Il cristallo Omega

Ancora C. Pickover ... !
Il cristallo Omega
" Il dottor Oz indica un affascinante insieme di scatole di grandezze a decrescere. "Dorothy, questo è il cristallo Omega" (la figura è mia. Con GeoGebra!)

Il cristallo Omega

Dorothy si avvicina di qualche passo al cristallo Omega. "Notevole!", afferma mentre esamina la struttura. Le scatole piccole sono così minute che ci vorrebbe un microscopio per vederle. "Se solo avessi una lente d'ingrandimento."
"Non importa. Voglio chiederti altro sulle scatole. I lati decrescono in un'interessante successione." Il dottor Oz tira fuori pezzo di carta con la seguente successione:

$1+ \frac{ 1 }{ \sqrt{ 2 } } + \frac{ 1 }{ \sqrt{ 3 } } + \frac{ 1 }{ \sqrt{ 4 } }+ \frac{ 1 }{ \sqrt{ 5} } + \frac{ 1 }{ \sqrt{ 6} } + ... + \frac{ 1 }{ \sqrt{ n } }+ ... $

E consegna a Dorothy la carta. "Il bordo della prima scatola in alto è lungo un piede. La scatola successiva ha un bordo lungo un piede diviso per la radice quadrata di due, e quella successiva ancora ha un bordo lungo un piede diviso per la radice quadrata di tre, e così via. Questa serie diverge, o diventa sempre più grande, il che significa che il cristallo Omega è una struttura di lunghezza infinita! Se vuoi dipingere le faccette di un cristallo Omega, hai bisogno di una quantità di pittura infinita."
Alcuni dignitari - originari della costellazione di Vergine - in visita sulla Terra si avvicinano al dottor Oz e a Dorothy. L'addome e il torace dei dignitari trasuda un fluido che profuma come rose in una tiepida mattinata primaverile.
Il dottor Oz accenna un inchino e poi continua. "Fatto stupefacente, anche se la lunghezza è infinita, il volume del cristallo Omega è finito! Qual è il volume? Se capace di rispondermi entro due settimane, ti darò come premio il cristallo Omega, oggetto di grande valore. In caso contrario, lo farò a pezzi, il che susciterà una guerra transgalattica di proporzioni inimmaginabili."
Uno dei dignitari geme e quindi evapora.
Dorothy si volta verso il dottor Oz e chiede, "Dici sul serio?"
"Non proprio." Sussurra il dottor Oz. Ma mi piace usare un linguaggio altisonante per impressionare i nostri ospiti. Ma adesso, al lavoro!"

I volumi dei cubi che formano il cristallo Omega sono parte di questa serie:

$1+ \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{ 2 } } + \frac{ 1 }{ 3 \sqrt{ 3 } } + \frac{ 1 }{4 \sqrt{4} }+ \frac{ 1 }{ 5 \sqrt{ 5 } } + \frac{ 1 }{ 6 \sqrt{ 6 } } +...+ \frac{ 1 }{ n \sqrt{ n } } +... $

Ad esempio, se usiamo come unità di misura i piedi, la prima scatola avrebbe un volume di un piede cubico e la scatola successiva avrebbe un volume di 0,35 piedi cubici circa. Questa serie converge. Il volume totale del cristallo Omega è dunque finito ma la superficie è infinita! Ovviamente, in realtà un oggetto infinito come questo non può essere costruito perché le scatole alla fine diventerebbero più piccole di un atomo; questo rimane comunque uno splendido esempio di un'ampia classe di oggetti matematici che hanno volumi finiti ma superfici infinite. [...]
... Quelli tra voi veramente bravi in matematica possono notare che la serie converge alla funzione zeta di Riemann, ζ(3/2). "

x^x

Da La Matematica Di Oz - II Clifford Pickover - Sfide Matematiche

Il fuso supremo

...Il dottor Oz si avvicina a Dorothy con in mano alcuni strani grafici. "Oggi mi interessa il grafico di x elevato alla x. Esso ha il potere di creare interessanti forme affusolate. E le porge un foglio:

__Poi guarda il suo monitor tascabile, su cui compare la figura:

[La seguente, invece ... con GeoGebra. Ci si può cliccare per vedere le equazioni]

"Puoi vedere che il grafico è liscio per i valori di x maggiori di 0."
__"Liscio come il sederino di un bebè", dice Dorothy. Poi batte i numeri sul suo calcolatore per produrre qualche valore:

"Cresce piuttosto velocemente", dice Dorothy, "e hai mostrato solo la curva per i valori piccoli di x. Ma, aspetta un momento! Perché la curva della x inferiore a 0 è così spettrale? Perché è frammentata? E perché dici che può creare dei fusi? I fusi sono oggetti tridimensionali."
__Il dottor Oz con il tentacolo dà un colpetto a una tanica di benzina arrugginita. "Se sei capace di rispondere a queste domande, ti lascerò libera."
...................
__È possibile comprendere meglio $x^x$ esaminando i valori complessi. Il grafico di $z \,=\, x^x$, dove x è ancora reale ma a z è permesso di essere complesso, ha una figura simile a un fuso.

