I numeri triangolari

Ragazzi,

precisamente Rita, Beatrice, Stefano,

eh lo so, scordavo la vostra relazione... Eccola, pardon!

- Sintesi delle vostre due, Rita-Bea e Stefano

Dopo i numeri quadrati (somma dei dispari in successione)

e quelli rettangolari (somma dei numeri pari in successione),

nell’ultima attività ricreativa fra i numeri figurati abbiamo scoperto i numeri triangolari:

Stavolta abbiamo fatto la somma dei primi numeri naturali in successione. Così:

1+2=3

1+2+3=6

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15

e così via.

Abbiamo trasformato la somma in puntini disposti per creare un triangolo

E così via …

Poi siamo andati dalla prof e ha detto che andava bene, ma per trovare la regola generale [qual è la somma di tot, n, numeri naturali] era meglio se li trasformavamo in triangoli rettangoli:

Anche in questo caso abbiamo pensato all’area del triangolo (b*h/2) ma abbiamo dovuto completare le figure. Il triangolo è la metà di un rettangolo e quindi:

                                                                   

Così è nata la formula per la somma di n numeri naturali:

n*(n+1) /2.

Numeri poligonali

Marco N. ha cominciato

a costruire i numeri poligonali su geogebra

I numeri quadrati. Clic per vedere l’animazione

La sacra decade. Clic..

Bravo Marco!

Ragazzi,

abbiamo tanto materiale sui numeri poligonali. Per trovare facilmente, fate clic sul titolo di questo post. La pagina si ricarica mostrando il solo post e sotto,

Articoli correlati per categorie

vedrete diversi link per la categoria “Numeri poligonali”.

  - In particolare raccomando un lavoro, delle interessantissime indagini sulla moltiplicazione. Clic sul link che segue (leggete attentamente: aggiornamento 03/09/2005),  nella pagina che si apre trovate le indicazioni per scaricare.

Presentazione su Power Point (aggiornamento del 03/09/2005).

Questa un’immagine:

Dall’inversa della potenza …

Maria Chiara, Erica, Letizia e Gabriele

relazionano sui Numeri quadrati… di Pitagora 

Ma, “abbiamo iniziato dicendo…”  dice Letizia. Ed ecco il testo collettivo.

Pochi giorni fa abbiamo scoperto l’operazione inversa dell’elevamento a potenza.

Dato che l’elevamento a potenza mi permette di associare due numeri (base, esponente) a un terzo (potenza) moltiplicando il primo per se stesso tante volte quante me ne chiede il secondo,

se mettiamo che l’esponente sia 2, per estrarre la radice quadrata di un numero “n” devo trovare quel numero che moltiplicato per se stesso mi dia il numero considerato: per esempio se prendo in considerazione 64 la radice quadrata è 8.

Consideriamo invece un cubo da costruire con 64 cubetti: di questo cubo vogliamo sapere qual è lo spigolo. Attraverso la simbologia mi esprimo nel seguente modo: x³ = 64.
Quindi devo trovare quel numero che elevato 3 mi dà 64 (che è 4). Ma non importa il risultato: ciò che ci serve sapere è che l’estrazione di radice è quell’operazione che mi permette di trovare la base che non si conosce. 4 è la radice cubica di 64, ma più frequentemente è usata la radice quadrata [da noi…], indicata con il simbolo “√”.

Vediamo degli esempi di numeri elevati alla seconda:

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4²= 16

5² = 25

6² = 36

I risultati sono i cosiddetti numeri quadrati perfetti perché un qualsiasi numero intero moltiplicato per sé stesso (quindi alla seconda) mi dà uno di essi, quindi sono numeri la cui radice quadrata è un elemento di N.

La radice quadrata di questi numeri è perciò, perfetta, è esatta ed è un numero intero, ma provate a trovare la radice quadrata di 3, o di 5, o anche di 7: per averla devo ricorrere ai decimi, ai centesimi o ai millesimi, il che non la rende un numero intero. Radici quadrate così vengono chiamate infatti approssimate.

Ma torniamo ai numeri quadrati: avranno fatto bene a chiamarli così? Per saperlo dobbiamo andare indietro nel tempo, ai tempi di Pitagora che pensò bene di utilizzare dei sassolini per rappresentare i numeri e fece nel seguente modo:

 

… come abbiamo visto q u i

se osservate bene il numero di sassolini con cui riuscì a fare il suo “esperimento”, sono i nostri numeri quadrati. Per costruire dei quadrati, doveva essere un NUMERO QUADRATO PERFETTO. Quindi secondo voi hanno fatto bene a chiamare 1  4  9  16  25 ecc. numeri quadrati? Secondo me si!

