“Racconti” dalla I

Hanno detto i ragazzi di prima:

  noi apriamo il nuovo ... centinaio!

- Bravi!

Ed ecco i vostri lavori.

Cominciamo con Marco D.

A Marco è stato regalato un bel libro di Matematica divertente. Infatti è intitolato proprio Il Matematico si diverte e l’autore è Federico Peiretti.

Il primo capitolo del libro narra di Divertimenti matematici nell’antico Egitto.

In questo periodo parliamo di frazioni, Marco si è quindi soffermato su “Le frazioni nell’antico Egitto”. E vuole raccontare ai compagni:

Le frazioni dell’occhio di Horus

L’ idea di frazione per gli Egizi era molto primitiva, infatti conoscevano soltanto le unità frazionarie. Usavano un geroglifico che significava “parte”, e prendeva il ruolo del numeratore, per esempio 1/5 si scriveva così: , 1/3 così:

L’unica differenza era nella frazione 2/3 , per la quale si usava un simbolo specifico:

All’origine delle frazioni dell’antico Egitto c’è una leggenda. La leggenda narra che Horus figlio di Osiride e Iside, volle vendicarsi contro Seth il quale uccise il padre. Nella lotta Horus perse un occhio nel Nilo. Toth, il dio della giustizia, lo raccolse e lo ricompose.

L’ occhio di Horus per gli Egizi ha un significato magico-religioso, lo usavano per siglare i documenti, e le sue parti assunsero un significato molto importante. Vennero adottate come frazioni dell’unità di misura della quantità di cereali, grano, orzo che veniva assegnata ad ogni famiglia. Ecco l’immagine dell’occhio:

Se sommiamo tutte le frazioni otteniamo 63/64, quindi manca 1/64 per arrivare all’intero. Si narra che Toth non riuscì a ritrovare la parte, ma la ricreò e la donò a Horus perché potesse completare il suo occhio divino.

Gli egizi come abbiamo detto prima, usavano soltanto le unità frazionarie ogni altra frazione era composta da unità frazionarie.

Un esempio l’abbiamo nel papiro di Rhind dove viene riportata una tabella di scomposizione di 2/n e di n/10 in unità frazionarie. Ad esempio:

9/10 = 1/30+1/5+2/3 [il libro riporta così ma, Marco, anche: 1/2 + 1/3 + 1/15, che sono tutte unità frazionarie]

2/7 = 1/28+1/4

Ora, ragazzi, provate voi a scomporre in unità frazionarie (vi aiuto):

2/5 = ...  + ...

3/4 = ... + ...

5/7 = ... + ... + ...

E ancora un aiuto: ricordate la proposta di soluzione del problema della suddivisione dei 3 appezzamenti di terreno fra 4 figli .... ?  Qualcuno di voi ha detto: divido due terreni a metà e ne do una parte a ciascun figlio, l’altro terreno .... Ecco: avremmo usato le frazioni egiziane!

  - E ora, torniamo ai tempi moderni con ... Geogebra!

Davì ha costruito correttamente il rombo. Tanto che, orgogliosamente lo chiama rombo indeformabile. Clic su immagine, dal file di Davì, per vederlo.

Beatrice invece mi ha detto di essere andata a curiosare sul blog del prof Daniele e di aver visto un’altra dimostrazione dell’area del trapezio. [ecco che mi combinano i miei ragazzi, prima di cliccare sui link del nostro blog .... Scherzo. Al contrario, mi fa piacere che vadano ad esplorare in rete!]

Ed ecco che Bea dice e fa:

Dimostrazione dell'area del trapezio

Sappiamo che la caratteristica principale del trapezio è di avere 2 lati paralleli (B (base maggiore), b (base minore)).

Gli altri 2 sono i lati obliqui, non paralleli.

La distanza fra le 2 basi si chiama altezza (h).

