Siamo ripartiti!

Ragazzi,

nell’attesa dei vostri “racconti”, intesi come lavori, scoperte, creazioni ... ,

può esservi comodo, e anche per comunicarlo ai genitori, un riepilogo della nostra prima giornata di lezione, dopo quella del benritrovati!

    In entrambe le classi, II e III sez A, dopo esserci scambiati propositi, progetti, aspirazioni (ho ascoltato davvero dei bei “progetti”) , aver ricordato regole e stipulato patti (che sarà necessario, ogni tanto, rinfrescare...), aver sottolineato la straordinarietà di ciascuno di noi, che a volte un po’ più difficilmente affiora, perciò ripromessi di aiutarci l’un l’altro perché ciò avvenga,

siamo ripartiti con le nostre attività!

In II:

Ci si proponeva per domani (libro di testo!) la ripresa del calcolo con le frazioni. Però: con le frazioni. Ma con i numeri razionali!

  Si ... qualcuno dei ragazzi ha visto la mappa, pubblicata recentemente.

Quindi, la classe è ora più o diversamente eterogenea rispetto all’anno scorso, siamo ripartiti dall’esigenza di ampliamento dell’insieme N dei numeri naturali: per via di quelle divisioni non fattibili in N.

  Abbiamo ricordato: perché razionali? Origine del termine razionali: dal latino ratio come, abbiamo faticato un po’ ma ce l’abbiamo fatta, ragione, nel senso di rapporto, quoziente.

E ancora, infatti: l’insieme dei razionali viene indicato con  la Q maiuscola. Q sta per quoziente!

E poi abbiamo disegnato:

  che è un diagramma di Eulero-Venn e i signori Eulero e Venn non si sono neppure mai incontrati ... (vi invito a leggere QUESTO, ragazzi)

e abbiamo messo dentro: 2/3, 3/4, 18/8 (oppure 9/4 che è primitiva. “Sì sì, sono equivalenti, per l’invariantiva...”), ecc...

Ma abbiamo potuto mettere anche: 5, 8, ..... perché 5 = 5/1 e “tutti i naturali il denominatore, sottinteso, lo hanno: è l’1”, ma anche: 5 = 10/2, 15/3, ecc ... (su questo torneremo ancora).

E allora: N è un sottoinsieme di Q, N è incluso in Q, N ⊂ Q [per il momento va bene così] e:

 così possiamo sistemare meglio i numeri razionali! E tutti, o quasi, hanno sistemato qualche numero ...

Sull’argomento, non vorrei ricordare male, non abbiamo detto altro...

Perché volevamo divertirci con il Triangolo!

E lo abbiamo fatto anche in III

Capita la costruzione, son già venute fuori delle belle cosette:

in III:

1) il triangolo è simmetrico (richiami su simmetria... per i nuovi! Bravi eh: hanno sistemato correttamente le dita della mia mano che si specchiava...!) rispetto a un asse che lo taglia centralmente (simmetria assiale)

2) la seconda diagonale è costituita dalla successione dei naturali

(in terza non abbiamo avuto altro tempo)

In II:

punto 2 precedente

3) Marco D. ha ritrovato i numeri triangolari

4) Giovanni ha cominciato a dire che: di riga in riga si moltiplica per due. Questa dobbiamo puntualizzarla...

5) Beatrice cominciava a vedere le potenze di 11

Fine dell’ora!

Io aspetto lavori che certifichino le scoperte!

Mappa concettuale sui numeri razionali

In seconda,

dovremo riprendere, recuperare, sviluppare o verificare conoscenze e competenze sulle Frazioni e Numeri Razionali

Clic per ingrandire

elaborata da un gruppo di ricerca IPRASE

Sulle frazioni

Ragazzi della prima,

Come d’accordo vi segnalo alcuni materiali, per ripassare, consolidare, approfondire.

Non dovete fare tutto in una volta ma, tenere presente questo post!

