Preparo una bella attività ...
Ma, ovviamente, SE qualche giovine di ‘prox-futura III’ dovesse cimentarsi: 10
Ecco il testo
In figura, il centro della circonferenza più grande, e, è il punto medio del lato di un triangolo equilatero e gli altri due lati del triangolo sono tangenti alla circonferenza stessa.
Se la circonferenza più piccola ha come raggio 1 unità,
qual è il raggio di quella più grande?
Naturalmente, clic per lavorare, guidati, sull'applet GeoGebra
Progetto Polymath
Ragazzi,
come da titolo del post, per prendere più confidenza con il piano cartesiano, utilizzare il sistema di riferimento cartesiano per costruire nientemeno che … segmenti e linee rette, ecc...,
comincio a segnalarvi dei materiali di lavoro già presenti sul blog, ma di cui ancora non abbiamo avuto modo di parlare.
Per sapere tutto, cliccate sull’immagine, leggete il post e scaricate! Per qualsiasi difficoltà tecnica, chiedete. Ma lasciate poi anche il resoconto nei commenti!
E comunque ... buoni giochi sulla neve!
Ragazzi ( I ),
E QUESTO.
Prima cliccate, osservate con attenzione e poi leggete qui.
Perché il prof. lo ha chiamato DNA del numero?
Il DNA (lo sapete?) è quella sostanza presente nelle cellule dei viventi dove sta scritto “tutto di noi”! (di tutti gli animali e delle piante). Avremo modo di conoscere bene il DNA!
L’albero del prof. Guzman possiamo anche chiamarlo l’albero genealogico del numero.
Mi sapete dire il perché?
- Io dico di sì: lo sapete dire!
PS: Già che ci siete, soffermatevi sul blog del Prof e dei suoi alunni, di prima media come voi. Dico un’altra cosa: c’è da scoprire delle cose divertentissime e utili! Buona esplorazione ...
Ragazzi, II,
ho da proporvi ancora un’interessante attività sui punti notevoli del triangolo.
Osservate la figura sotto. Ho preso in considerazione solamente l’ortocentro, il baricentro e il circocentro. Potete intravedere perpendicolari, mediane e assi dei lati. Ma sapete fare la costruzione!
La domanda è: riuscite a scoprire una correlazione tra i 3 punti? Una caratteristica che li accomuna?
E anche: in che rapporto stanno le distanze tra i punti?
Sull’applet che andrete ad aprire, agite sui vertici del triangolo per modificarne la forma, osservate con attenzione i tre punti: cambiano le loro posizioni ma... c’è un’invariante! Utilizzate gli strumenti di GeoGebra, provate qualcosa!
Se proprio non doveste riuscire, vi darò degli indizi per la ricerca...
Ma ora cliic! Su, a sperimentare!
Se volete, comunicate nei commenti le vostre scoperte o solo eventuali osservazioni, considerazioni, richiesta di chiarimenti o quant'altro!
[Aggiornamento]
Ebbene, caro Marco, stamane attività in classe!
giacché nessuno aveva letto il post ...
Abbiamo lavorato tutti insieme direttamente su GeoGebra (con la LIM). Veronica, e Bachisio, aiutati un po’ da altri, hanno costruito l’ortocentro, il baricentro e il circocentro.
Abbiamo nascosto gli oggetti superflui ai fini dell’attività e lasciati in evidenza solo i tre punti.
Mio invito all’osservazione mentre si muovono i vertici del triangolo e se ne varia la forma: possiamo dire qualcosa sui tre punti?
Da più parti si mormora: sono allineati. Qualcuno è invitato a tacere per dare spazio ...
Letizia nota però che il baricentro è il punto che rimane sempre al centro, tra il circocentro e l’ortocentro (e naturalmente è l’unico punto sempre interno al triangolo, ma questo già si sapeva)
Si torna all’allineamento: Gabriele, Francesco (e altri) dicono che si può costruire la retta passante per i punti. Naturalmente bastano due punti per definire una retta e infatti lo strumento di Geogebra è Retta per due punti. Si decide di farla passare per l’ortocentro e il circocentro.
Questo forse rassicura... ma l’insegnante (“diabolica”, Marco) chiede: ma come faccio ad essere certa che anche il baricentro è un punto della stessa retta?
