Ragazzi,
(per la III nulla di nuovo ma per la II, sì!)
Letto l’ultimo post di Maestra Rosalba, mi sono divertita a riprodurre una bella animazione segnalata in Rete.
Quante volte è contenuto il diametro nella relativa circonferenza?
Scoprire sull’applet. Clic.
grazie a dhabecker !
Gabriele (II)
ha preparato un bel lavoro con GeoGebra su Pi greco.
Ce ne mostra il calcolo come rapporto C/d e, con una ricerca in rete, ha trovato anche un altro metodo. Che illustra bene sul foglio di lavoro. Gabri spiega anche come creare il testo dinamico per il calcolo C/d .
L’immagine, dal secondo metodo. Clic per aprire l’applet. Naturalmente si può agire sui punti visualizzati per verificare le proprietà.
Bene Gabri!
Ancora pi, π …
non solo rapporto circonferenza/diametro.
Nel XVII secolo π fu liberato dalla sua relazione obbligata con il cerchio. Molte curve furono inventate e studiate (ad esempio vari archi, ipocicloidi, curve cubiche, ecc.) e fu scoperto che le loro aree potevano essere espresse in termini di π . Alla fine π ha oltrepassato i confini della geometria in un colpo solo.
Per esempio, oggi π si collega a molte aree della teoria dei numeri, alla probabilità, ai numeri complessi e alle serie di frazioni semplici come
$\sum_{n=0 }^{∞ } \frac{ (-1)^n }{2n+1 } \,=\, \frac{1 }{1 } - \frac{ 1 }{3} + \frac{ 1 }{ 5} - \frac{ 1 }{ 7} ... \,=\,\frac{ π }{4 }$
[Formula di Leibniz per π]
A titolo di esempio di come π si sia allontanato dalla sua semplice interpretazione geometrica, prendete il libro Budget of Paradoxes, nel quale Augustus De Morgan spiega un’equazione a un agente assicurativo. La formula, che fornisce la probabilità che un particolare gruppo di persone sia vivo dopo un certo numero di giorni, contiene π. L’assicuratore lo interrompe ed esclama: "Mio caro amico, questa dev’essere una delusione. Che cosa c’entra un cerchio con il numero delle persone vive alla fine di un dato tempo?"
Anche più recentemente, π si è presentato in equazioni che descrivono particelle subatomiche, luce e altre quantità che non
hanno una ovvia connessione con i cerchi. John Polkinghorne (fisico dell’Università di Cambridge prima di diventare prete anglicano nel 1982) crede questo indichi un fatto molto profondo circa la natura dell’universo, soprattutto che la nostra mente, che ha "inventato" la matematica, sia conforme alla realtà dell’universo.
Noi siamo in sintonia con la sua verità. (Si veda l’articolo di Sharon Begley "Science Finds God", nel numero del 20 luglio
1998 di Newsweek.)
Da Magia dei numeri - C. Pickover
Connessioni e sequenze …
Una connessione tra π e ℯ
Questa è più che nota:
$1+ℯ^{iπ}\,=\,0$
Ma occupiamoci di una questione molto più affascinante:
la serie di cifre consecutive più lunga entro π che sia stata trovata anche in ℯ.
Finora la serie 71828182 è la più lunga che pare essere stata trovata in entrambe le costanti. Ricordiamo che ℯ (costante di Eulero) è: 2,7182818284590452353602 …
Si è trovata la serie 71828182 sia in ℯ che in π alla posizione 58.990.555 contando dalla prima cifra dopo la virgola decimale (l’iniziale 3 in π non si conta). La serie e le cifre circostanti in π sono le seguenti:
177083426475657484777182818293786843571860331854.
…
Qual è l’importanza di questa sequenza misteriosa ?
6, 28, 241, 11.706, 28.024, 33.789, 1.526.800, ?
Qual è il successivo numero della sequenza? Finora nessun terrestre è mai riuscito a risolvere il problema.
E soprattutto l’enigma iniziale: qual è la serie più lunga di cifre consecutive appartenente a π che si trova anche all’interno di ℯ?
Esploriamo.
