I numeri triangolari

Ragazzi,

precisamente Rita, Beatrice, Stefano,

eh lo so, scordavo la vostra relazione... Eccola, pardon!

- Sintesi delle vostre due, Rita-Bea e Stefano

Dopo i numeri quadrati (somma dei dispari in successione)

e quelli rettangolari (somma dei numeri pari in successione),

nell’ultima attività ricreativa fra i numeri figurati abbiamo scoperto i numeri triangolari:

Stavolta abbiamo fatto la somma dei primi numeri naturali in successione. Così:

1+2=3

1+2+3=6

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15

e così via.

Abbiamo trasformato la somma in puntini disposti per creare un triangolo

E così via …

Poi siamo andati dalla prof e ha detto che andava bene, ma per trovare la regola generale [qual è la somma di tot, n, numeri naturali] era meglio se li trasformavamo in triangoli rettangoli:

Anche in questo caso abbiamo pensato all’area del triangolo (b*h/2) ma abbiamo dovuto completare le figure. Il triangolo è la metà di un rettangolo e quindi:

                                                                   

Così è nata la formula per la somma di n numeri naturali:

n*(n+1) /2.

I numeri pentagonali in Excel

Per i "nuovi" della I A,
(e per i lettori che non avessero visto :-), leggete pure questo post ma per comprenderlo meglio e saperne di più... , rimando a queste pagine. Che riportano altri riferimenti...
Ragazzi, leggete prima questa.
Parliamo di numeri poligonali: numeri che indicano la quantità di punti con cui si può formare un determinato poligono regolare. A seconda della figura generata, pertanto, avremo i numeri triangolari, quadrati, pentagonali, esagonali ecc.
Appartengono alla famiglia dei numeri figurati: possono essere rappresentati mediante una figura geometrica.
Dai Pitagorici questi numeri venivano rappresentati con sassolini disposti in modo che ad ogni numero corri­spondesse una figura geo­metrica (vedete le immagini nel post...).
Dunque, dopo i lavori sui numeri triangolari e rettangolari con Excel, ho preparato quello sui

numeri pentagonali

Come gli altri numeri poligonali, quelli pentagonali si possono ottenere sommando gli elementi di progressioni aritmetiche.
Cioè, per esempio, nel caso dei numeri pentagonali, contiamo per 3:
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, ecc... (questa è una progressione aritmetica)
e sommiamo:
1+4 = 5
1+4+7 = 12
1+4+7+10 = 22
e così via.
I numeri: 5, 12, 22, ecc..., sono i numeri pentagonali.
Sul file, in un foglio di lavoro trovate Come si ottengono e agendo sulla casella di selezione (quella con le due frecce in figura) potrete ottenerli in successione. Osservate anche le formule nella colonna dei pentagonali rossi!

In un secondo foglio li visualizzerete ... a forma di pentagoni, naturalmente! E potete vedere le regolarità nella loro successione. [Nella colonna risultati è contenuta la formula, ragazzi per voi ancora complessa, per ottenere un numero pentagonale considerando un numero naturale n qualsiasi: n*(3*n-1)/2. Naturalmente tradotta in formule per Excel]

Infine, in un terzo foglio, un grafico a dispersione, dinamico. Da animare mediante casella di selezione.

Scaricate il file Numeri pentagonali.xls

Numeri quadrati e numeri rettangolari

Come vi avevo promesso...
da maestra Renata,

Numeri quadrati e numeri rettangolari

Renata è magica con i suoi video,
e con Geogebra!

ciao Splashragazzi!:-)

I numeri rettangolari

La mia-nostra amica Maestra Renata di Splash ragazzi ieri in un commento, mi ha stimolato a creare un foglio di calcolo sui numeri rettangolari.
E ... volentierissimo! :-)
Qui sul blog, avevamo già parlato di Numeri triangolari, quadrati, ... poligonali.
I numeri rettangolari mancavano.
Questo perché per numeri poligonali si intendono propriamente quei numeri figurati che indicano la quantità di punti con cui si può formare un determinato poligono regolare. E il rettangolo non è un poligono regolare.
Un numero figurato è un numero intero che può essere rappresentato mediante uno schema geometrico e regolare.
Già sul post citato avevamo visto che addizionando successivamente i numeri dispari, si ottengono uno dopo l'altro tutti i numeri quadrati:
1+3+5+7+... . Si sommano via via i termini della progressione e si ottengono: 1, 4, 9, 16, 25 ...: numeri quadrati. Questi numeri sono composti da fattori uguali:
es.
1 + 3 = 4 = 2 • 2
4 + 5 = 9 = 3 • 3
9 + 7 = 16 = 4 • 4
...
Addizionando successivamente i numeri pari, si ottengono invece i numeri rettangolari:
2+4+6+8+10... . Si sommano via via i termini della successione e si ottengono: 2, 6, 12, 20, 30, ... numeri rettangolari. Questi sono composti da fattori disuguali:
es.
2 + 4 = 6 = 2 • 3
6 + 6 = 12 = 3 • 4
12 + 8 = 20 = 4 • 5
...
Dunque:
ogni numero rettangolare ha la forma geometrica di un rettangolo;
ogni rettangolo ha l'altezza composta da una unità in più rispetto alla base.
Anche ai numeri rettangolari corrisponde una formula, una piccola espressione, che ne permette l’immediato calcolo.
Consideriamo un numero naturale qualsiasi, n. Troviamo un numero rettangolare con la formula: n*(n+1)

E ora il lavoro in Excel.
Come spiegato nel post sui numeri poligonali, la formula n*(n+1) si "traduce", nel linguaggio di Excel, per n = 1, con la formula:
=RIF.RIGA(A1)*(RIF.RIGA(A1)+1) che significa: 1*(1+1)
per n = 2:
=RIF.RIGA(A2)*(RIF.RIGA(A2)+1) che significa: 2*(2+1)
e così via.
Ecco qualche immagine del foglio di calcolo.
La somma dei numeri pari in successione:
Ancora sulla tabella della moltiplicazione, fra le tante proprietà e curiosità sui numeri, si possono individuare i numeri rettangolari.
I numeri rettangolari come prodotto di fattori disuguali...
Si può scoprire una proprietà dei numeri rettangolari...
E, per la serie: la condivisione non finisce di arricchire....
Sulla falsariga del lavoro di Renata, ho aggiunto ancora un'"animazione" al file Excel.
Immagine:
Quindi, ancora aggiornato il file Numeri rettangolari.xls
A breve il lavoro di Renata su Geogebra!
Grazie, GRAZIE, Renata ...! :-)