Minimo comune multiplo mediante un’operazione tra insiemi

Ragazzi,

Possiamo calcolare, e visualizzare con i diagrammi di Eulero-Venn, il più piccolo dei multipli comuni a due o più numeri (mcm), ricorrendo ad una delle operazioni fra insiemi che noi conosciamo.

- Suggerisco perciò, in primo luogo un ripasso, una rivisitazione delle operazioni con gli insiemi: operazioni con insiemi_1 e operazioni con insiemi_2

- Comincerei perfino a fare qualche ipotesi su quale operazione insiemistica restituisca il mcm fra due o più numeri! Ricordate: cerco un multiplo, il più piccolo dei multipli comuni, gli elementi di un insieme vanno indicati una sola volta...

- Clic quindi sull’immagine_titolo qui sotto per aprire e lavorare sull’applet geogebra

Se occorre: scaricate il .ggb

Lavorate bene!

Il prodotto cartesiano

Nel nostra discussione sugli insiemi, al momento è un fuori programma …

ma Gabriele, che ha frugato sul file del prof. Popinga, dice di non aver compreso bene e ne vuol sapere di più.

Io dico wow! :-) Saranno curiosi anche gli altri? ?

Partiamo dall’osservazione.

Una tabella a doppia entrata:

Un grafico di Eulero-Venn:

Un grafo ad albero:

Secondo me avete già capito… 

ma parliamone!

Cominciamo con la tabella a doppia entrata (le conoscete: tabella Orario delle lezioni, tabelle delle operazioni, tabella del Pari e Dispari, tabella del V e F , dello 0 (zero) e dell’1 …).

In ogni situazione in cui si costruisce una tabella a doppia entrata si esegue un’operazione su due insiemi A e B, i cui elementi sono disposti rispettivamente nella colonna e nella riga che intestano la tabella.

Questa operazione si indica:  A x B (si legge A prodotto B) e si chiama prodotto cartesiano

E’ un po’ diversa dalle altre operazioni tra insiemi.

Gli elementi dell’insieme  “A x B” non sono singoli ma coppie ordinate.

Attenzione: ordinate. Le coppie ordinate hanno:

come primo elemento un elemento dell’insieme A

come secondo elemento un elemento dell’insieme B

Perciò il prodotto  A x B  è diverso da B x A: non vale la proprietà commutativa!

Se guardate ancora le immagini troverete tutte le coppie ordinate dell’insieme “A x B” : sono tutte le possibili coppie, ogni elemento del primo insieme (A) è associato con ciascuno degli elementi del secondo insieme (B)

Vediamo ancora un esempio:

Il prodotto cartesiano prende il nome dal filosofo e matematico francese Cartesio, vissuto nel 1600.
René Descartes, il suo vero nome (italianizzato Cartesio) ebbe l'idea di un sistema di riferimento con il quale riuscì a unire il mondo dei numeri con quello delle figure geometriche.

E proprio il sistema di riferimento cartesiano è il più famoso esempio di prodotto cartesiano. Osservate:

Tutti i punti (verdi) del piano sono individuati, quindi è ben fissata la loro posizione, da una coppia ordinata di numeri (x ∈A e y ∈ B)

Ehi, provate voi su GeoGebra! Visualizza Assi e Griglia e per i punti Visualizza Valore.

E ora potete anche esercitarvi con il file Operazioni con gli Insiemi del prof. Popinga! Che… a maggior ragione ora ringraziamo! :-)

Intersezione e Unione in Excel

Ragazzi,

vi ricordo il file Excel da scaricare per esercitarvi sulle operazioni di Intersezione e Unione tra insiemi. Ecco due immagini, leggete le indicazioni nei Commenti nella cella. Clic sulla prima immagine per scaricare

E abbiamo ancora un altro file Excel, un regalo del prof. Popinga: Operazioni con gli Insiemi.xls, che oltre alle operazioni di Intersezione e Unione contiene Differenza complementare e Differenza simmetrica, e prodotto cartesiano. Per scaricarlo clic QUI

Per voi ragazzi ho preparato una versione semplificata: ho solo nascosto le righe in più… e un foglio di lavoro. Ecco un’immagine, clic per scaricare questa versione.

grazie, prof. Popinga :) 

Ricerca M.C.D. ma con numeri grandi!

