Ragazzi (I)
lo so, devo segnalarvi dell’altro ... (ma potete anche trovare da voi: numeri rettangolari da ETICHETTE sulla barra a destra)
Nell’attesa, vedete di farvi ancora qualche partita a colpi di ... calcoli esatti! Stavolta non avrete alcun lupo alle calcagna!
Clic sull’immagine e Maestro Roberto vi spiegherà dove andare e cosa fare!
E sì, eh...
qualcuno ha bisogno di allenamento!
Andate a giocare a lupo e lepre, va’. Potete scegliere la velocità, il numero di cifre delle operazioni, una o due cifre, il tipo di operazione ...
Cliccate su immagine sotto.
Mi dovete riferire poi com’è andata!
Per voi piccoli che state per arrivare,
oltre che con tanti giochi
(oh, dovrò presentarvi il blog e insegnarvi come ... frugarci!),
cominciamo curiosando con le operazioni!
1. Considerate le moltiplicazioni seguenti e osservate che:
3 x 37 = 111 111 è tale che 1+1+1 = 3
6 x 37 = 222 222 è tale che 2+2+2 = 6
9 x 37 = 333 333 è tale che 3+3+3 = 9
Riflettete:
6 = 2 x 3 e il risultato di 6 x 37 è il doppio di 111;
9 = 3 x 3 e allora 9 x 37 sarà uguale al ..................
- Sapete dire, senza eseguire l’operazione, quale sarà il risultato della moltiplicazione 37 x 12 ?
- E di 37 x 15 ?
2. Calcolate:
1 x 9 + 2 =
12 x 9 + 3 =
123 x 9 + 4 =
1234 x 9 + 5 =
Avete capito la legge di formazione di queste addizioni?
Sapreste costruirne un’altra? Sapreste prevedere quale sarà il risultato?
Benvenuti e buon divertimento! :-)
Letizia,
ha lavorato sulle coppie additive nel piano cartesiano.
E anche su quelle moltiplicative…
Ecco le immagini del suo lavoro in Excel.
Coppie additive:
Coppie moltiplicative:
Letizia: come vedi ho aggiunto al tuo grafico una bella linea rossa, che è una vera linea curva. Sul tuo grafico hai una linea spezzata poiché hai quattro coppie di valori, quindi solo quattro punti.
La line rossa aggiunta prende il nome di linea di tendenza. Viene utilizzata proprio per visualizzare la tendenza dei dati di un grafico.
Il tuo grafico non è una linea curva ma tende a una linea curva! Ciò significa che:
aumentando il numero di coppie moltiplicative aumenta il numero di punti che, uniti, formano una linea sempre più curva….!
Osserva l’immagine
Ah, un’ultima cosa !
La curva ottenuta dalle coppie moltiplicative ha un preciso nome. Tutte le curve geometriche hanno dei nomi ben precisi! [ma qui sul blog avete visto o no? :-)]
Più precisamente la nostra curva è solo un ramo di una curva!
Il nome della curva … significa eccesso, esagerazione, amplificazione, ingrandimento …
Insomma provate a scoprire il nome!
Io sono certa che in classe ci arriviamo … :-)
Ragazzi di I,
Se avete voglia di esercitarvi, on line oppure scaricando delle schede di lavoro, nell’esecuzione di espressioni con i numeri naturali e nella risoluzione di problemi(ni),
una segnalazione per voi.
Come vedete in figura, trovate delle pagine guida di teoria, dei test propedeutici, esercizi guidati, esercizi per mettersi alla prova ed anche di …preparazione alla verifica scritta! (Questi sono solo su espressioni e problemi, voi naturalmente ricordate che dovete conoscere la struttura e proprietà in N delle quattro operazioni)
Clic sulla figura
I ragazzi hanno realizzato
le tabelle dell’addizione e della moltiplicazione, mostrando una particolare regolarità.
Qualcuno ha lavorato su Excel, altri sul quaderno, ma hanno commesso degli errori. Da correggere! La regolarità è visualizzata nelle immagini. Letizia spiega anche…
Letizia 
Il file di Letizia si può scaricare Q U I
Gabriele
Q U I il file di Gabri. Ha inserito nei commenti le proprietà della moltiplicazione.
Bene, Letizia e Gabriele!
- Gabri, renditi conto che il fucsia non viene proprio bene nelle immagini! Abbiamo detto: da preferire i colori tenui.
Ragazzi,
Abbiamo visto come le operazioni aritmetiche possono essere rappresentate mediante la composizione di coppie ordinate di numeri, che rappresentano i termini dell’operazione stessa.
Nel caso dell’addizione chiamiamo più precisamente coppie additive le coppie di numeri (addendi) che componiamo secondo un preciso procedimento, per ottenere il risultato (somma).
