Sugli angoli....

Ragazzi di seconda,

Vi lascio i link di cui vi ho detto stamane. L’attività:

[Attività]Ampiezze di angoli

Sugli angoli esterni:

Angoli esterni dei poligoni

A proposito di angoli esterni ...

Indagine sugli angoli esterni dei poligoni

Angoli esterni dei poligoni

Raga....

Giusto perché non so stare senza ... geogebra? O senza far niente!

Mi porto avanti qualche attività. Che vi proporrò ma voi, chi legge, comincerete a vedere. E a scoprire ...

sui poligoni, irregolari e regolari!

Clic su img e lavorate sull’applet.

- Da un’idea del prof Daniel Mentrard. Questa (che io per altro non ho potuto vedere, tranne l’anteprima nella pag Indice. Non riesco a caricare l’applet)

[Aggiorno]

Grazie al prof Daniele (ping pong, quando si dice Rete ...!) ho potuto realizzare la costruzione animata, che non avevo potuto vedere sul lavoro originale del prof Mentrard.

Clic su img

Bravo chi fa!

[Nuovo aggiornamento]

Se non dovesse aprirsi l’applet al link indicato, vedere QUI. Mancano le indicazioni sopra l'applet, per interagire, che invece trovate e si leggono senza problemi, al primo link. Si può bloccare l’animazione con il pulsante Pausa, in basso a sinistra e agire manualmente sullo slider animazione.

- E a proposito di leggere qui o no. Vi faccio notare che molti vostri coetanei in questo periodo arrivano sul blog a cercare “ripasso matematica per andare alla 2 media” oppure “attività per il ripasso estivo di matematica”.

E voi? Se non siete al mare, state solo a poltrire tutto il tempo? - oh, lo so che qualcuno legge ...

… e un’attività tutta manuale!

Sì, ragazzi…

non solo PC.

Eccovi una scheda di lavoro per utilizzare carta, matita, righello e compasso!

Uno sguardo all’immagine (attenzione, è solo una porzione dell’attività), scaricate e stampate Dimezzare gli angoli.pdf

da Triangoli – In matematica, Scienza e Natura di Catherine Sheldrick Ross

altro prezioso volumetto che suggerisco vivamente!

Somma degli angoli interni di un triangolo. Dal triangolo degenere a …

Ragazzi,

Non preoccupatevi se vi sembra che io corra un pochino, diciamo che mi porto avanti con il lavoro, noi faremo tutto con calma. Nel frattempo, so che più di uno di voi curiosa … e non è male!:-)

In questo post indaghiamo sulla somma degli angoli – interni - di un triangolo.

1^a attività:

- Disegnate su un foglio un triangolo qualsiasi, ciascuno di voi può anche disegnarne più di uno, di forma diversa.

- Indicate con il simbolo e con il nome ciascuno dei tre angoli del triangolo (o di ciascun triangolo). Potete anche denominarli come i vertici del triangolo (angolo A, angolo B, angolo C)

- Ritagliate i tre angoli, non  ha importanza il punto di “taglio” sul triangolo, né il “contorno” del taglio (potete anche ritagliare a mano) purché otteniate i tre angoli ben distinti.

- Accostate ora i tre angoli riunendoli in un unico vertice, cioè vertice angolo A, vertice angolo B e vertice angolo C devono congiungersi, incontrarsi in un unico punto.

- Osservate bene: riconoscete l’angolo formato dai tre angoli dei vostri triangoli? Ovvero:

- Qual è la somma degli angoli dei triangoli su cui avete lavorato?

Osservazioni e commenti …

2^a attività:

Una scheda di lavoro Geogebra, da eseguire on line (eventualmente fornirò il file a chi non riesce a lavorare da casa), già proposta sul blog.

Ho modificato l’applet, ripropongo dunque il link.  Sarete guidati passo a passo nelle fasi di una costruzione che vi porterà a ottenere un risultato simile (personalizzate!) a quello in figura. Clic su di essa!

3^a attività (dal testo La Matematica/la Geometria – Emma Castelnuovo):

Costruite un dispositivo mobile.

Su una tavoletta di dimensioni scelte a piacere piantate due chiodi A e B;

attorno ai chiodi passate un elastico;

con uno spago fissato nel suo punto di mezzo, tirate un ramo dell’elastico, in direzione perpendicolare alla congiungente i chiodi, l’altro ramo dell’elastico.