Oh, ma presto detto...
Letizia: ma c’è lo strumento.
- Cioè? (da noi mai stato utilizzato, lo sottolineo ...)
E’ Relazione tra due oggetti 
Ok, Letizia fa clic sul baricentro e sulla retta e:
e brava Leti!
Ma c’è ancora Erica, che ha notato dell’altro.
Che volevi dire Erica?
- Volevo dire che la distanza tra ortocentro e baricentro è doppia di quella tra baricentro e circocentro.
Io sto per guardare male Erica: ma questi qua mi rubano le domande!
Naturalmente sono invece felicissima e mi complimento con Erica per l’occhio! Misuriamo le due distanze con Geogebra e... Erica ha ragione! (in figura i tre punti sono indicati con la relativa legenda, i nomi dei punti sono diversi)
Ora io armeggio con un vertice del triangolo e...
Cosa cerco di fare, ragazzi?
- Vuole far coincidere i tre punti
E in quale caso i tre punti coincideranno?
- Quando il triangolo è equilatero.
riusciamo a ottenere uguali a zero le distanze:
ok, bravi...
Ma, ma ...io insisto:
Che mi dite però della retta nel caso del triangolo equilatero?
Qui occorre qualche minuto di riflessione in più, qualche osservazione - guida in più.
Francesco dice: la retta passa per tre punti ma sembra passare per un solo punto!
I tre punti ora coincidono, quindi passa per un unico punto.
Ragazzi, dovete utilizzare informazioni che già avete!
Dopo qualche istante, Letizia, senza scomporsi, come suo stile: per un punto passano infinite rette.
Benissimo! Dunque la retta (di Eulero) non è definita nel caso del triangolo equilatero.
Oh, ho scordato di dire che prima dell’osservazione sul triangolo equilatero, ho detto ai ragazzi che la correlazione tra i tre punti notevoli è stata studiata da un grande matematico del ‘700, svizzero, che voi conoscete bene, o se lo conoscete! (ma ai ragazzi non cito mica post e lavori... Solo in un secondo momento li ricordano loro)
Ebbene: Gabriele, trova che si tratta di Eulero.
E a Gabriele viene pure in mente che mentre cercava in rete sui punti notevoli, da qualche parte ha letto della retta di Eulero!
- Insomma ho rischiato anche stavolta che Gabri mi soffiasse la lezione! Ma uno stupendo rischio, no?
Ragazzi di prima,
- sì, vi preparate per la verifica di mercoledì. Poi ...
...dopo tante operatività in N, diciamo che N non ci basta più! :-)
Infatti: arriva il momento di suddividere l’intero...
E voi cominciate a farlo con l’attività su GeoGebra che vado a proporvi. Aprirete l’applet cliccando sulla prima immagine (o Scaricate il .ggb). Potrete lavorare ancora sul quadrato e, in un secondo foglio di lavoro, su un rettangolo (vi indico cosa fare... Ho scordato però di chiedervi di indicare “matematicamente” la parte ottenuta con la suddivisione – ehi, LaTex, che dite? -).
Tutti insieme lavoreremo poi anche su altre figure (triangoli, cerchi... o segmenti, percorsi non necessariamente rettilinei, ecc. Meglio se proporrete voi ...)
In quali modi si può piegare un quadrato in quattro parti uguali?
Questo il quadrato (già pronto!) su cui lavorare. Avete disponibili gli strumenti...
P.S [aggiornamento]
ragazzi...
il prof.Popinga ha così commentato:
L’insieme Q
È l’insiem dei razionali,
con la virgola o le frazioni:
corrispondon alle divisioni
tra numeratore e denominator.
Diversamente dai naturali,
non si contan sulle dita:
si rischierebbe persin la vita
a far frazioni delle falang.
Proprio così: N non ci basta più ... ... per dividere come ci pare e piace!
Per cui: insieme Q (che sta per quoziente), dei numeri razionali (dal latino ratio: vuol dire ragione, in origine aveva il significato di “calcolo” (presente ancor oggi nel termine ragioniere, colui che fa i conti, i calcoli), e anche relazione, rapporto (matematico) quindi quoziente.