Il fuso supremo: il grafico di $z \,=\, x^x$,quando x è reale e z è complesso. Ventun fili sono disegnati per x compreso fra -4 e 2 (su cortese concessione di Mark D. Meyerson)

Mark Meyerson, della U.S. Navy Academy di Annapolis, nel Maryland, che in uno studio ha descritto questo fuso, scrive: "La parola fuso è doppiamente appropriata; non solo la forma generale assomiglia a un fuso, ma il grafico consta anche di un'infinità numerabile di curve o fili avvolti intorno alla figura." Per generare il fuso, osservate che $x^x\,=\,ℯ^{xlogx}$ prende il valore $ℯ^{xlogx+ιπnx}$. Fili diversi corrispondono a valori diversi di n.
Per una spiegazione più dettagliata dei fili e per studiare i misteriosi gap nel fuso, vedi Mark Meyerson, "The $x^x$ spindle," Mathematics Magazine 69(3) (Giugno 1996): 198-9.
[il fuso con geogebra non mi è riuscito!]

L'overdrive della strega

Il titolo del post è quello dell'enigma n° 30 de: La matematica di OZ_II - Clifford Pickover, ultima uscita della collana Sfide Matematiche.
L'enigma è presentato con questa citazione:
"Un mio amico un giorno fu talmente colpito dalle infinite infinità [di un tracciato ricorsivo] che lo chiamò "un ritratto di Dio", cosa che non ritengo affatto blasfema"

Douglas Hofstadter, Godel, Escher, Bach

"Dorothy e il dottor Oz guardano in alto, verso il cielo, e vedono una strega malvagia che forma dei disegni con i vapori di scarico del suo manico di scopa. [...] - Devo ammettere che i disegni sono complicati, ma sono basati sulle traiettorie di Lissajous generate dal programma C .... Tutto ciò che devi fare è fornire dei valori per i parametri, le variabili utilizzate dal programma. Fortunatamente per la strega, le traiettorie di Lissajous si comportano bene. Per esempio sono continue in ogni punto e formano curve scorrevoli che rivelano le loro originarie funzioni sinusoidali. [...]
- Le immagini sono così belle ...
Le curve di Lissajous sono una famiglia di curve descritte dalle equazioni parametriche

x(t) = A cos(ωxt - δx)
y(t) = B cos(ωyt - δy)

A volte queste curve sono scritte più semplicemente come

x(t) = a sin(nt + c )
y(t) = b sin(t)

Le curve di Lissajous (che si pronuncia Lisajù), vengono talvolta chiamate curve di Bowditch, da Nathalien Bowditch che le studiò nel 1815. Ma il fisico francese Jules-Antoine Lissajous (1822-80) le investigò più dettagliatamente e da allora le curve trovano applicazione in fisica, in astronomia, in matematica, in computer art, e sono state perfino rappresentate in film di fantascienza. In particolare, Lissajous usa suoni di diverse frequenze per far vibrare uno specchio. Un raggio di luce viene riflesso dallo specchio, e traccia disegni affascinanti che dipendono dalle frequenze dei suoni. [...]
Le figure di Lissajous venivano spesso usate per determinare le frequenze dei segnali acustici: sull'asse orizzontale di un oscilloscopio veniva applicato un segnale di una frequenza conosciuta, mentre il segnale da misurare si applicava all'asse verticale. La figura che ne risultava dipendeva dal rapporto tra le due frequenze. [...]"
Tutto ciò, Clifford Pickover.
Ma, potevo non provare cosa ne veniva fuori con geogebra?
eh... sono rimasta davvero colpita dalle infinite infinità di un tracciato ricorsivo.
Qualche esempio di mie figure di Lissajous, che mi paiono sì un po' da strega, ma non malvagia!

e anche:

Per vedere le curve di Lissajous su geogebra:
clic sull'immagine seguente, per le curve semplici di equazioni parametriche:
x = a cos(m t)
y = b sin(n t)

Clic sulla seguente per le figure di equazioni parametriche:
x = a sin(ω t + δ)
y = b sin(t)
Con queste ho ottenuto le prime figure degli esempi, mediante l'opzione Traccia attiva, e variando opportunamente i parametri: a, b, che definiscono le dimensioni del rettangolo in cui sono contenute le curve, ω e δ che determinano la forma della figura di Lissajous.

Ancora un'altra versione con le parametriche:
x = a sin(p t)
y = b sin(n t + φ)
Che, con la presenza di un 5° parametro, permette di sbizzarrirsi in ulteriori figure (ultime 4 degli esempi).
Clic per aprire l'applet

... buone figure!
Se qualche mia amica lettrice ne ottiene di belle, vorrò vederle!!! :-) :-)