Il cristallo Omega

Ancora C. Pickover ... !
Il cristallo Omega
" Il dottor Oz indica un affascinante insieme di scatole di grandezze a decrescere. "Dorothy, questo è il cristallo Omega" (la figura è mia. Con GeoGebra!)

Il cristallo Omega

Dorothy si avvicina di qualche passo al cristallo Omega. "Notevole!", afferma mentre esamina la struttura. Le scatole piccole sono così minute che ci vorrebbe un microscopio per vederle. "Se solo avessi una lente d'ingrandimento."
"Non importa. Voglio chiederti altro sulle scatole. I lati decrescono in un'interessante successione." Il dottor Oz tira fuori pezzo di carta con la seguente successione:

$1+ \frac{ 1 }{ \sqrt{ 2 } } + \frac{ 1 }{ \sqrt{ 3 } } + \frac{ 1 }{ \sqrt{ 4 } }+ \frac{ 1 }{ \sqrt{ 5} } + \frac{ 1 }{ \sqrt{ 6} } + ... + \frac{ 1 }{ \sqrt{ n } }+ ... $

E consegna a Dorothy la carta. "Il bordo della prima scatola in alto è lungo un piede. La scatola successiva ha un bordo lungo un piede diviso per la radice quadrata di due, e quella successiva ancora ha un bordo lungo un piede diviso per la radice quadrata di tre, e così via. Questa serie diverge, o diventa sempre più grande, il che significa che il cristallo Omega è una struttura di lunghezza infinita! Se vuoi dipingere le faccette di un cristallo Omega, hai bisogno di una quantità di pittura infinita."
Alcuni dignitari - originari della costellazione di Vergine - in visita sulla Terra si avvicinano al dottor Oz e a Dorothy. L'addome e il torace dei dignitari trasuda un fluido che profuma come rose in una tiepida mattinata primaverile.
Il dottor Oz accenna un inchino e poi continua. "Fatto stupefacente, anche se la lunghezza è infinita, il volume del cristallo Omega è finito! Qual è il volume? Se capace di rispondermi entro due settimane, ti darò come premio il cristallo Omega, oggetto di grande valore. In caso contrario, lo farò a pezzi, il che susciterà una guerra transgalattica di proporzioni inimmaginabili."
Uno dei dignitari geme e quindi evapora.
Dorothy si volta verso il dottor Oz e chiede, "Dici sul serio?"
"Non proprio." Sussurra il dottor Oz. Ma mi piace usare un linguaggio altisonante per impressionare i nostri ospiti. Ma adesso, al lavoro!"

I volumi dei cubi che formano il cristallo Omega sono parte di questa serie:

$1+ \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{ 2 } } + \frac{ 1 }{ 3 \sqrt{ 3 } } + \frac{ 1 }{4 \sqrt{4} }+ \frac{ 1 }{ 5 \sqrt{ 5 } } + \frac{ 1 }{ 6 \sqrt{ 6 } } +...+ \frac{ 1 }{ n \sqrt{ n } } +... $

Ad esempio, se usiamo come unità di misura i piedi, la prima scatola avrebbe un volume di un piede cubico e la scatola successiva avrebbe un volume di 0,35 piedi cubici circa. Questa serie converge. Il volume totale del cristallo Omega è dunque finito ma la superficie è infinita! Ovviamente, in realtà un oggetto infinito come questo non può essere costruito perché le scatole alla fine diventerebbero più piccole di un atomo; questo rimane comunque uno splendido esempio di un'ampia classe di oggetti matematici che hanno volumi finiti ma superfici infinite. [...]
... Quelli tra voi veramente bravi in matematica possono notare che la serie converge alla funzione zeta di Riemann, ζ(3/2). "

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