Problemi risolti. Triangoli, trapezi

Ancora qualche problema

da noi risolto.

Sui triangoli: area, somma e rapporto tra grandezze, altezze di un triangolo ...

Con la LIM (utile per la corretta costruzione delle figure):

Con GeoGebra, sul trapezio: area, somma e rapporto tra segmenti

clic sulle immagini per eventualmente ingrandire

Bottom-up e Top-down

Ragazzi, carino questo titolo vero? Io che non so l'inglese, mi sono concessa questa ... diciamo bizzarria! Direte voi: e di che si tratta?
Si tratta di due strategie per risolvere problemi!
Con la vostra parola (mmmh, che illusa!): aver letto (o leggere prima) il post precedente (fate clic!) sulla risoluzione di un problema geometrico,
vi spiego qui questi metodi alternativi. Una volta compresi, potrete scegliere quello a voi più congeniale. Oppure, sarete sempre liberi di utilizzare il "vostro" metodo! Anzi!
Cominciamo con la prima strategia: Bottom-up
Bottom-up è un termine inglese che significa: "dal basso verso l'alto".
Nella risoluzione di un problema il metodo consiste nello studiare attentamente i dati a disposizione, per capire se da questi si possano ricavare le informazioni utili per giungere alla soluzione:
dai dati ai risultati.
Come esempio riprendiamo lo stesso problema del post precedente:
In un trapezio isoscele il lato obliquo è lungo 10 cm, il perimetro 50 cm, e la base maggiore è tripla della minore.
Determina la lunghezza delle due basi.
Si realizza un grafico come quello in figura:

Il grafico è composto da caselle rettangolari e da cerchietti: nelle caselle si mettono i dati numerici (operandi), avendo cura di specificare sempre il significato di ciascun dato. Cioè il valore numerico va accompagnato dalla descrizione del significato. Es: Perimetro: 50 cm (e non: 50 cm, che è? , e tanto meno: 50 ! che sono? patate...?); nei cerchietti si mettono i simboli di operazione (operatori).
Osservate il grafico con attenzione (cliccate sull'immagine per ingrandirla): esso evidenzia il procedimento da usare per la soluzione del problema.
Notare: bisogna specificare inizialmente tutti i dati, anche quelli "impliciti". Per es il dato: n° lati obliqui, è un dato implicito, che nasce dalla conoscenza delle proprietà del poligono in questione.
Per quanto riguarda le due basi, non si ha il dato numerico ma, vi accorgete, è utile specificare l'informazione: B=3xb.
Infine, anche i colori delle caselle sono significativi. Un colore per i dati iniziali, uno per i risultati intermedi e un altro colore per i risultati finali.

Vediamo ora il secondo metodo: Top-down
Top-down significa: "dall'alto verso il basso".
Nella risoluzione di un problema il metodo consiste nel partire dalla fine: ragionando sul risultato richiesto, si ricavano via via le informazioni che servono per ottenerlo:
dai risultati ai dati
Per applicare il metodo bisogna porsi delle domande, in successione:
- quali valori servono per calcolare il risultato finale?
- ho già pronti, conosco questi valori?
- se non li conosco, quali valori servono per calcolarli?
- e così via per fasi successive.
Osservate il grafico (il problema da risolvere è ancora quello sul trapezio):

studiamolo insieme passo a passo:
i risultati richiesti sono: la lunghezza della base maggiore e della base minore del trapezio.
(l'attenta lettura del testo del problema resta indispensabile)
Mi pongo le domande:
1) come posso calcolare la base maggiore?
so che è il triplo della minore, dunque:
- b (base minore) x 3 (controlla sul grafico, così di seguito per ogni domanda e risposta)
2) conosco la base minore? - NO
3) come posso calcolare la base minore?
- dividento per 4 la somma delle due basi, in quanto tale somma è costituita da 4 parti congruenti alla base minore (osserva la parte destra del grafico per capire come ottenere il valore 4: somma parti uguali delle basi).
4) conosco la somma delle due basi? - NO
5) come posso calcolare la somma delle basi?
- sottraendo dal perimetro la somma dei lati obliqui
6) conosco la misura del perimetro? - SI
7) conosco la somma dei lati obliqui? - NO
8) come posso calcolare la somma dei lati obliqui?
- moltiplicando per 2 la misura di ciascun lato obliquo in quanto essi sono congruenti
9) conosco la misura di ciascun lato obliquo? - SI
Posso ritenere di aver concluso: ho impostato tutti i passi necessari per la risoluzione del problema.
Non resta che "risalire" (una salita meno faticosa della discesa!) eseguendo i calcoli indicati e scrivendo i risultati nelle caselle vuote a fianco alle rispettive indicazioni, via via fino al risultato finale.