Si ottengono così tanti triangoli isosceli di base AB, fissa, e di vertice C variabile.

Questi triangoli hanno tutti la stessa base mentre l’altezza relativa alla base varia al variare della forza con cui è tirato l’elastico.

Studiamo gli angoli di questi triangoli al variare dell’altezza.

Immaginiamo di partire dal triangolo più grande che si può realizzare sulla tavoletta e di allentare a poco a poco lo spago:

osserverete che l’angolo al vertice C diventa sempre più grande, mentre gli angoli alla base A e B diventano sempre più piccoli.

Se dunque due angoli di un triangolo diminuiscono, il terzo aumenta; e viceversa.

Esiste perciò una relazione fra i i tre angoli del triangolo.

Quale sia questa relazione si può comprendere considerando i casi “limite”, cioè:

a) il caso in cui il punto C va a cadere sulla base

b) il caso in cui lo stesso punto C si allontana indefinitamente dalla base.

Il primo caso potete verificarlo con la vostra tavoletta: man mano che il vertice C si avvicina alla base, gli angoli A e B tendono a 0° (tendono a zero) mentre quello al vertice C tende a un angolo piatto; la somma degli angoli tende perciò a un angolo piatto.

Per il secondo caso immaginate col pensiero che la distanza del vertice C dalla base aumenti all’infinito: gli angoli alla base, A e B, tendono ad angoli retti, mentre l’angolo al vertice C tende a 0° (tende a zero); anche in questo caso, dunque, la somma degli angoli tende a un angolo piatto.

E ora…

l’esperienza della tavoletta riportata su geogebra.

Ah.. devo spiegare la seconda parte del titolo del post: “Dal triangolo degenere a…”

Sappiate che è chiamato degenere un triangolo avente un angolo di 180° e gli altri due angoli di ampiezza 0°. E’ il primo dei casi limite visti sopra. Un lato misura quanto la somma degli altri due: graficamente, il triangolo risulta essere un segmento.  Così:

Si può considerare come "triangolo degenere" anche il triangolo del secondo caso limite, quello con il vertice C che sta "all'infinito".

In questo caso si parla piuttosto di triangolo ideale, ha un vertice all'infinito e gli altri due vertici hanno angoli retti: il triangolo risulta essere una striscia di lunghezza infinita.

Osservate tutto questo nell’animazione con geogebra, da cui è tratta l’immagine sopra. CLIC_QUI!

Ragazzi:

c’è anche un’altra simpatica attività sulla somma degli angoli di un triangolo.

Ce la ricorda nel suo articolo gemellino di questo, il prof. Popinga, ormai anche vostro amico. Andate a leggere, c’è anche l’illustrazione!

grazie Pop:-)

Attività Angolo_01

Nell’ambito dell’attività

proposta su questo post

chiedevo ai ragazzi  … (leggi in figura)

Gabriele ha operato nel modo seguente (gli strumenti utilizzati sono indicati nell’immagine dal simbolo del cursore):

Con lo strumento Segmento di data lunghezza da un punto ha costruito su ciascun vertice dei due angoli due segmenti di determinata lunghezza (es:1).

La procedura posiziona orizzontalmente il segmento costruito, per cui Gabri ha dovuto ruotare manualmente i due segmenti per posizionarli sui lati degli angoli.

Con lo strumento Distanza o lunghezza, ha misurato la distanza tra i due estremi dei segmenti posti sui lati degli angoli.

Le distanze erano uguali per entrambi gli angoli, ma…

per poterle ottenere perfettamente uguali, ha dovuto prestare molta attenzione, spostare più volte, gli estremi dei segmenti sui lati …

In classe non abbiamo ancora discusso il lavoro di Gabri.

In verità ho appena fatto in tempo, si smantellava…,  a far notare, per ora solo a Gabri che essendo troppo curioso, non ha voluto aspettare …

che:

per ottenere la posizione dei due estremi dei segmenti perfettamente identica sui lati di entrambi gli angoli, avrebbe potuto utilizzare lo strumento Circonferenza dati centro e raggio e segnare poi l’intersezione di due oggetti.

