... è trooppo chiara!:-)

Ora, ripetiamo il ragionamento partendo dal numero di dischi che aveva Helen prima del regalo a Joe e dopo il regalo a Suzy:
dice di avere regalato a Suzy la metà (di quelli che aveva in totale) , più la metà ...
Quindi il numero di dischi dopo il regalo a Suzy, rappresenta la metà del totale, a cui manca un mezzo.
La metà del totale è dunque:

E la metà più un mezzo:

Quanti dischi ha regalato Helen a Suzy?
Quanti dischi aveva in totale inizialmente?

Un'altra riflessione importante è: la metà di qualcosa più un mezzo (1/2) può essere un numero intero!
La metà di quali numeri? .................................

Poligoni scomposti: triangolo

Il problema del Quadrato scomposto può essere esteso a tutti i poligoni regolari.
Consideriamo ad esempio un triangolo equilatero
Esso può essere così suddiviso in 3 quadrilateri congruenti:

Potete stampare, ritagliare i tre pezzi della scomposizione e provare a ricomporre il triangolo.

La scomposizione del triangolo può essere realizzata utilizzando GeoGebra. E' un buon esercizio anche per consolidare (o imparare) l'uso del programma.
Per voi, ragazzi, da scaricare un tutoriale in PDF che vi guida passo a passo nella costruzione.
Per la visualizzazione consiglio di scegliere lo zoom al 75% e di utilizzare le frecce di scorrimento pagine di Adobe Reader.
[L'ho scritto più volte sul blog, per coloro che ancora non avessero GeoGebra: si può scaricare qui.]
Realizzate il vostro geogebra, solo successivamente vi mostrerò il mio!:-)
Ragazzi, so che vi state dando da fare, ecco il "mio Geogebra": triangolo_scomposto.ggb

Quadrato scomposto

Un popolare rompicapo
I quattro quadrilateri dell'immagine
sono quattro parti congruenti nelle quali è stato scomposto un quadrato.
Stampate e ritagliate i quattro pezzi della scomposizione.
Siete capaci di ricomporre il quadrato?
Se avete risolto il problema, siete in grado di formare due quadrati utilizzando gli stessi quattro pezzi?
Da "Esperienza A-Ah!" - Martin Gardner

Il rompicapo di Einstein

Oggi un gioco, ragazzi!
...mah! continuerò a rivolgermi a voi, alunni vacanzieri... Male che vada, è un ragazzi generico, esteso a chi ci legge!:-)
Si tratta di un gioco scelto fra i tantissimi, e interessantissimi, proposti dal sito vbscuola.it
Seguite le seguenti istruzioni per andare a scaricarlo.
1) Dopo aver cliccato sul link (fatelo con il pulsante destro e scegliete "apri in una nuova scheda" per poter tornare qui a leggere le istruzioni di volta in volta), nella home del sito, sulla sinistra, sezione Archivio, clicate su Elenco software, come indicato dalla freccia in figura:

2) apparirà la schermata seguente con l'elenco dei software. Scorrete le pagine cliccando in basso, come indicato dalla freccia, fino ad arrivare alla pag 6:

3) Il nostro gioco, come vedete qui sotto, è il numero 135. Fate clic sulla riga come indicato dalla freccia:

4) Nella pagina successiva, che contiene ancora un elenco di programmi, scegliete la riga indicata dall'immagine e cliccate:

5) apparirà la presentazione del gioco e il pulsante per il download (non pesa tanto, solo circa 200KB, accettabilissimo per le nostre connessioni!)

Cliccate sul nome del file e scegliete tranquillamente Esegui
Visualizzate gli indizi e....
Buon divertimento!
... dopo quanti tentativi siete riusciti a risolvere il rompicapo? :-)