Ma non è finita qui. Pitagora provò anche un altro esperimento: provò a sottrarre a ogni numero quadrato il suo precedente:

1 - 0 = 1

4 - 1 = 3

9 - 4 = 5

16 - 9 = 7

25 -16 = 9

Ottenne i numeri dispari. Noi abbiamo indagato sulla regolarità, il problema della scheda… 

Giovanni è stato il primo a scoprirla: ogni numero quadrato si ottiene dalla somma dei numeri dispari, in successione…

Per esempio il 4 si ottiene da 1 + 3, il 9 si ottiene da 1 + 3 + 5 e così via.

Lo dimostriamo anche con excel.

Per ottenere in excel la successione dei numeri quadrati è nata l’esigenza di fissare il primo numero dispari da sommare e ampliare via via l’intervallo, quindi abbiamo utilizzato i riferimenti assoluti. Le formule in figura sono state poi copiate lungo le righe (e le colonne).

Il file num.quadrati.xls si può scaricare.

Ragazzi,

ora posso segnalarvi Numeri quadrati e numeri rettangolari (che ormai avete scoperto…)  da maestra Renata. E’ un incrocio di link (!), ma vi rimando per vedere i numeri quadrati e rettangolari con GeoGebra e anche per eseguire gli esercizi con GeoGebra, che maestra Renata propone attraverso un simpaticissimo gufetto! Occorre cliccarci sopra.

Numeri quadrati

Ragazzi,

abbiamo già detto (e disegnato!) dei numeri quadrati.

Ora osservate, leggete e … indovinate!

Da QUADRATI
Collana: Numeri a merenda
Editoriale Scienza

L’indagine-discussione continuerà in classe…

Mi sa che occorre un ingrandimento del “problema”

I numeri pentagonali in Excel

Per i "nuovi" della I A,
(e per i lettori che non avessero visto :-), leggete pure questo post ma per comprenderlo meglio e saperne di più... , rimando a queste pagine. Che riportano altri riferimenti...
Ragazzi, leggete prima questa.
Parliamo di numeri poligonali: numeri che indicano la quantità di punti con cui si può formare un determinato poligono regolare. A seconda della figura generata, pertanto, avremo i numeri triangolari, quadrati, pentagonali, esagonali ecc.
Appartengono alla famiglia dei numeri figurati: possono essere rappresentati mediante una figura geometrica.
Dai Pitagorici questi numeri venivano rappresentati con sassolini disposti in modo che ad ogni numero corri­spondesse una figura geo­metrica (vedete le immagini nel post...).
Dunque, dopo i lavori sui numeri triangolari e rettangolari con Excel, ho preparato quello sui

numeri pentagonali

Come gli altri numeri poligonali, quelli pentagonali si possono ottenere sommando gli elementi di progressioni aritmetiche.
Cioè, per esempio, nel caso dei numeri pentagonali, contiamo per 3:
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, ecc... (questa è una progressione aritmetica)
e sommiamo:
1+4 = 5
1+4+7 = 12
1+4+7+10 = 22
e così via.
I numeri: 5, 12, 22, ecc..., sono i numeri pentagonali.
Sul file, in un foglio di lavoro trovate Come si ottengono e agendo sulla casella di selezione (quella con le due frecce in figura) potrete ottenerli in successione. Osservate anche le formule nella colonna dei pentagonali rossi!

In un secondo foglio li visualizzerete ... a forma di pentagoni, naturalmente! E potete vedere le regolarità nella loro successione. [Nella colonna risultati è contenuta la formula, ragazzi per voi ancora complessa, per ottenere un numero pentagonale considerando un numero naturale n qualsiasi: n*(3*n-1)/2. Naturalmente tradotta in formule per Excel]

Infine, in un terzo foglio, un grafico a dispersione, dinamico. Da animare mediante casella di selezione.

Scaricate il file Numeri pentagonali.xls

Numeri triangolari in Excel

Abbiamo già parlato, in diverse tappe, sassolini - numeri poligonali della Scuola di Pitagora, numeri poligonali, e somma di n valori consecutivi, di

numeri triangolari.

Sono quei numeri poligonali che, rappresentati con altrettanti punti, si possono disporre a formare dei triangoli.
Rappresentano anche la somma di n numeri naturali consecutivi:
1+2+3+4+.... (ragione r=1) numeri triangolari: 1; 1+2= 3; 1+2+3= 6; 1+2+3+4= 10; 1+2+3+4+5= 15 e così via ...