Da Maestra Renata,

una bella mappa riassuntiva. Fate clic su immagine e leggete le indicazioni di maestra Renata

In particolare, esercitatevi con le Frazioni sulla linea dei numeri. Clic su img

Giocate un po’ anche con quest’altra applet geogebra. Troppo bella! Clic

 

Per quanto riguarda il calcolo con le frazioni, fate clic sull’immagine qui sotto

Di seguito le immagini di ciò che troverete. Tanto materiale. Vi spiegherò come utilizzare per il ripasso estivo o pre-riapertura scuola!

Da subito però:

Nella sezione Eserciziari risolti e schede operative, cliccate su Espressioni con le frazioni con addizioni e sottrazioni. Con il destro per salvare subito, oppure aprite e poi salvate sul vostro pc, un PDF - Raccolta di espressioni.

- Non mi dispiace se cliccate anche sulle Etichette di questo post!

... le frazioni!

Operare

con le frazioni.

Sull’applet geogebra dovete completare le figure e descrivere ciò che l’attività rappresenta. Vi serviranno gli strumenti Nuovo punto e Inserisci testo.

Clic su immagine

Sull’ampliamento di N: le relazioni dei giovini

Antonello, Erica, Gabriele, Giovanna, Letizia, Marcello, Maria Chiara e Veronica (ragazzi, rigoroso ordine alfabetico!)

hanno scritto sulla scoperta dei numeri razionali.

Qualcuno ha scritto sul quaderno e ho scannerizzato, altri su word e  copio-incollo  le parti più simpatiche! :-) Ecco i lavori:

 (l’affermazione sulla sottrazione non è proprio esatta... abbiamo chiarito) 

Ancora:

E:

“  E’….. con un po’ di fantasia e di logica che si possono intraprendere delle bellissime lezioni di matematica. [...]

….. chi poteva immaginare che proprio da questi curiosi quadrati si potesse introdurre un argomento così ampio e interessante! Beh…. se parliamo di suddivisione di interi non si può che pensare alle frazioni.

Vi diremo di più, l’uomo usava le frazioni fin da tempi antichi, infatti un papiro è stato ritrovato in Egitto e ora conservato in un famoso museo [Papyrus Rhind] . In effetti, l’uomo aveva molta necessità di allargare le mura dell’insieme N, se per esempio ad un uomo dell’antichità gli fosse capitato il problema seguente come avrebbe fatto senza le frazioni?

Un uomo aveva 4 figli e tre terreni e doveva lasciare l’ eredità in parti uguali a ciascun di loro. Come fa a dividerli? [...]

La frazione è un operatore che ci permette di dividere l’intero in parti uguali e considerarne alcune di esse. Ma la frazione è anche un numero: è il quoziente esatto della divisione, infatti, è più giusto dire 8/3, che il risultato della divisione 8:3 (la frazione è il quoziente esatto della divisione fra due numeri naturali qualsiasi).

... Le frazioni equivalenti, non sono solo quelle con numeratore e denominatore uguale, ma sono tutte quelle dove il numeratore diviso per il denominatore diano tutte uno stesso numero [...]”

“Partendo dalla suddivisione dell’intero in parti uguali.... Abbiamo diviso un quadrato in 4 parti uguali, poi siamo passati al rettangolo e così via, fino a quando la professoressa ci ha chiesto di dare un nome ad ogni parte di quadrato/rettangolo/… .

Quando abbiamo dato la risposta, la professoressa era contenta perché era esatta: ogni parte di quadrato/rettangolo/… era ¼ di rettangolo (cioè il rettangolo diviso in 4 parti di cui è stata presa una parte) che si chiama anche unità frazionaria.

Da quel “¼” , considerando tutto l’ intero abbiamo scoperto che frazioni come 1/1, 2/2, 3/3, 4/4, 5/5,…… sono equivalenti e valgono 1; infatti si può formare un insieme con queste frazioni, che viene detto una classe di equivalenza. Esistono però altre classi di equivalenza come per esempio le frazioni che valgono 2: 2/1, 4/2, 6/3, 8/4, 10/5, …… e ogni numero razionale è una classe di equivalenza.