Con Excel possiamo rappresentare graficamente, sul Piano Cartesiano, le coppie additive dei numeri, per semplicità nell’intervallo da 0 a 10.
Osservate (leggete!) l’immagine del foglio di lavoro
I punti ottenuti nel grafico, si trovano tutti su una stessa retta!
Come dire: coppie di numeri che addizionati danno come risultato sempre il medesimo numero, danno origine ad un grafico che è una retta!
Insomma… l’aritmetica che si sposa con la geometria!
Quello dell’immagine è un foglio di esempio.
Nel file che andrete a scaricare troverete un secondo foglio, Esercizio, dove sceglierete voi il numero di cui rappresentare tutte le coppie additive.
Clic Q U I per scaricare il file Coppie additive nel piano cartesiano.xls
O belli,
che oggi avete lavorato bene con la geometria :-) …
per le prox lezioni di aritmetica, Paperino vi aspetta per esercitarvi!
Clic su immagine, nuovi i primi due esercizi –vedi data!-
Relazionano Letizia e Gabriele.
In questi giorni abbiamo analizzato le caratteristiche delle operazioni nell’insieme N; vuol dire studiare cosa succede quando facciamo delle operazioni usando solo i numeri naturali.
Abbiamo iniziato dall’operazione più elementare: l’addizione.
In questa lezione abbiamo dovuto chiarire bene che procedimento bisogna usare per risolverne una e, per riuscire a spiegarlo come si deve, abbiamo immaginato di insegnarlo a dei bambini che sanno contare ma non conoscono i termini “addizionare”, “sommare” e ”aggiungere”.
In che cosa consiste l’addizione? La risposta è la seguente: l’addizione è quella operazione che ci permette di associare due numeri per arrivare a un terzo; questo è possibile se dal primo numero dato, contiamo tante unità quante me ne chiede il secondo fino ad arrivare alla nostra meta: il risultato. In poche parole l’addizione consiste nel contare per raggiungere il nostro terzo numero, il risultato.
L’operazione interessata ha delle caratteristiche, cinque per la precisione:
• è interna a N; questo perché eseguendo un'operazione con due numeri naturali il risultato sarà sempre un elemento di N. Si può anche dire che N è un insieme chiuso per l' addizione;
• possiede un elemento neutro: lo zero, perché se si trova all’interno dell’addizione sotto forma di addendo, non influenza il risultato (es. 5 + 0 + 3 = 8; 5 + 3 = 8);
• è commutativa, perché cambiando l’ordine degli addendi il risultato non cambia (25 + 34 = 59; 34 + 25 = 59);
• è associativa, perché avendo tre o più addendi posso associare dei numeri fra di loro nella maniera che mi viene più comoda. Uno scopo? Fare i calcoli più velocemente e facilmente.
Una specie di conseguenza della proprietà associativa è la proprietà dissociativa che dice: sostituendo a un addendo due numeri più piccoli la cui somma è pari al primo, il risultato non cambia. Es 15+20=35 : 10+5+20=35.
• operazione diretta, perché per arrivare al risultato vado dritto, come su una retta senza tornare indietro, cosa che non accade con la sottrazione. E poi forse anche perché è l' operazione più semplice che esista, cioè quella che tutti facciamo con facilità anche quando dobbiamo sottrarre; (es. 20 – 2, diciamo subito 18, a mente facciamo 18 + 2!).
Abbiamo imparato che le operazioni si rappresentano anche in un modo un po’ diverso:
( 36 , 64 ) + (freccetta sotto il più) 100 che è: 36 + 64 = 100
Sappiate che la coppia 36 e 64 si chiama coppia ordinata.
Ora sentite questa: la sottrazione possiamo dire che è un diverso modo di rappresentare un'addizione! Cioè l’addizione possiamo scriverla in tre modi diversi!
Esempio: 15 + 5 = 20,
possiamo scrivere: 20 – 5 = 15 o ancora 20 – 15 = 5
Quindi, dato che con l’addizione si va avanti sulla linea dei numeri (dal 15 al 20), e con la sottrazione si fa il contrario, la sottrazione è l’operazione contraria all’addizione perciò è
l’operazione inversa dell’addizione.
Infatti, qual è il procedimento per la sottrazione? Il seguente:
la sottrazione è quell’operazione che ci permette di associare due numeri per arrivare a un terzo: prendo il sottraendo e la differenza, ovvero il risultato, e li sommo fra di loro per ottenere il minuendo.
