Il problema della pavimentazione

I ragazzi della prima,

hanno lavorato al problema della pavimentazione, nato dal lavoro di Daniele sul mosaico a ottagoni regolari.

Marco D. su Geogebra ha costruito i possibili pavimenti con mattonelle dalla forma di poligoni regolari diversi. Copio qui le immagini.

Marco, nel lavoro individua i possibili poligoni regolari ma non spiega il perché succeda questo, la condizione geometrica.

Stefano, Beatrice, Davì costruiscono altri mosaici con quadrati e esagoni ma non commentano le costruzioni.

Davide D., nella costruzione commenta...

Dunque, in classe siamo partiti dall’osservazione di Davide: per i gradi degli angoli.

Abbiamo analizzato le pavimentazioni possibili osservando il numero di piastrelle riunite in ogni vertice:

con il triangolo equilatero si incontrano 6 piastrelle

con il quadrato le piastrelle sono 4

con l’esagono regolare si incontrano 3 piastrelle

A questo punto Davide osserva che le piastrelle incontrandosi nei vertici formano sempre un angolo di 360°, un angolo giro.

E che quindi gli angoli dei poligoni regolari che “pavimentano” sono una frazione dell’angolo giro.

Insomma, abbiamo concluso che:

la condizione per poter ricoprire una superficie piana con dei poligoni regolari è che l'angolo interno di ogni poligono sia sottomultiplo di un angolo giro.

Altre opere: mosaici, ... ! [Aggiornato]

Sempre in tema di pavimenti,

i giovini della prima, ricordati i poligoni regolari e ... GeoGebra che sta per non avere più segreti ,

realizzano: mosaici ... Questo è di Davide D.

Clic su immagine

Altre opere si attendono!

Ho intanto le foto degli altri poligoni costruiti con strisce, di Andrea F. Andrea si è costruito da sé anche le strisce su cartoncino. Bravo A!

Arrivato ora ancora un pavimento triangolare. Quello di Davì. Ma il gusto estetico è diverso! Clic!

Ho appena ricevuto da Daniele, un mosaico-pavimento, perché lui le chiama “mattonelle”,  carino ma... un po’ strano! Guardate, fate pure clic per aprire l’applet ma continuate a leggere sotto...

Ecco, siete d’accordo che come “pavimento” è un po’ strano? Voi vi fareste mettere in casa delle mattonelle che lasciano dei buchi sul pavimento?

Daniele, guarda che il tuo lavoro mi piace molto sai! E’ molto valido anche! Infatti ci permette di porci delle domande. Porsi delle domande ha un grande valore!

Dunque, ragazzi:

Daniele ha costruito un pavimento utilizzando degli ottagoni regolari.

Sopra vediamo le costruzioni di Davì e Davide D, che hanno usato dei triangoli equilateri e i pavimenti sono venuti senza buchi.

Ora dovreste provare a costruire pavimenti con altri poligoni. Suuu!

La domanda è: con quali poligoni si può “pavimentare” senza lasciare spazi vuoti e naturalmente senza mai sovrapporre i poligoni stessi?

Riuscite a scoprire qual è la condizione che permette questo?

Insomma, bravo Daniele!

E, sono sicura, sarete bravi tutti...!

Mattonelle e pavimento

I ragazzi della I

hanno costruito delle belle mattonelle con l’insegnante di Tecnologia. Intanto per allenarsi all’utilizzo degli strumenti, ma anche per scoprire come a partire da un semplice quadrato si possano realizzare delle belle decorazioni.

A Stefano per primo è venuto in mente di riprodurre il lavoro con Geogebra. Con una possibilità in più: dalla mattonella al pavimento, con semplici clic!

Stefano nell’ultima sua versione del lavoro ha utilizzato gli strumenti della simmetria: Simmetrico rispetto a una retta e Simmetrico rispetto a un punto.

In un primo momento aveva traslato, ma la costruzione di base non era precisa. Ma è stato bravo poi: questi bambini imparano geogebra praticamente da soli!

Ecco l’immagine. Se volete, fate clic per aprire l’applet.

Stefano mi darà anche il lavoro sul foglio da disegno. E, lavori di altri monelli seguiranno!

La mattonella di Marco D. Ma è un’unica mattonellona! Con archi circolari...

Sempre Marco D. mi invia:

esagono regolare costruito con disegno tecnico

e stella a 6 punte, sempre con la stessa metodica

Qui sotto le due belle mattonelle di Beatrice (Bea, se leggi, solo ora sono riuscita ad aprire il tuo pennino).

Ma mostro solo le immagini, Beatrice. Le costruzioni non sono corrette, ahi! Vi ripeto, dovete testare muovendo i vertici della figura di partenza: la costruzione non deve deformarsi.

Ma non preoccuparti, ti spiegherò come fare...