Il numero successivo nella bizzarra sequenza 6, 28, 241, 11.706, 28.024, 33.789, 1.526.800, — talvolta conosciuta come la sequenza di Pickover — è 73.154.827.
I numeri contano la posizione della prima comparsa delle cifre iniziali in ℯ entro π . Per esempio, 2 si presenta al 6º posto in 3,1415926. Finora nessuno ha scoperto il successivo numero della sequenza.
| Le prime cifre di ℯ | Posizione in π |
| 2 | 6 |
| 27 | 28 |
| 271 | 241 |
| 2.718 | 11.706 |
| 27.182 | 28.024 |
| 271.828 | 33.789 |
| 2.718.281 | 1.526.800 |
| 27.182.818 | 73.154.827 |
| 271.828.182 | ? |
La serie di cifre consecutive più grande conosciuta in ℯ e anche in
π è 307381323, che in ℯ si trova qui:
2,7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274274663919320030599218174135966290435729003342952605956307381323286279434907632338298807531952510190l15738341879307021540891499348841
La serie si trova anche alla posizione 29.932.919 in π, contando dalla prima cifra dopo la virgola decimale in π. La serie e le
cifre circostanti in π sono
7206490636956830747330738132384589296061161408236
… …
Non finisce qui. Ci sono altre sequenze strane.
Una è la sequenza di Earl.
Prende il nome dal suo ricercatore, Jason Earl. La sequenza cataloga la prima comparsa di n numeri n nell’espansione decimale di π.
Ad esempio, 1 si presenta nella posizione 1 dopo il 3 e la virgola decimale. (Il 3 iniziale non viene contato quando si discutono le posizioni in π.) Un doppio 2, o 22, si presenta alla posizione 135. Un triplo 3, o 333, si presenta alla posizione 1698.
La sequenza cresce in fretta: 1, 135, 1698, 54.525, 24.466, 252.499, 3.346.228, 46.663.520 .... Notate che 999999999, o nove volte 9, non si presenta mai nelle prime 100.000.000 cifre di π. Inoltre Earl ha trovato i più lunghi numeri ondulanti regolarmente in π: 242424242 alla posizione 242.421 e 292929292 alla posizione 69.597.703. (I numeri sono regolarmente ondulanti quando due cifre si alternano.) E una coincidenza che il primo numero ondulante e la sua
posizione abbiano analogie così evidenti?
Il più grande numero di Fibonacci conosciuto, trovato in π è 39088169, localizzato alla posizione 36.978.613.
La più grande serie consecutiva conosciuta di numeri pari che iniziano con 2 — ovvero, 2, 4, 6, 8, 10, che in π può essere rappresentata come 0204060810 — è stata trovata alla
posizione 78.672.424. La serie e le cifre circostanti sono
205961160319196391590204060810756497354798527088
Aiuto, capogiro ….!
Da La matematica di Oz II – C. Pickover
Ragazzi_III,
Continuiamo a parlare di π. Come accennato nel precedente post sul numero π, la sua storia è legata al problema della quadratura del cerchio. Un problema che ha appassionato i matematici fino al 1882, quando il tedesco Ferdinand Lindeman ha dimostrato che era irresolubile.
“Quadrare un cerchio” significa costruire un quadrato di area 
Trovare una soluzione richiederebbe la costruzione del numero $\sqrt{ π }$ (l'area del cerchio è πr², e quindi un quadrato con area πr² deve avere lato pari a $r*\sqrt{ π }$).
Ma π sfugge alla costruzione con riga e compasso! Si dice che π è un numero trascendente.
(Voi conoscete altri numeri irrazionali, per es. $\sqrt{ 2 } \,, \sqrt{ 3 }\,, ...$. Ma mentre si può costruire con riga e compasso un segmento lungo $\sqrt{ 2 }$ o un segmento lungo $\sqrt{ 3 }$ - ricordate la chiocciola delle radici quadrate - , con π non si riesce!)
Le ricerche sul problema risalgono alla più remota antichità. Esso si trova nel Papyrus Rhind (1650 a. C.) attribuito allo scrittore egiziano Ahmes, lo scritto è conservato al British Museum a Londra (ne abbiamo parlato qui).
