L'aritmetica del pari e del dispari: legge moltiplicativa

Dopo la tabella dell'addizione, abbiamo analizzato la struttura della

Legge moltiplicativa del pari e dispari

Componendo i numeri pari e i numeri dispari con l'operatore della moltiplicazione si ha:
pari * pari = pari
pari * dispari = pari
dispari * pari = pari
dispari * dispari = dispari
Anche in questo caso, meglio riassumere le operazioni sotto forma di tavola in cui i numeri pari vengono indicati con P e i numeri dispari con D:
Osserviamo che quando si moltiplica per un numero dispari il risultato ha lo stesso carattere dell'altro fattore, cioè se l'altro fattore era pari il risultato è pari, se l'altro fattore era dispari il risultato è dispari; è come se il numero dispari per cui moltiplichiamo non avesse alcuna influenza sul carattere del numero per cui viene moltiplicato.
Accade dunque proprio quello che si verifica quando si moltiplica un numero per l'unità: il numero 1 è l'elemento neutro della moltiplicazione, no? Il numero dispari si comporta perciò, nella moltiplicazione del pari e dispari, come il numero 1
E possiamo anche aggiungere che il "pari" si comporta proprio come lo zero (0) nella moltiplicazione: la fa da padrone! Lo zero è l'elemento assorbente, no?

Abbiamo dunque una conferma del fatto che l'aritmetica del pari e dispari ha le stesse proprietà dell'aritmetica dello zero e dell'uno.
La struttura della moltiplicazione del pari e dispari è uguale a quella della "moltiplicazione dello zero e dell'uno".
Ancora sostituendo ai termini "pari" e "dispari" i simboli 0 e 1:
Osservando ancora entrambe le tabelle facciamo un'altra considerazione: affinché il prodotto sia dispari (oppure 1) è necessario che entrambi i fattori siano dispari (oppure 1), negli altri casi il prodotto è pari (oppure zero).
E allora ci viene in mente la tabella del VERO o FALSO combinati con la congiunzione logica "e" o "et" latino, oppure AND, che si indica anche con il simbolo ∧
Affinché un'affermazione sia VERA è necessario che entrambe le affermazioni che la compongono siano VERE.
Es :
il numero 5 è un numero primo (V) e il 5 è un numero dispari (V): è una frase VERA;
il numero 5 è un numero primo (V) e il 5 è un numero pari (F): è una frase FALSA;
il numero 5 è un numero pari (F) e il 5 è un numero primo (V) : è una frase FALSA;
il numero 5 è un numero composto (F) e il 5 è un numero pari (F): è una frase FALSA.
Dunque, ricordiamolo: 1 corrisponde a VERO, zero (0) corrisponde a FALSO.

E infine, anche per la moltiplicazione del pari e dispari abbiamo realizzato in Excel la tavola interattiva.
La formula è venuta abbastanza breve, giusto con la funzione logica E()!
L'immagine del nostro file:
Potete scaricare tab_Pari_Dispari.xls

L'aritmetica del pari e del dispari: legge additiva

Anna Laura ha avuto l'idea di realizzare in Excel le tabelle del Pari e del Dispari trovate sul testo di matematica...
Abbiamo dapprima approfittato per studiare meglio la struttura della legge additiva e di quella moltiplicativa del pari e del dispari, trovando delle analogie con altre strutture.

Legge additiva Pari e Dispari
Componendo i numeri pari e i numeri dispari con l'addizione si ha:
pari + pari = pari
pari + dispari = dispari
dispari + pari = dispari
dispari + dispari = pari
E' di certo più espressivo riassumere le operazioni sotto forma di tavola in cui i numeri pari vengono indicati con P e i numeri dispari con D:
Abbiamo scoperto in questa struttura delle curiosità: le regole della somma del pari e dispari assomigliano molto a certe regole grammaticali che riguardano le proposizioni affermative e negative. Immaginiamo che "pari" corrisponda al "sì", proposizione affermativa, e che "dispari" corrisponda a "no", proposizione negativa.
Seguite questo esempio:
io voglio che tu veda quel film = sì, devi vedere il film;
io voglio che tu non veda quel film = no, non devi vederlo;
io non voglio che tu veda quel film = no, non devi vedere il film;
io non voglio che tu non veda quel film = sì, devi vederlo.
Ci accorgiamo che due proposizioni affermative danno affermazione, che anche due negative affermano, mentre una positiva e una negativa danno negazione.
L'esempio si può schematizzare in una tabella:
Ma abbiamo trovato ancora un'altra analogia: la struttura dell'addizione del pari e dispari è uguale a quella dell'"addizione dello zero e dell'uno"
Sostituendo ai termini "pari" e "dispari" i simboli 0 e 1, come se i "pari" si raccogliessero nello zero, e i "dispari" si raccogliessero nell'uno:
pari--->0
dispari--->1
(sappiamo d'altra parte che i numeri pari sono i numeri che divisi per 2 danno resto 0 e i numeri dispari sono i numeri che divisi per 2 danno resto 1)
La tavola dell'addizione dello zero e dell'uno è la seguente:
Attenzione! Non c'è un errore nell'ultima casella in basso: 1+1 non fa 0 nella nostra aritmetica, ma nell'aritmetica delle "classi resto [0] modulo 2", sì! (noi per il momento abbiamo stabilito soltanto che i simboli 0 e 1 stanno ad indicare, in modo breve, i termini pari e dispari).
Dunque: la struttura dell'addizione dei numeri pari e dei numeri dispari è uguale alla struttura del Sì e del No e a quella dell'addizione dello zero e dell'uno!

Ma, torniamo al lavoro in Excel!
Realizzate queste tabelle, ho proposto ai ragazzi di crearne una che fosse, come dire, interattiva. Si potesse cioè, immettere in tabella degli addendi interi a piacere e osservare il risultato: P o D
Bene! I ragazzi sono stati bravi a proporre l'impostazione della formula da utilizzare.
Ha cominciato Sara: con il SE()
Ma una sola condizione non era sufficiente....: si hanno due addendi.
Ho ricordato loro la funzione E();
quindi hanno cominciato a scrivere, ipotizzando in A2, A3, B1, C1 gli addendi:
=SE(E(A2=...
- ma come facciamo a dire "se A2 è pari?"
Serviva un'altra funzione....
Una funzione che restituisca VERO se il numero è pari, FALSO se non lo è.
Esiste! E' la funzione VAL.PARI()
Analogamente, la funzione VAL.DISPARI() restituisce VERO se il numero è dispari, FALSO se non lo è.
Abbiamo dunque ciò che serve!
Quindi si procede alla costruzione della formula.
Con numerosi e vivaci interventi, nasce questa:
=SE(E(VAL.PARI(A2);VAL.PARI(B1));"P";SE(E(VAL.DISPARI(A2);
VAL.DISPARI(B1));"P";"D"))
Ho fatto notare che la formula si doveva copiare nelle altre celle, quindi .....
Gian Mario (gimmi!) non mi fa finire: i riferimenti!
Già, bisogna utilizzare i riferimenti misti.
Infine ho suggerito che la formula poteva essere accorciata, integrandola con la funzione O(), visto che in due casi poteva aversi il risultato "P".
La formula per la tabella dell'addizione P e D è risultata:

questa la tabella:
Il file da scaricare... sarà pronto per il post successivo!
Dedicato alla moltiplicazione del Pari e Dispari.