Seguendo la medesima successione delle lezioni sul mcm.....
Adriano, Gimmi, AnnaLaura e Saverio, descrivono la
ricerca del MCD quando non è possibile il calcolo mentale.

La lezione è iniziata sempre costruttivamente [qui parla il "sempre saggio" Saverio!:-)].
La prof ha ripreso, alla lavagna, i numeri 75 e 125 già considerati per la ricerca del mcm.
Ecco: lei voleva fare la prova se ricordavamo i loro fattori senza effettuare la scomposizione in fattori primi!
Noi lo ricordavamo [quasi!]: 75 ha come fattori: 3*5^2, mentre 125 ha: 5^3.
La prof ha approfittato però per dirci: è semplice, pensate: 75 è 25 preso 3 volte, dunque è uguale a 3*5^2.
Poi: 125: béh su, 25 preso 5 volte! E' 25*5, cioè 125=5^3
Dunque, dovevamo ancora servirci della scomposizione in fattori primi.
Abbiamo raccolto ordinatamente i fattori:
75 _= 3 x 5^2
125 = _ x 5^3
(notare: lasciato vuoto il posto del fattore che 125 non ha)
Allora io ho detto la mia [lascio sempre il Saverio, che sa assumersi le proprie responsabilità!]:
per trovare il MCD si devono prendere: 3 e 5^2
La prof ha dato la parola agli altri e.... ci siamo dichiarati d'accordo con Saverio!
Quindi la domanda: cosa stiamo cercando?
- Un divisore, prof!
- Ottima risposta! [ché già hanno "focalizzato" qualcosa...]. Un numero che deve essere contenuto, vero? E che divisore?
- Un divisore comune!
- OOH! Comune eh???
Allora noi ci siamo rimessi in carreggiata e abbiamo detto che si deve prendere solo il 5^2!
La prof ci ha fatto notare che il nostro errore era dovuto al fatto di non aver dato importanza alla parola COMUNE. E ha detto che spesso accade ai ragazzi di non "dare importanza" alle parole! Cioè non è che non si sappia il significato, solo che "non ci si pensa", non si da importanza!
Per fissare meglio la prof ci ha detto che come per la ricerca del mcm i fattori si scelgono in modo da accontentare tutti e due i numeri, così per il MCD non ci devono essere fattori estranei ad alcuno dei due numeri, quindi: solo i fattori comuni ai due numeri. E, se i numeri sono più di due, vale la stessa regola!
In conclusione: MCD(75;125)=5^2=25
Non si può prendere 5^3! uno dei 5 del 125 NON è contenuto nel 75!
In questa lezione non abbiamo solo imparato come si calcola il M.C.D. ma anche a prendere coscienza delle parole [questa è di Anna Laura! ...ma mi diventano tutti saggi? :-)]

Ragazzi, una integrazione alla ricerca del mcm e del MCD:
Ricordate le operazioni con gli Insiemi? Insieme Unione, Insieme Intersezione?
Bisognerebbe rivedere questi post: Operazioni con gli insiemi 1 e Operazioni con gli insiemi 2, oppure controllare sui vostri quaderni di appunti!
Dovreste provare a pensare: posso utilizzare le operazioni con gli insiemi per la ricerca del m.c.m. e del M.C.D. ?
Se considerate come insiemi quello dei divisori e quello dei multipli di due numeri,
non vi pare ci sia una relazione tra "elementi comuni a due insiemi". Operazione di ... ? e "divisori comuni a due numeri" ? Oppure fra "elementi appartenenti a almeno uno degli insiemi". Operazione di ... ? e "multipli comuni a due numeri" ?
Cominciate a rivedere le due operazioni con gli insiemi. In classe esamineremo le possibilità del loro utilizzo per comprendere ancora più a fondo il mcm e il MCD.
Sul primo post trovate anche un link per scaricare il file: operazioni con insiemi.xls (se doveste avere dei problemi per scaricare il file, cliccate sulla sidebar a destra: Ultimi lavori da scaricare, Cartella materiali. Vi trovate il file operaz.insiemi.xls)

Operazioni con gli insiemi 2

Ragazzi,

Parliamo ora dell'operazione di

unione fra insiemi

Consideriamo ancora due insiemi A e B.