Seguiamo un po’ di storia di π …
Quali valori i matematici hanno attribuito al numero π nel corso della storia?
I Caldei, vari millenni prima della nostra era: 3.
Gli Ebrei: 3 (Bibbia, Libro dei Re, L, VII, 23).
Nel Papiro Rhind viene data una prima approssimazione del valore; viene indicata come regola di quadratura, senza riportare alcuna dimostrazione, la seguente: "è equivalente a un cerchio quel quadrato che ha per lato gli 8/9 del diametro del cerchio".
Se assumiamo il diametro lungo 1, il lato del quadrato sarà lungo $\frac{ 8 }{ 9}$ e la sua area risulterà $\frac{ 64}{81}$.
Quindi possiamo scrivere:
$π r^2\,=\, \frac{ 64 }{81}$
ma
$r\,=\, \frac{1}{2}$,
quindi
$\frac{ 1 }{4 } π\,=\, \frac{64}{81}$,
da cui
$π\,=\, \frac{ 256 }{81} \,≅\, 3,1605 …$
Il valore di π fu calcolato in modo sistematico da Archimede, il maggiore scienziato della Grecia, vissuto a Siracusa nel 287-212 a. C. (VEDI). Nel trattato Sulla misura del cerchio, partendo dall’esagono regolare inscritto e circoscritto al cerchio, Archimede calcolò i perimetri dei poligoni regolari raddoppiando successivamente i lati. Arrivò così ai poligoni inscritti e circoscritti di 96 lati che danno per π i valori:
3,1414 < π < 3,1417
In tempi molto più recenti, dal 1500 in poi, fu ripreso il problema della determinazione del valore di π, e furono calcolate centinaia di cifre decimali.
Nel 1873, Shanks indicò i primi 707 decimali di π (sbagliati dopo il 527°).
Nel 1956, Ludolph van Ceulen calcolò i primi 35 decimali di π, il che permetterebbe di ottenere il volume di una sfera della dimensione della terra con un’approssimazione di tre miliardesimi di centimetro cubo circa.
L’avvento dei computer ha permesso di spingere i calcoli più lontano. Nel 1958, François Genuys ottenne 1.000 decimali con un computer IBM 704.
Infine, nel 1974, Jean Guilloud calcolò 1.000.000 decimali grazie al computer più potente dell’epoca, un Control Data 7600, in 23 ore e 18 minuti. (J. Guilloud e M. Bouyer, *1.000.000 de decimales de π*, Commissariat à l’Energie atomique, Paris, 1974)
Jean Guilloud è oggi il solo uomo al mondo a sapere quale sia il 1.000.001° decimale di π ! [Jean Pierre Alem - Giochi d'ingegno e divertimenti matematici]
Dunque, ragazzi, vi siete resi conto? Per quanti secoli il problema della quadratura ha travagliato l’umanità prima della sua definitiva sistemazione? Sono circa 4000 anni di lavoro!
Ragazzi (III),
lo ricordate, abbiamo scoperto il numero pi greco (π) empiricamente, misurando circonferenze e diametri e calcolando i rapporti tra queste misure. Naturalmente, e non poteva essere altrimenti, abbiamo ottenuto dei valori approssimati, in qualche caso grossolanamente approssimati, vero?!?
Ancora, vi ho detto che il 14 marzo si celebra il Pi day, la Festa del Pi greco. Iniziativa lanciata dal Museo della Scienza di San Francisco, da qualche anno raccolta anche in Italia con diverse interessanti manifestazioni. Per gli anglosassoni il 14 marzo si scrive 3.14, che sono appunto le prime cifre di π.
π, lettera greca iniziale di περιφερεια, periferia, perimetro, “misura attorno”…, il simbolo per indicare il rapporto tra circonferenza e diametro è stato introdotto nel 1706 dal matematico inglese William Jones nella pubblicazione A New Introduction to Mathematics.