Tassellature del piano con poligoni non regolari

Abbiamo già visto in una nostra attività (e anche qui),
che, fra i poligoni regolari, solo il triangolo equilatero, il quadrato e l’esagono regolare possono tassellare il piano, cioè è possibile  “pavimentare” o “piastrellare” il piano accostando i poligoni l'uno all'altro, senza sovrapporli e senza avere degli spazi vuoti tra essi. In ciascuno di tali poligoni l’angolo interno è sottomultiplo di un angolo giro.
E’ però possibile realizzare delle “pavimentazioni” o tassellature, anche con poligoni non regolari.
E’ stato dimostrato che nessun poligono convesso con più di sei lati può tassellare il piano.
Consideriamo dunque i poligoni di tre, quattro, cinque e sei lati. 
Tasselli triangolari
Qualunque triangolo può tassellare il piano. Si può costruire il simmetrico del triangolo rispetto al punto medio di uno dei suoi lati:  “i lati corrispondenti di due triangoli identici combaciano e si forma un parallelogramma. Com’è ovvio, le repliche di un parallelogramma si possono far combaciare lungo i lati per formare una fila illimitata di lati paralleli, e le strisce, a loro volta, si possono avvicinare l’una all’altra per ricoprire interamente il piano”.
Nella costruzione con geogebra, ho utilizzato solamente successive simmetrie di centro punto medio di un lato dei triangoli. Clic sulla figura per aprire l’applet. Sul foglio di lavoro l’indicazione più semplice se si vuole … estendere la pavimentazione! (ho lasciato visibili solo i segmenti esterni per motivi estetici)
Tasselli a forma di quadrilatero
“Qualunque quadrilatero tassella il piano!” Anche in questo caso si può costruire il simmetrico del quadrilatero rispetto al punto medio di uno dei suoi lati:  “i lati corrispondenti di due quadrilateri identici combaciano e si forma un esagono. Ogni lato dell’esagono è necessariamente uguale e parallelo al lato opposto. Tale esagono, con una semplice operazione di traslazione, formerà un motivo tassellante”
Anche in questo caso, con geogebra ho utilizzato successive simmetrie di centro punto medio di un lato dei quadrilateri. Il quadrilatero inoltre può anche non essere convesso. Clic sulla figura per aprire l’applet. Indicazioni sul foglio di lavoro…
Modificando il quadrilatero da convesso a  concavo si può avere una figura simile

Tasselli a forma di pentagono
I tasselli a forma di pentagono convesso possono essere classificati in otto tipologie. Cinque furono trovate da Reinhardt. Kershner li descrive contrassegnando i pentagoni per tipi. Nell’immagine il tipo e la tassellatura corrispondente:
Le caratteristiche dei singoli tipi:

Angoli: A + B + C = 360° Angoli: A + B + D = 360° Angoli: A = C = D = 120° Angoli: A = C = 90°   Angoli: A = 60°, C = 120°

lati: a = d lati: a = b, d = c + e lati: a = b, c = d lati: a = b, c = d

a queste cinque tipologie se ne aggiungono altre tre… e
“Non è dimostrato il fatto che non esistano altri pentagoni convessi capaci di tassellare il piano, per l’eccellente ragione che una dimostrazione completa richiederebbe un libro piuttosto voluminoso”
Con geogebra la tassellatura del 5° tipo.  Costruita con i passi segg:

1. Punto medio del lato e del pentagono ABCDE
2. Simmetrico di ABCDE rispetto al punto
3. Rotazione di 60°  del simmetrico ottenuto, con centro il punto corrispondente del punto A nella simmetria.
4. Rotazioni successive di ampiezza 60°, con medesimo centro, dei pentagoni ottenuti.
5. Ripetere dal punto 1.

Clic sull’immagine per aprire l’applet. Indicazioni sul foglio di lavoro…
Variando la forma del pentagono, conservando le proprietà di lati e angoli…
Infine, se il pentagono diventa concavo
Per ora mi fermo qui. In un altro post le tassellature esagonali (almeno) .
Ma quanto altro nel capitolo 13, Mosaici di poligoni convessi, del:
Viaggio nel tempo e altre stranezze matematiche -  Martin Gardner – Sfide Matematiche  !
- Le scritte in grigio e l’illustrazione dei tipi-tasselli pentagonali, dal testo.-
Link sulle Tassellazioni del piano:
Matematica e dilettanti
Attività di tassellazione con GeoGebra

Pavimenti matematici e ... pallone da calcio!

Ragazzi (II e III eh!), per chi in questi giorni dovesse passare da qui...
eccovi una simpatica attività che mi è venuta in mente a proposito di "sviluppi sul piano" ... ehmm!
Pavimenti matematici
Considerate queste forme di poligoni regolari

Stampate e ritagliate, ma occorre anche riprodurne almeno 6 per ciascuna forma.
Potreste ricalcare le forme con la carta lucida su fogli colorati (ricalcate prima di ritagliare!).
Chi ha geogebra potrebbe disegnare, stampare 6 copie e ritagliare.

Considerate questi poligoni come piastrelle per ricoprire dei "pavimenti matematici": ma è sempre possibile? Dipende da una proprietà relativa agli angoli interni di un poligono regolare che potrete scoprire proprio provando a realizzare i pavimenti.
Per ogni prova dovete utilizzare solo piastrelle della stessa forma.
La piastrellatura va realizzata accostando i poligoni l'uno all'altro, senza sovrapporli e senza avere degli spazi vuoti tra essi.
Preparatevi una tabella come sotto e completate con un Sì oppure un No

Per le piastrelle per le quali avete risposto "sì" completate:

Avete scoperto la condizione per poter ricoprire una superficie piana con dei poligoni regolari?
Mi sa che si può solo se...
l'angolo interno di ogni poligono è sottomultiplo di un angolo:
retto ?
piatto ?
giro ?

E ora (questa parte riguarda in particolare i ragazzi di III), rispondete a questa domanda.
Si può ricoprire un pavimento con piastrelle esagonali e pentagonali regolari accostate tra loro in modo da formare lo stesso motivo che puoi osservare nel pallone da calcio?
In parole matematiche:
la superficie del pallone da calcio si può sviluppare sul piano?
Fate delle prove con le vostre "piastrelle" e poi spiegate il procedimento e il ragionamento seguito per giungere alle conclusioni.