Problemi!

Il titolo del post è molto significativo!:-)
Si riferisce (ancora una volta) alla risoluzione dei problemi, quelli geometrici, e al fatto che …sono problemi!!!
Ma si, ragazzi, non scoraggiamoci. Lo so, vi vengono difficili, se vi consola, non siete soli… sapete quanto si ripete la "chiave di ricerca" che porta al nostro blog: "come risolvere problemi di geometria" ?
Suu… si può imparare!
Sappiate che saper risolvere un problema fa…crescere! (perciò sono difficili, crescere è faticoso!)
Poi, "risolvere un problema": lo dice la parola stessa. Noi ci serviamo di quelli di geometria, ma impariamo a sapercela cavare nella risoluzione dei problemi che ci si presentano nella vita.
Sì, perché servono per sviluppare molte abilità: saper utilizzare informazioni, saper “mettere insieme” opportunamente le proprietà che si conoscono, saper utilizzare in modo appropriato le operazioni, sviluppare le capacità logiche, saper fare delle scelte, riconoscere dati importanti e/o superflui, riconoscere informazioni "implicite" ecc.. …
E se si è forti in queste capacità, ci si sa "difendere".
Bando alle ciance ora!
Con la speranza di dare un aiuto a voi e ad altri… facciamo un esempio di

risoluzione di un problema geometrico

Attenzione, cercherò di non dare proprio nulla nulla per scontato, mi immedesimo nelle situazioni di chi incontra maggiori difficoltà!
Il testo del problema
In un trapezio isoscele il lato obliquo è lungo 10 cm, il perimetro 50 cm, e la base maggiore è tripla della minore.
Determina la lunghezza delle due basi.

Come cominciare?
Leggo il problema una prima volta. So che è un problema di geometria, e nella risoluzione di questo tipo di problemi, la figura, non aiuta, ma… suggerisce! (presente quando voi suggerite la risposta a un vostro compagno? Gliela date bell'e pronta!)
Per prima cosa dunque disegno la figura di cui tratta il problema.
Dovrei, possibilmente, disegnare la figura in scala, rispettando il rapporto fra le misure delle grandezze fornitemi, per ora possiamo accontentarci di
disegnarla verosimile: devo cioè "guardare in faccia" le misure delle grandezze (sì, perché spesso i numeri si leggono ma non si "pesano", non si fa la stima della "quantità", è vero??) e disegnarla rispettando quanto più possibile il confronto tra le misure delle grandezze date.

Nel nostro problema, si parla di un trapezio isoscele.
Attenzione! Già una preziosissima informazione: non è un trapezio qualsiasi.
Si presentano già "le conoscenze che ho": le proprietà del trapezio isoscele. So che ha i due lati obliqui congruenti.
Per disegnare la figura verosimile, rileggo ancora il testo.
Trovo: "la base maggiore è tripla della minore"
Rifletto: trapezio isoscele, base maggiore tripla della minore….
Se ho il quaderno a quadretti dovrei disegnare abbastanza correttamente:
traccio il segmento che costituirà la base minore (5 quadratini?)

il trapezio è isoscele, quindi le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore sono uguali. Ne tengo conto.
Traccio sotto, a una certa distanza dalla base minore, un segmento ad essa parallelo e conguente. Così:

Comincio a costruire la base maggiore che è tripla della minore: prolungo dunque il secondo segmento, da ciascuno dei suoi estremi, con altri due di lunghezza congruente ad esso, così:

Chiudo la figura (qui completo con qualche indicazione) e indico i vertici con le lettere maiuscole.

Come vedete, in figura, ho anticipato un altro suggerimento: spesso aiuta scrivere sulla figura stessa i dati conosciuti. Ho scritto sui lati obliqui la misura della loro lunghezza.