La storia di π è legata a quella del problema della quadratura del cerchio. Su questa storia torneremo…
Prepariamoci anche noi dunque alla Festa (che coincide, lo ricordiamo, con il compleanno di Albert Einstein), cominciando con lo studio di un altro modo per
Calcolare pi greco
Osservate la figura: 
Il lato del quadrato è lungo come il diametro, 2r;
il perimetro del quadrato sarà perciò lungo 8r.
Il perimetro del quadrato risulta certo maggiore della circonferenza. Scriviamo la disuguaglianza:
8r > 2πr
dividiamo i due membri della relazione per 2 r. Si ha:
4 > π
Quindi sappiamo che π è un numero più piccolo di 4. Il diametro è contenuto nella circonferenza meno di 4 volte (proprio come risultava dalle vostre misure…)
Ora vediamo di trovare un valore di π, per difetto. Consideriamo un poligono inscritto nel cerchio 
Il perimetro dell’esagono risulta perciò lungo: 6r.
Questo perimetro è certo minore della circonferenza; quindi:
6r < 2πr
dividendo entrambi i membri per 2r avremo
3 < π
Quindi π è un numero più grande di 3.
π è un numero compreso tra 3 e 4: 3 < π < 4
Ma, come possiamo quantomeno avvicinarci al suo esatto valore ?
Guardiamo questa figura:
Quindi, confrontando la lunghezza del perimetro del dodecagono con quella della circonferenza, avremo un valore più approssimato, per difetto, di π: 3, … < π
Se poi, al posto del quadrato circoscritto, consideriamo un ottagono regolare circoscritto al cerchio,
π viene a trovarsi sempre più rinchiuso fra le molle! E, a mano a mano che consideriamo poligoni con un numero maggiore di lati, le molle si avvicinano sempre più [Emma Castelnuovo, La Matematica/la Geometria].
Si è trovato così che il valore di π approssimato a meno di 1/100 per difetto è
3,14
Ma, ricordatelo, non potete scrivere π = 3,14
perché 3,14 è solo un valore approssimato.
E il valore esatto? Ormai lo sappiamo, non si può ottenere. A questo punto intuiamo il perché:
nessun poligono, inscritto o circoscritto, coinciderà mai con la circonferenza.
Potremo avere però valori approssimati quanto vogliamo aumentando sempre più il numero di lati dei poligoni.
π è un numero decimale illimitato (infinite cifre dopo la virgola), non periodico: π è un numero irrazionale, come è stato dimostrato dal matematico Johann Heinrich Lambert nel 1766..
Per questo i valori delle misure della circonferenza e dell’area di un cerchio sono valori approssimati! Tanto vale, quando possiamo, lasciare indicato il valore π (se r = 5 u, la circonferenza, C = 10π u).
… ah, il Carnevale che si avvicina è quello “della Matematica”. Questo mese dal prof. Popinga : giusto il 14 marzo!
Oggi si celebra il
Dalla bozza di Alessandra... il lavoro elaborato dall'intera classe.
Abbiamo avuto modo di scoprire il pi greco (π), attraverso un’attività pratica.
Avevamo il compito di misurare con un metro morbido da sarta la circonferenza e il diametro di oggetti circolari che potevamo avere in casa. Per es. un piatto grande, uno piccolo e il fondo di un bicchiere.
Ecco i dati:
Piatto grande: C = 78 cm; d = 24 cm
Piatto piccolo: C = 65 cm; d = 21 cm
Fondo del bicchiere: C = 22 cm; d = 6 cm
Dovevamo poi dividere la misura della circonferenza per quella del diametro.
I risultati:
1) 78/24 = 3,25
2) 65/21 = 3,095..
3) 22/6 = 3,666... (periodico)
Questi dati sono stati ottenuti da me (Ale), bisogna ricordarsi che nella misurazione c’è sempre un margine di errore, per vari motivi.
Per praticità di calcolo ho approssimato per difetto o per eccesso al numero intero più vicino le misure della circonferenza e del diametro.
Però, in classe ho scoperto ....
ehmm... non ho proprio fatto bene ad approssimare!
I quozienti ottenuti non erano esatti (erano accettabili... per la parte intera!) non solo per via degli errori di misurazione, ma anche perché i quozienti fra due numeri interi sono dei numeri… razionali! (dovevo saperlo!)