Letizia e Gabri: non vi siete dilungati troppo sulla sottrazione … ma bravi, va’!:-)
Altra nota: in tanti, Letizia, Gabri, Giovanni, Maria Chiara, …, hanno realizzato con Excel (Bachisio sul quaderno) le tabelle dell’addizione e della sottrazione (altri solo quella dell’addizione!). E però: senza alcun commento! E no, no: lavoro da completare! :-)
Ragazzi,
Nella vostra classe virtuale trovate tre nuovi test:
Calcolo_00, Calcolo_01 e Rette e angoli.
Per il calcolo (in N) suggerisco l’ordine di esecuzione Calcolo_00, Calcolo_01. Fra calcoli e angoli scegliete voi.
Raccomandazione per il test sugli angoli: OSSERVATE ATTENTAMENTE, E RIFLETTETE SUL PRIMO ESERCIZIO! Sono certa che risponderete correttamente. Vi guiderà per le successive risposte!
Attenzione: nella casella della risposta dovete immettere SOLO il numero senza l’unità di misura. Es: 50 e NON 50°
Clic sulla figura
Per i lettori eventualmente interessati, test su Rette e angoli.
Ragazzi,
è arrivato dunque il momento di cominciare a operare in N. Dedicarci alle operazioni aritmetiche. Oh lo so, già sapete fare i calcoli, ci mancherebbe! (ehm … tutti tutti correttamente e con sicurezza? :-))
Occorre tuttavia approfondire un po’ qualche concetto, e… come diciamo noi, acquisire consapevolezze!:-)
Operazione
Il termine è utilizzato in diversi contesti, in diversi campi: operazione chirurgica, operazione bancaria, operazione militare, … e operazioni aritmetiche!
In ogni caso il termine operazione indica l’atto di agire, intervenire su qualcosa, seguendo procedimenti ben precisi per arrivare a un risultato.
Ma cos'è un'operazione aritmetica?
Eseguiamo una piccola operazione: 2 + 3 = 5
Abbiamo operato su due numeri, 2 e 3, con un certo procedimento che ci ha permesso di arrivare a un terzo numero, il 5.
Il procedimento in questo caso è indicato dal simbolo +
Riflessione:
sareste capaci di spiegare il procedimento che dai termini 2 e 3 ci permette di ottenere il risultato 5?
E, no, non potete dire: basta aggiungere, sommare, addizionare a 2 il 3! Dovete spiegare come si aggiunge, si somma, si addiziona.
Immaginate di dover insegnare il procedimento a un vostro fratellino piccolo, che ancora non sa addizionare ma sa contare! Per eseguire l’addizione basta saper contare seppure sulle dita!
Ecco, vi ho aiutato a spiegare il procedimento. Provateci!
Nell’esempio abbiamo usato i numeri 2 e 3, dati in un certo ordine: prima il 2 , dopo il 3.
Anche se verificheremo quando l’ordine è fondamentale e quando no, in generale consideriamo i termini di una operazione nell’ordine in cui vengono dati.
Due numeri dati in un certo ordine, li chiamiamo coppia ordinata di numeri.
Possiamo quindi dire meglio cosa intendiamo per operazione aritmetica.
L'operazione aritmetica è un procedimento che ci permette di associare a due numeri, dati in un certo ordine, un terzo numero che rispetti certe condizioni.
Allora osservate bene, come esempio, un nuovo modo di rappresentare ogni addizione di due addendi ad es. 2 + 3 = 5 :
2 e 3 sono rispettivamente il primo e il secondo addendo dell’addizione (il simbolo dell’operazione è indicato sopra la freccetta) 5 è la somma.
Esercitatevi sul quaderno a rappresentare con coppie ordinate le addizioni:
1 + 5 = 6; 7 + 8 = 15; 12 + 4 = 16; 0 + 5 = 5; 6 + 4 = 10.
Ancora un piccolo esercizio
Al posto dei puntini mettete la somma dovuta:
Naturalmente, tale simbologia si estende a tutte le operazioni. Nel caso della sottrazione il segno sopra la freccetta sarà “-”, nel caso della moltiplicazione sarà “.” (un punto), nel caso della divisione, “:” Esercitatevi a piacere!
Oh, per il momento abbiamo già parlato troppo (faticoso leggere, eh? ma dovete abituarvi!). Andate dunque a scoprire qualcos’altro … su Geogebra!
Clic sull’immagine, ehi attenzione: dovrete lavorare con le coppie ordinate di numeri. Addizioni e sottrazioni! Le indicazioni sulla finestra dell’applet.
Buone scoperte!
Condivido per i colleghi eventualmente interessati, una mia Unità di apprendimento sulle 4 operazioni fondamentali nell'insieme N dei numeri naturali.
Cliccare qui per scaricare il file word.
Qualche immagine in anteprima (clic sulle immagini per ingrandire).
Mappa degli Obiettivi formativi e Obiettivi Specifici di Apprendimento
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