Trasformando il trapezio mediante l'equiscomposizione/composizione in un triangolo, cioè unendo la base minore a quella maggiore e unendo i loro vertici,

Clic su figura - Mi accorgo ora che Bea scrive nel foglio di lavoro: Muovendo i vertici l'area e i segmenti CD e BE non cambiano! Io so che intendeva, e ne era felice, che la costruzione non si deforma, conserva le proprietà.

ci trasportiamo automaticamente un triangolo ottusangolo con un lato uguale alla base minore del trapezio (in poche parole lo abbiamo “tagliato”dal trapezio e aggiunto alla base maggiore) notiamo che le due figure ABDC e ACE sono equivalenti.

Possiamo dire allora che l'area del trapezio è (B+b)*h/2, e che è equivalente a quella del triangolo che ha per base la somma delle basi del trapezio e come altezza la stessa altezza del trapezio.

(Prof, ma i triangoli si trovano in ogni figura!! – mi scrive Bea. Già, ne abbiamo poi parlato ...)

Bea, ragazzi, come vi ho detto, dobbiamo però dimostrare che il triangolo trasportato automaticamente, “tagliato”dal trapezio è equivalente al triangolo FBE. Ma prima dobbiamo scoprire altre proprietà sulle rette che si incontrano ...

Ragazzi: lode anche a voi!

Area parallelogramma e area trapezio

In arretrato la pubblicazione

dei lavori dei ragazzi della prima.

Davì e Stefano hanno dimostrato, con GeoGebra, la formula per il calcolo dell’area del parallelogramma. Clic su immagine

e del trapezio. Clic

Per l'area del trapezio, ragazzi, vi segnalo questa:

Area del trapezio con geogebra

c’è un’altra dimostrazione!

PS: questo è il nostro 899esimo post. Per il post n° 900 voglio un bel lavoro, a scelta, costruito perfettamente!  

Ma anche un articolo, non necessariamente con costruzione.

- Rivolto alle due classi, I e II. Lodi, lodi (un 10 e lode?) a quella che per prima ... produrrà!

Area trapezio

Maria Chiara (II),

riproduce con Geogebra (e commenta), il lavoro per il calcolo dell’area del trapezio.

Se osserviamo le aree del trapezio ADCB e del triangolo APD, notiamo che sono uguali perché il triangolo DMC, porzione del trapezio è congruente al triangolo BPM del triangolo (APD).

I due triangoli sono uguali per il secondo criterio di
congruenza che dice:

se due triangoli hanno rispettivamente uguali due angoli e il lato tra essi compreso, allora i due triangoli sono uguali.

Gli angoli in M sono uguali perché sono opposti al vertice, mentre l’angolo C e l’angolo PBM sono uguali in quanto sono
alterni interni (formati da rette parallele tagliate da una trasversale); CM e MB sono uguali perché M è il punto medio del segmento CB.

Bene Maria Chia’!

Area del trapezio con geogebra

Ragazzi, non abbiamo ancora "scoperto" come si calcola l'area del trapezio. Vediamo di farlo ora, con l'aiuto di geogebra. Questa dunque è una lezione che, ovviamente, conduciamo insieme!
Nell'applet di geogebra che andrete ad aprire, avete la possibilità di attivare l'animazione cliccando sul pulsante Play in basso a sinistra. Consiglierei tuttavia di agire manualmente sul punto dello slider o (numero o), per seguire meglio l'avanzamento della costruzione.
Dunque:
il trapezio sappiamo è un quadrilatero con due lati paralleli e gli altri due non necessariamente uguali né necessariamente paralleli. La caratteristica del trapezio è quella di avere due lati paralleli.

i lati paralleli sono le basi del trapezio, qui indicate con b e b'
la distanza fra le due basi è l'altezza del trapezio, indicata con h