Per elencazione: A={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} e B={2; 4; 6; 8; 10}

Mediante il diagramma di Eulero-Venn

Per caratteristica, cioè individuando la proprietà comune a tutti gli elementi.
L'insieme A costituito dai numeri naturali, zero escluso, minori di 8.
In simboli: A={x/x è un numero naturale maggiore di zero e minore di 8} – sapete già come si legge: A è l'insieme formato dagli elementi x tali che (la sbarretta"/") x è un numero naturale maggiore di zero e minore di 8.
L'insieme B costituito dai numeri pari minori o uguali a 10.
In simboli: B={x/x è un numero pari minore o uguale a 10} - che leggiamo: B è l'insieme formato dagli elementi x tali che x è un numero pari minore o uguale a 10

Dati questi due insiemi possiamo costruirne un terzo, prendendo tutti gli elementi che appartengono almeno a uno dei due insiemi.

Per elencazione otteniamo in questo caso l'insieme C={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 10}

Gli elementi dell'insieme C compaiono almeno in uno dei due insiemi A e B.

Sono certa che volete fare qualche osservazione!

Eh sì, gli elementi presenti sia in A sia in B vanno inseriti nell'insieme C una sola volta!

Lo sapevamo no? Per quanto riguarda un insieme ci interessa solamente sapere se un certo elemento appartiene o non appartiene all'insieme.

Abbiamo eseguito l'operazione di unione fra i due insiemi.

L'insieme C è l'insieme unione

L'operazione di unione si indica con il simbolo

Scriveremo:

e leggeremo: insieme C uguale A unione B

L'unione di due insiemi A e B è l'insieme di tutti gli elementi che appartengono ad A o a B o a entrambi.


E la rappresentazione grafica dell'insieme unione mediante il diagramma di Venn?

A questo punto penso non troviate grosse difficoltà!

Soffermiamoci tuttavia su qualche particolare.

Possono presentarsi tre casi

1) Gli insiemi hanno elementi comuni.

Il diagramma di Venn per l'insieme unione sarà:

2) Un insieme è sottoinsieme dell'altro.

L'insieme unione sarà così rappresentato:

3) I due insiemi sono disgiunti.

La rappresentazione sarà:

E ancora, in che modo l'insieme unione può essere definito per caratteristica?

Sappiamo che:
gli elementi dell'insieme unione devono appartenere o ad A o a B oppure ad entrambi.
La caratteristica dell'insieme unione sarà perciò almeno una delle due caratteristiche degli insiemi A e B.
Nel nostro esempio: gli elementi dell'insieme A unione B "sono ………" o "sono ………….."

In simboli:



E' la congiunzione "o" che connette (lega) le due caratteristiche, le due proprietà.

Anche la congiunzione "o" è uno dei connettivi logici.

ciao:-)

Operazioni con gli insiemi 1

Cari ragazzi della ex-I A,

abbiamo parlato delle operazioni con gli insiemi e, ricorderete, vi avevo mostrato un lavoro in Excel, ancora in costruzione.
Ho completato quel lavoro e voglio ora condividerlo sul nostro blog.

Dobbiamo presentare ai compagni della nuova I A le due operazioni con gli insiemi: intersezione e unione fra insiemi. Naturalmente, facciamo in modo da ... non dirgli proprio tutto. Se no, che gusto c'è, non è così? :-)

Ipotizziamo dunque la nostra lezione (questa sarà naturalmente preceduta dalla presentazione della teoria degli insiemi, dalla simbologia propria....), e parliamo dapprima della

operazione di intersezione

Con gli insiemi, come con i numeri, è possibile eseguire delle operazioni. Possono cioè essere combinati fra di loro, per formare altri insiemi, così come combinando fra loro i numeri mediante operazioni, per es l'addizione o la moltiplicazione, otteniamo altri numeri.