Vedremo, c’è da comprendere bene ... il numero razionale!
grazie prof. Popinga :-)
Ragazzi,
Possiamo calcolare, e visualizzare con i diagrammi di Eulero-Venn, il più piccolo dei multipli comuni a due o più numeri (mcm), ricorrendo ad una delle operazioni fra insiemi che noi conosciamo.
- Suggerisco perciò, in primo luogo un ripasso, una rivisitazione delle operazioni con gli insiemi: operazioni con insiemi_1 e operazioni con insiemi_2
- Comincerei perfino a fare qualche ipotesi su quale operazione insiemistica restituisca il mcm fra due o più numeri! Ricordate: cerco un multiplo, il più piccolo dei multipli comuni, gli elementi di un insieme vanno indicati una sola volta...
- Clic quindi sull’immagine_titolo qui sotto per aprire e lavorare sull’applet geogebra
Se occorre: scaricate il .ggb
Lavorate bene!
Ragazzi, (1ª)
osservate la figura
Ancora un bel fiore no? In Egitto, ad Abydos, nel tempio di Osiride, è stato trovato un disegno di geometria sacra, un disegno come questo, una circonferenza centrale a cui fanno da contorno sei circonferenze simmetriche. E’ conosciuto con il nome di Seme della vita.
E ora noi divertiamoci con una interessante attività sui
cerchi passanti per uno o più punti.
Cerchi per un punto.
Nell’applet su cui andrete a lavorare trovate, su un primo foglio di lavoro, la costruzione della figura “sacra” e le osservazioni su di essa. Naturalmente potrete aggiungere voi altri cerchi, tutti uguali, passanti per il punto A, magari cambiando la misura del raggio.
In un secondo foglio vedrete un altro insieme di cerchi, di diverso raggio, ancora passanti per uno stesso punto, come in figura:
Cerchi per due punti
Continuate l’attività costruendo dei cerchi passanti stavolta per due punti distinti. Così:
Cerchi per tre punti
Osservate la figura sotto. Sul foglio trovate le indicazioni per continuare la costruzione. Se precedentemente avrete saputo costruire i cerchi per due punti, sono certa che troverete la strada per costruire cerchi per tre punti!
Infine, in un ultimo foglio di lavoro avete …carta bianca! (e gli strumenti disponibili). Non ditemi che non vi incuriosisce la possibilità di costruire cerchi passanti per 4 punti! Sono certa che già avete in mente qualche esempio…
Clic sulla figura e,
buone costruzioni!
Link per Letizia, assente alla lezione e non riesce ad aprire l’applet.Clicca Q U I , Leti. Ciao!:-)
Ragazzi,
ripartiamo dall’attività precedente per approfondire l’indagine sulle figure simili.
Stavolta occorre parlare di …numeri! Se vogliamo essere precisi nell’ingrandimento e nella riduzione di figure, bisogna imparare a costruire una figura simile a una data secondo un certo rapporto.
Il rapporto di similitudine tra un poligono A e un poligono B può essere:
Comprenderete meglio naturalmente, aiutati da GeoGebra.
Sull’applet trovate diverse attività:
- costruzioni sulle quali agire per osservare proprietà varianti e invarianti;
- “adesso prova tu”: utilizzando gli strumenti a disposizione costruirete voi figure simili, guidati dagli esempi;
- un quesito per verificare la comprensione: utilizzando lo strumento Testo darete la vostra spiegazione;
- infine, si precisa il concetto di *omotetia*.
Due figure simili possono non essere omotetiche. Il termine omotetia deriva dal greco e significa “che ha la stessa posizione”. Per il modo in cui due figure simili sono costruite, non solo hanno la stessa forma ma hanno anche la stessa posizione: le coppie di lati corrispondenti sono parallele fra loro.
- Sarete guidati passo a passo anche alla costruzione di figure simili omotetiche.
Riflettete, utilizzate informazioni precedenti, cercate di porvi domande e di rispondere a quelle sollecitate!
Ma … andiamo a lavorare sull’applet!
L’immagine illustra il quesito… Clic su di essa. Avviate l’attività da m=0! :-)
E per la III....?
Béh per loro ancora un'attività ... costruttiva?
A partire da un poliedro "scomposto", ricostruire il poliedro in figura:
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