Ora cliccate sulla figura ma aprite in una nuova scheda, perché dovrete seguire quanto diciamo qui e rispondere alle domande ...
Dobbiamo trovare la formula dell'area del trapezio.
Non dovremmo smentirci: dovrebbe derivare anch'essa da quella del rettangolo ...
Possiamo però ricondurla a quella di un'altra figura che già conosciamo, per esempio a quella del triangolo oppure a quella del parallelogramma. Il calcolo dell'area di questi deriva da quello dell'area del rettangolo, no? (siete d'accordo sul fatto che non ci smentiamo??)
In questo lavoro decidiamo di ricondurre il trapezio, cioè trasformarlo in un triangolo, mediante la solita equiscomposizione/composizione.
Seguite passo a passo sul foglio di lavoro di geogebra l'avanzamento dello slider e rispondete:
- quando il numero o = 1, cosa succede sul lato AB del trapezio? Lo abbiamo ...... .
- per o = 2? Abbiamo costruito sul ...... di AB, un ...... .
Il segmento BF ha una lunghezza pari a quella di ... cioè della ... ... del trapezio.
- cosa succede per o = 3? quali due vertici risultano uniti?
- portate o sul valore 4 e osservate attentamente: si "stacca" un pezzo di trapezio!
- spostate o al valore 5: ops, riattacchiamo il "pezzo staccato" prima! Ma, sarà proprio "quello staccato prima"? Dobbiamo verificarlo!
Ora vediamo di parlare in termini più matematici.
Lo avete già visto sul foglio di lavoro, sono comparsi anche i valori delle aree, abbiamo trasformato il trapezio ABCD nel triangolo ADF.

I valori dell'area del trapezio e di quella del triangolo (calcolati da geogebra, si possono anche modificare le dimensioni e la posizione del trapezio muovendo i punti A e B, liberi e C e D, semiliberi) sono esattamente uguali.
Evidentemente il triangolo DCG, prima staccatosi dal trapezio, è congruente al triangolo GBF, riunitosi a formare il triangolo ADF.
Qui vi voglio: perché DCG è conguente a GBF?
Ma sii, già me le vedo le mani sollevate! Eppoi... c'è il nostro pezzo forte! :-)
Osservate:
b'' (lato BF) e b' (lato DC) sono segmenti tra loro ... ;
sono anche segmenti di due rette .... ?
Queste due rette sono tagliate da ... ..., no?? Attenti da due ... !
Consideratele una per volta. Osservate prima la coppia di angoli:
$F\widehat{B}G$ e $D\widehat{C}G$
essi sono angoli ... ... ; come sono tra loro?
E la coppia di angoli:
$G\widehat{F}B$ e $G\widehat{D}C$
sono anch'essi ... ... e sono tra loro ... .
Quindi i due triangoli DCG eGBF hanno un lato congruente e gli angoli ad esso adiacenti .... (oppure il lato congruente è compreso fra due angoli ...).
Essi sono perciò, per uno dei principi di congruenza fra triangoli, tra loro congruenti!
E in definitiva, siamo certi che il nostro trapezio ABCD è equivalente (stessa area) al triangolo ADF !
Tanto vale ... calcolare l'area del triangolo!
Insomma...
Vediamo di arrivare alla formula che cerchiamo: A_trapezio.
La formula dell'area di un triangolo è, sappiamo:
$A = \frac{ b * h }{ 2}$
Cerchiamo di scrivere la formula dell'area del nostro triangolo ADF
La sua base AF è costituita dai segmenti AB che è la ... ... del trapezio e BF che, come già detto, è la ... ... del trapezio.
L'altezza del triangolo è la stessa altezza del trapezio.
Dunque, utilizzando per l'area del triangolo ADF gli elementi del trapezio, dovremmo scriverla:
$A = \frac{ (... + ...) * h }{ 2}$
E no, completate voi! :-)
Ma... abbiamo finito! Quella che avete completato è la formula dell'area del trapezio!
E, generalizzando, diremo che:
un trapezio è equivalente ad un triangolo che ha per base la ... delle ... del trapezio e per altezza la stessa altezza del trapezio.
PS: ce la faremo a "raccontare" ai lettori com'è andata? :-)