Consideriamo due insiemi, A e B

Per elencazione: A ={a; e; i; o; u} e B={a; u; b; c; s}

Mediante il diagramma di Eulero-Venn

Per caratteristica, cioè individuando la proprietà comune a tutti gli elementi:
L'insieme A costituito dalle vocali dell'alfabeto italiano. In simboli:
A={x/x è una vocale dell'alfabeto italiano} - che si legge: A è l'insieme formato dagli elementi x tali che (la sbarretta"/") x è una vocale dell'alfabeto italiano.
L'insieme B costituito da elementi che sono lettere dell'alfabeto italiano. In simboli:
B={x/x è una lettera dell'alfabeto italiano} - che leggiamo: B è l'insieme formato dagli elementi x tali che x è una lettera dell'alfabeto italiano.

Dati questi due insiemi possiamo costruirne un terzo, prendendo i loro elementi comuni.

Per elencazione otteniamo in questo caso l'insieme C={a; u}

Come possiamo rappresentare l'insieme C, graficamente, mediante il diagramma di Venn?
Oh forse è ancora presto...
Devo dirvi che abbiamo in questo modo eseguito l'operazione di intersezione fra i due insiemi.
Come per le operazioni con i numeri, anche per quelle con gli insiemi si usano dei simboli specifici.
L'intersezione si indica con il simbolo
Scriveremo:

e leggeremo: insieme C uguale A intersezione B

L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme degli elementi che appartengono sia ad A sia a B.

Nel nostro esempio, abbiamo l'insieme intersezione

Ora è più facile rispondere alla domanda sulla rappresentazione grafica.
Formulo ancora più chiaramente la domanda: come possiamo rappresentare graficamente l'operazione di intersezione? (già vi vedo... tante mani alzate e... "posso venire alla lavagna?")

Ma, per i più riservati oppure ... un po' distratti :-) : fate attenzione al termine "intersezione". Viene da intersecare che è una parola composta e a sua volta deriva dal latino "inter" che vuol dire "fra" e da "secare" che significa "tagliare". Dunque: tagliare fra loro (i diagrammi degli insiemi...).

Ma siii, ora è chiaro ... !

Può succedere che gli insiemi A e B non abbiano elementi comuni. In questo caso, come sarà l'insieme interzezione?
Ma sì, lo sapete...
Sarà un insieme privo di elementi! E, l'insieme privo di elementi ha un nome...
E no, mica lo dico io! Posso ricordarvi al più che ... ha pure un simbolo! (ehi? mani alzate mi raccomando ... tutti devono avere la possibilità di rispondere).

Aggiungiamo che quando gli insiemi A e B non hanno elementi comuni, cioè sono tali che la loro intersezione è un insieme [...], vengono detti insiemi disgiunti.

Dobbiamo ancora vedere in che modo l'insieme intersezione fra A ={a; e; i; o; u} e B={a; u; b; c; s} può essere definito per caratteristica.

Già! In che modo???

Sappiamo che:
gli elementi dell'insieme intersezione devono essere comuni ad A e B;
devono appartenere sia ad A sia a B.
Ciò significa che devono possedere contemporaneamente le caratteristiche dell'insieme A e di quello B!
Dunque, dobbiamo costruire la frase che esprime la caratteristica di avere ...due caratteristiche!
Sù, facciamolo: gli elementi dell'insieme A intersezione B "sono .............." e "sono ...................."
E' la congiunzione "e" che connette (lega) le due caratteristiche, le due proprietà.

Un piccolo approfondimento
La congiunzione "e" è uno dei connettivi logici, a cui dedicheremo delle altre lezioni.
Per il momento accontentiamoci di sapere che la logica studia le proposizioni (le frasi) espresse in una forma tale da poter dire in maniera inequivocabile se esse sono VERE oppure FALSE. Non sono considerate dalla logica frasi del tipo: "domani sarò a Roma". E' una frase probabile! Oppure: "come stai?" E' una frase interrogativa. O ancora: "per favore, portami il libro". Esprime una richiesta. Di queste frasi non si può dire se siano VERE oppure FALSE.

Per il momento è tutto, al prox post per l'unione tra insiemi!

QUI potete scaricare il file .xls sulle operazioni con insiemi. Per qualsiasi richiesta o segnalazione potete scrivere un commento. Grazie!

ciao :-)