Di π avevamo detto che era un irrazionale.
Altro problema però: già l’anno scorso avevamo scoperto gli irrazionali. Ma come? Non con una divisione ma con l’estrazione di radice quadrata di numeri non quadrati perfetti.
Come si spiega che adesso li otteniamo da una divisione, da un rapporto?
Abbiamo riflettuto molto su questo punto.
Siamo arrivati a delle conclusioni:
- il dividendo e/o il divisore non sono degli interi (infatti!);
- e, stiamo incontrando un numero irrazionale come rapporto.
I ragazzi di III per domani hanno il compito di scoprire, nientedimeno che ... pi greco, π!
Non conoscono ancora questo numero, abbiamo solo accennato al fatto che è un numero irrazionale.
Se è irrazionale, hanno ricordato, deve avere infinite cifre decimali e non può essere scritto sotto forma di frazione. Eh! C'è voluto un pochino di più per ricordare il perché dell'ultima proprietà! E dunque devono ripassare dell'altro... :-)
Nell'attesa del loro post su questo numero, fra i più famosi, pubblico io per loro un bella "storiella".
Ragazzi, dovreste ricordare il signor Ruche e Max, i protagonisti de "Il teorema del pappagallo", lo splendido libro di Denis Guedj. Li abbiamo incontrati diverse volte, per esempio parlando di Pitagora, questo di sicuro lo ricordate!
Bene: il signor Ruche e Max, si trovano al Palais de la Découverte, il museo della scienza e tecnologia di Parigi.
"... 'Sotto una cupola ispirata a uno stile da film cubista, corre la ghirlanda dei settecento decimali calcolati di π, pi greco.'
Erano finalmente arrivati: il tempio di
Tutt'intorno alla base correva una fascia circolare, che riportava i nomi di celebri matematici.
Più in alto, sormontato da una volta sferica illuminata, un fregio a spirale che compiva parecchi giri indicava i primi 707 numeri decimali di
Ipnotizzato da quel fregio numerico, Max posò lo sguardo sul 3 iniziale, saltò la virgola e cominciò: 1415926535, serie rossa, 8979323846, serie nera, 2643383279, serie rossa, 502... accelerò, serie nera, serie rossa.
Primo giro: era tornato sotto il 3 iniziale, serie nera, serie rossa. Corridore dei decimali!
Aumentò ancora la velocità: rosso, nero, rosso, nero, come la roulette.
Come la pallina bianca, i suoi occhi neri saltavano di cifra in cifra: vince, perde!
Aveva le lacrime agli occhi: dov'era Nofutur
Nero, rosso, rosso come la punta delle sue piume. Max girava su se stesso sempre più veloce, la testa gli girava, non aveva mai divorato tante cifre in vita sua.
Quarto giro, quarto giorno dalla scomparsa di Nofutur. Stava per decollare! Aveva il cervello ridotto in pappa e superò in tromba le ultime cifre senza riuscire a fermarsi. Perché fermarsi al decimale numero 707? Continua, continua la giostra interminabile delle cifre!
Quando infine riuscì a fermarsi, staccando gli occhi dal fregio sul quale danzavano ancora i decimali di
Si fece silenzio. Entrò in scena una sorta di conferenziere dall'espressione seria ma sveglia. Esordì subito, senza perdere tempo.
«Nel piano, la retta è la distanza più breve tra due punti. Se vi siete concessi una vacanza e volete raggiungere la vostra meta descrivendo un percorso circolare, sarà più lungo. Ma di quanto?
Sarà 
Max non riusciva a concentrarsi.
«Al-Kàshi, Samarcanda, quattordici decimali, Ludolph van Ceulen, trentacinque decimali, che fece incidere sulla sua tomba...
« A questo punto si entra nell'era delle formule », annunciò il conferenziere, che aveva recuperato il pennarello. « Francois Viète ne elaborò una davvero sbalorditiva, che metteva in gioco un solo numero, il 2. Il meccanismo si basava sulla giustapposizione di radici quadrate. Quella fu la prima formula infinita.» La scrisse lentamente sul tabellone.
Post
Tutti i commenti