Dunque, o belli, ecco l’aiuto per … fare! :-)

Rette incidenti e angoli

Questo post può dirsi curato da tutti i ragazzi della II. Ehmm... quasi! Qualcuno sostiene che scrivere è ... di troppo! Ma solo quando ha poca voglia!:-)

Le rette incidenti

Il nostro studio della geometria va avanti!
Abbiamo visto le posizioni reciproche di due rette sul piano (quelle complanari, cioè che giacciono sullo stesso piano).
Interessanti sono state le rette incidenti: si dicono incidenti due rette a e b che giacciono sullo stesso piano e hanno un punto P in comune:

Abbiamo osservato che le rette incidenti generiche formano degli angoli, la cui misura è inferiore o superiore a 90°, rispettivamente acuti e ottusi.
[Diciamo generiche perché le rette possono essere incidenti ma particolari: sono quelle che incontrandosi formano 4 angoli ma tutti uguali, tutti di 90°, cioè retti. Queste rette si chiamano perpendicolari].
I 4 angoli sono uguali a due a due.
La prof ci ha assegnato un’attività, in modo da dimostrare questa proprietà.
Noi l’abbiamo svolta sulla carta e abbiamo proceduto in questo modo:
• abbiamo tracciato delle rette incidenti;
• abbiamo segnato con due numeri gli angoli che già ci sembravano uguali, abbiamo anche misurato con il goniometro i gradi di ogni angolo (la prof non lo aveva chiesto e ha detto: bravi!);
• abbiamo ritagliato il disegno in maniera circolare, pensando che fosse la soluzione migliore per fare coincidere gli angoli;
foto con cellulare:

• infine abbiamo ritagliato tutti gli angoli e li abbiamo sovrapposti a due a due.
foto:

Come vedete, al momento di sovrapporre gli angoli ci siamo preoccupati perché le parti ritagliate non erano uguali, e pensavamo di aver sbagliato l’esercizio.
L’abbiamo fatto vedere alla prof e lei ha esclamato che era giusto e che non avevamo fatto alcun errore.
A quel punto, la prof ci ha chiesto dapprima perché avessimo ritagliato in quel modo, forma di cerchio, gli angoli. Abbiamo detto di aver fatto così per farli proprio coincidere.
Quindi ci ha chiesto che cosa fosse, per noi, un angolo.
Tutti abbiamo detto che era il punto di incrocio di due rette; ma l’idea che avevamo noi era sbagliata.
La prof ha fatto un disegno alla lavagna: ha tracciato due semirette (ricordiamo che le semirette sono quelle linee rette che hanno un’origine ma non una fine) che partivano da uno stesso punto.

Ci ha detto: in quante parti ho suddiviso il piano (della lavagna)?
Noi: in 2 parti
- Bene, queste due parti si chiamano angoli! Ora ripeto la domanda: che cos'è un angolo?
Noi con un po’ d’incertezza arriviamo a una prima versione che si avvicina molto alla definizione reale.
La definizione approssimativa è: l’angolo è la parte infinita del piano formata da due semirette che hanno in comune l’origine.
Allora ci richiede: quanti angoli vedete alla lavagna? Noi di nuovo rispondiamo 2.
E allora riusciamo ad arrivare a questa conclusione:
l’angolo è ciascuna delle due parti infinite del piano individuate da due semirette aventi l’origine in comune.
L’angolo quindi, altro che 1 punto. E' un’insieme infinito di punti!
La prof colora e scrive i nomi dei due angoli: convesso e concavo

La prof ci fa i complimenti, però ci dice che esiste un altro modo per definire gli angoli. Noi completamente persi non abbiamo un ispirazione.
Disegna una sola semiretta alla lavagna. Niente... Allora appoggia una penna sul banco: immaginatela una semiretta...
Dopo alcuni secondi a Federico viene l’ispirazione, dice: muovendo la penna! E ruota la penna su se stessa. La prof fa i complimenti a Federico e manda Delia alla lavagna per fare il disegno: con una bacchetta di gesso lunghetta, il gesso muovendosi lascia la scia e così si vede l'angolo!

Quindi: una semiretta che si muove in un piano descrive un angolo.
Stiliamo [questa è Irene, diventata sofisticata nel linguaggio!:-)] un'altra definizione: l’angolo è quella parte di piano descritta da una semiretta che muovendosi nel piano, attorno alla propria origine, assume un'altra posizione.
Insomma, il nostro esercizio non era sbagliato ... le semirette sono infinite!

Bravi A., A., I., L., D., M., G., N., D., M. - II A:-)