Passiamo alla seconda, importante fase:
devo tradurre i dati del problema dall'italiano al "matematico", con il codice della matematica.
Ancora rileggo il problema (sì, non vi appaia esagerato, la lettura e rilettura fanno comprendere!),
concentrandomi sui dati che mi sono forniti.
"il lato obliquo è lungo 10 cm"
Traduco osservando la figura: AD = BC = 10 cm

"il perimetro 50 cm"
Traduco: P = 50 cm

"la base maggiore è tripla della minore"
Questa traduzione è più difficile?
Cosa vuol dire triplo?
Sì, 3 volte tanto, preso 3 volte.
In matematica come traduco preso 3 volte?
x 3, vero?
Dunque:
"la base maggiore è tripla della minore"
Traduco: AB = DC x 3,
o anche, se indico con B maiuscola la base maggiore e b minuscola la minore: B = b x 3

Meglio se avrò raccolto i dati in uno schema:
AD = 10 cm
P = 50 cm
B = b x 3
Indico in "matematico" anche le richieste del problema:
"Determina la lunghezza delle due basi"
Traduco: AB = ? e DC = ?

E ora ... il bello!
Qualche volta si tende a impostare subito un calcolo senza troppo …riflettere!
Ma le operazioni aritmetiche hanno un loro significato. Un loro preciso utilizzo!
Un problema non ha un unico procedimento di risoluzione.
Qui ve ne illustro uno. E' facile!

Per aiutarvi nella giusta scelta delle operazioni da utilizzare, vi guido nel modo seguente.

Considerate la richiesta del problema: determina la lunghezza delle due basi del trapezio.
Ponetevi la domanda: le 2 basi costituiscono un totale oppure una parte di un tutto?
Una parte del totale, vero?
E se NON conosco e voglio trovare una parte di un totale, quali sono le operazioni da utilizzare?
Escludo l'addizione e la moltiplicazione, che come risultato danno un "totale".
Rifletto ora sui dati: conosco un "totale"?
Certo, è il perimetro, che è la somma delle misure dei lati (perì = attorno, contorno e metro(n) = misura, misurare)

Però ho l'imbarazzo: ci vorrà la sottrazione oppure la divisione?

Ma… in quali casi si usa la sottrazione, in quali la divisione?
La divisione, sicuramente divide in parti uguali!
Stavolta non ho un totale costituito da parti uguali.
Le parti da trovare sono una parte del perimetro che è costituito da parti disuguali. Non ho mica un quadrato!:-)
Quindi… bèh non mi resta che scegliere la sottrazione!

Ma, ho ancora dubbi: come trovo queste due basi?

Per cominciare ad impostare la soluzione, devo riflettere che:
un problema si risolve, oltre che con le conoscenze in mio possesso, con i dati che ho! (Sembra banale? Ma voi spesso mica ci pensate!)
Quindi: come usarli?
Osservo ancora una volta i dati.
Conosco il perimetro,
conosco la misura di ciascun lato obliquo, ne ho 2 congruenti.
So che la base maggiore è tripla della minore (questo ancora mi sa che non mi aiuta…)
Osservo attentamente la figura…
Devo usare una sottrazione….

Oh! Se dal perimetro sottraggo i due lati obliqui… posso anche provare a cancellarli per un attimo con una barra, se sono alla lavagna cancello proprio con cimosa!
Mi restano le due basi!
Posso decidere di passare all'impostazione della soluzione:
AB e DC = perimetro – i due lati obliqui
Ehmm… traduco:
AB+DC = P – ADx2 (sono uguali i due lati obliqui, no?)
Ora
Sostituisco alle lettere i numeri:
AB+ DC = 50 – 10x2 = 50 – 20 = 30 cm
La somma delle due basi è di 30 cm
E ora?
Come trovarle separatamente?

Ma, non abbiamo detto che la figura suggerisce?
Osserviamola ora puntando la nostra attenzione solo sulle due basi.
Conosco la loro somma.
E, non è una somma fatta di parti uguali?
Quante parti uguali?
Béh.. si che ho capito!
La somma diviso 4
E… devo sempre chiedermi: cosa trovo?
Osservo ancora la figura
Dividendo per 4 il totale delle due basi, trovo la misura di ogni parte.
Una di queste parti cosa costituisce?
La base minore!
Dunque:
DC (oppure b) = somma basi / 4
Uso il simbolo di frazione (sono alle medie!)
In simboli
DC = (AB+DC)/4
Al posto delle lettere i numeri:
DC = 30/4 = 7,5 cm
e, AB?
Ma è il triplo!
AB = DC x 3 = 7,5 x 3 = 22,5 cm
R i s o l t o!!!
Per sicurezza: 22,5 cm + 7,5 cm = 30 cm. OK!
E anche: 22,5+7,5+10+10= 50 cm OK, è il perimetro. E' tutto a posto!