Nel lavoro con Excel che ora propongo, mi sono divertita a creare delle animazioni che "costruiscono" numeri triangolari.
Un'avvertenza: prima di aprire il file è necessario chiudere il vostro Excel se per caso lo avete già aperto.
Nel primo foglio di lavoro (clic sulle immagini per ingrandire):

I numeri triangolari si dispongono via via a formare triangoli equilateri.
Nel secondo foglio di lavoro:

sono mostrati i numeri triangolari come la metà dei numeri rettangolari: il triangolo è equivalente alla metà di un rettangolo.
In entrambi i fogli sono mostrate via via (si clicca sulla casella di selezione come indicato) le formule che generano i numeri triangolari.
Nel terzo foglio di lavoro:

i triangoli sono ottenuti mediante grafico cartesiano [Dispersione (XY)] dinamico.
Per seguire l'animazione si deve premere, in sequenza, il tasto F9.
Si può scaricare Numeri triangolari.xls
Ragazzi, raccomando: fissate la sequenza dei numeri triangolari!

I numeri rettangolari

La mia-nostra amica Maestra Renata di Splash ragazzi ieri in un commento, mi ha stimolato a creare un foglio di calcolo sui numeri rettangolari.
E ... volentierissimo! :-)
Qui sul blog, avevamo già parlato di Numeri triangolari, quadrati, ... poligonali.
I numeri rettangolari mancavano.
Questo perché per numeri poligonali si intendono propriamente quei numeri figurati che indicano la quantità di punti con cui si può formare un determinato poligono regolare. E il rettangolo non è un poligono regolare.
Un numero figurato è un numero intero che può essere rappresentato mediante uno schema geometrico e regolare.
Già sul post citato avevamo visto che addizionando successivamente i numeri dispari, si ottengono uno dopo l'altro tutti i numeri quadrati:
1+3+5+7+... . Si sommano via via i termini della progressione e si ottengono: 1, 4, 9, 16, 25 ...: numeri quadrati. Questi numeri sono composti da fattori uguali:
es.
1 + 3 = 4 = 2 • 2
4 + 5 = 9 = 3 • 3
9 + 7 = 16 = 4 • 4
...
Addizionando successivamente i numeri pari, si ottengono invece i numeri rettangolari:
2+4+6+8+10... . Si sommano via via i termini della successione e si ottengono: 2, 6, 12, 20, 30, ... numeri rettangolari. Questi sono composti da fattori disuguali:
es.
2 + 4 = 6 = 2 • 3
6 + 6 = 12 = 3 • 4
12 + 8 = 20 = 4 • 5
...
Dunque:
ogni numero rettangolare ha la forma geometrica di un rettangolo;
ogni rettangolo ha l'altezza composta da una unità in più rispetto alla base.
Anche ai numeri rettangolari corrisponde una formula, una piccola espressione, che ne permette l’immediato calcolo.
Consideriamo un numero naturale qualsiasi, n. Troviamo un numero rettangolare con la formula: n*(n+1)

E ora il lavoro in Excel.
Come spiegato nel post sui numeri poligonali, la formula n*(n+1) si "traduce", nel linguaggio di Excel, per n = 1, con la formula:
=RIF.RIGA(A1)*(RIF.RIGA(A1)+1) che significa: 1*(1+1)
per n = 2:
=RIF.RIGA(A2)*(RIF.RIGA(A2)+1) che significa: 2*(2+1)
e così via.
Ecco qualche immagine del foglio di calcolo.
La somma dei numeri pari in successione:
Ancora sulla tabella della moltiplicazione, fra le tante proprietà e curiosità sui numeri, si possono individuare i numeri rettangolari.
I numeri rettangolari come prodotto di fattori disuguali...
Si può scoprire una proprietà dei numeri rettangolari...
E, per la serie: la condivisione non finisce di arricchire....
Sulla falsariga del lavoro di Renata, ho aggiunto ancora un'"animazione" al file Excel.
Immagine:
Quindi, ancora aggiornato il file Numeri rettangolari.xls
A breve il lavoro di Renata su Geogebra!
Grazie, GRAZIE, Renata ...! :-)

Numeri triangolari, quadrati, ... poligonali.

Vediamo di conoscere meglio i numeri triangolari, quadrati.... della scuola pitagorica.
In realtà di questi numeri ho già parlato qui in blog, sia pure indirettamente.
Vi ricordo la segnalazione: Indagini sulla moltiplicazione.
La quale rimandava ad una interessante, ricca e divertente presentazione su Power Point (aggiornamento del 03/09/2005).
Questa è una delle slide sull'argomento:

Sulla tabella della moltiplicazione, fra le tante proprietà e curiosità sui numeri, si possono individuare i numeri poligonali. La presentazione spiega anche come ottenerli via via, osservando la tabella.

Come potete leggere nella presentazione stessa, ho dato il mio contributo rendendo "interattive" con Excel alcune delle proposte inserite (notate sulla slide il link al file excel relativo ai poligonali).

Un'immagine-excel è questa:

Notate in figura i numeri triangolari, elencati ed evidenziati nella tavola. Per ottenere i numeri quadrati basterà fare clic sulla prima cella viola contenente il numero1, subito a destra dell'elenco dei triangolari e copiare la formula lungo la colonna. Si vedrà apparire l'elenco dei numeri quadrati e popolarsi di questi la tavola. Così per gli altri poligonali. Il file contiene le istruzioni d'uso. [nota: l'immagine riportata nelle mie "informazioni personali" è ancora tratta da un file excel contenuto nella presentazione: rappresenta i numeri cubici].
Dunque:
come già visto, parlando della scuola di Pitagora, i numeri poligonali indicano la quantità di punti con cui si può formare un determinato poligono regolare. A seconda della figura generata, pertanto, avremo i numeri triangolari, quadrati, pentagonali, esagonali ecc.
(Potete scorrere appena sotto e rivedere le immagini).
Qui seguite questa simpatica animazione con i numeri quadrati.

Suggerisco la visione dell'intera pagina da cui essa è tratta.

[Aggiornamento]: da Maestra Renata ancora un'animazione e la proposta di esercizi sui numeri quadrati.

I numeri poligonali si possono ottenere sommando gli elementi di progressioni aritmetiche.
Un semplice esempio di progressione aritmetica è quella che genera i numeri naturali:
1+1+1+1+1+ ... (ragione r=0) numeri naturali: 1; 1+1= 2; 1+1+1= 3; 1+1+1+1= 4; 1+1+1+1+1= 5 e così via ...
1+2+3+4+.... (ragione r=1) numeri triangolari: 1; 1+2= 3; 1+2+3= 6; 1+2+3+4= 10; 1+2+3+4+5= 15 e così via ...
1+3+5+7+... (ragione r=2) numeri quadrati. Come sopra si sommano via via i termini della progressione e si ottengono: 1 4 9 16 25 ...
1+4+7+10+13+... (ragione r=3) numeri pentagonali: 1 5 12 22 35 ...
1+5+9+13+17+... (ragione r=4) numeri esagonali: 1 6 15 28 45....
Si procede allo stesso modo per ottenere gli altri numeri poligonali.

A ogni tipo di numero poligonale corrisponde una formula, una piccola espressione, che ne permette l’immediato calcolo.
Consideriamo un numero naturale qualsiasi, n. Troviamo:
un numero triangolare con la formula: n*(n+1)/2
un numero quadrato: n*(2*n+0)/2 (più semplicemente, come sappiamo: n^2)
un numero pentagonale: n*(3*n-1)/2
un numero esagonale: n*(4*n-2)/2
un numero eptagonale: n*(5*n-3)/2
un numero ottagonale: n*(6*n-4)/2
E così per gli altri: notate la regolarità presente nelle ultime quattro formule.

Pillola di Excel:
Le formule appena viste sono state utilizzate nel lavoro in Excel.
I numeri n, naturali in successione, si ottengono con la funzione di Excel: RIF.RIGA() che, immessa senza argomenti in una cella di una riga qualsiasi, restituisce il numero di riga alla quale la cella appartiene. Es: =RIF.RIGA(), immessa in cella C5, restituisce il numero 5.
Se immettiamo invece la formula: =RIF.RIGA(A1), in una cella qualsiasi, è restituito il numero 1
Dunque:
riprendiamo la formula dei numeri triangolari: n*(n+1)/2 per n=1,
in Excel digiteremo:
=RIF.RIGA(A1)*(RIF.RIGA(A1)+1)/2 che significa: 1*(1+1)/2 = 1
per n=2, in Excel:
=RIF.RIGA(A2)*(RIF.RIGA(A2)+1)/2 che significa: 2*(2+1)/2 = 3
per n=3:
=RIF.RIGA(A3)*(RIF.RIGA(A3)+1)/2 che significa: 3*(3+1)/2 = 6
e così via...
Rivedete ancora i numeri triangolari nelle immagini del post sotto....!

alla prox!:-)