L’insieme di tutte le classi di equivalenza si chiama Q o dei numeri razionali, e N è incluso in Q .

Abbiamo anche scoperto che una frazione è un quoziente esatto, per esempio se io faccio 4:3 il risultato sarà: 1,33333333333333….. questo risultato non è esatto perché dobbiamo approssimare; se invece dico 4/3 so che questo è il quoziente esatto di 4:3.

Per questo sono state inventate le frazioni: per dare alle divisioni un risultato perché prima non si conosceva la virgola, infatti un numero con la virgola è più difficile da capire di una frazione. “

Costruzione delle classi di equivalenza

Ragazzi,

abbiamo visto le classi di equivalenza. Quegli insiemi, infiniti, di frazioni equivalenti, ciascuno dei quali è un numero razionale: una classe di equivalenza <--->un numero razionale.

Cioè: più rappresentazioni, come frazione, dello stesso numero razionale.

L’insieme dei razionali, dunque, l’inseme Q è costituito da tutte le classi di equivalenza, dall’insieme delle classi di equivalenza.

Eh, fermiamoci solo un attimo: Un insieme, Q, infinito, i cui elementi sono degli insiemi, infiniti ... ancora una volta incontriamo ...l’infinito!

E ora, vediamo:

le classi di equivalenza sono insiemi infiniti. Come abbiamo fatto con i numeri naturali (N), infiniti, possiamo rappresentarle mediante un ente geometrico, infinito naturalmente: la retta.

Precisamente:

ogni classe di equivalenza può essere rappresentata come una retta, passante per l'origine degli assi cartesiani, che passa per ogni coppia ordinata che rappresenta quel numero razionale.

Ricordate le coppie ordinate? Ricordate il prodotto cartesiano? (fate clic sui link!)

In questo caso le coppie ordinate in questione le possiamo rappresentare così:

$(a,b) ---->  \frac{ a }{b} \,=\,\frac{k*a }{k*b }$

il numero k è un naturale qualsiasi (proprietà invariantiva, vero?).

Il sistema di riferimento cartesiano ci aiuta nella rappresentazione grafica delle classi di equivalenza.

Vediamola. Clic sull’immagine per aprire l’applet geogebra.a)  Tutte le rette (tranne quella numerica, dei naturali e ...) passano per l’origine degli assi cartesiani;

b) ogni punto di ciascuna retta ha per coordinate una coppia ordinata di valori che corrisponde a:

 $(a,b) ---->  \frac{ a }{b} \,=\,\frac{k*a }{k*b }$ (a/b = k*a/k*b)

Come fare per ottenere la retta che rappresenta una classe di equivalenza?

Qualche esempio: volete rappresentare il numero razionale 3/5?

Sulla barra di inserimento digitate: x =3/5 y e, invio.

Per individuare – evidenziare dei punti che formano la retta:

digitate sulla barra di inserimento: (3, 5) e, invio; o anche (6, 10), invio. (Naturalmente anche il punto (1.5, 2.5) – ho diviso per 2 - farà pare della retta!) Ecc...

Volete rappresentare il numero razionale 4?

Sulla barra di inserimento digitate: x = 4 y

Per evidenziare dei punti sulla retta:

sulla barra di inserimento: (4, 1), O anche: (8,2), ecc...

Potete provare subito anche sull’applet.

Una lezione con la LIM: dalla suddivisione dell’intero... al numero razionale.

Non è una lezione “speciale” con la LIM (lavagna interattiva multimediale)

E’ soltanto una nostra normale lezione con la Lim, che utilizziamo da qualche mese nelle nostre normali attività.

Oggi ci è venuto in mente di salvare un PDF da condividere. Ci sono tutti i nostri scarabocchi, così come sono venuti, spontanei, in corso d’opera! Non siamo precisini, ordinatini... ma a noi pare importante il fatto che ci siamo tutti!

Il tema è l’ampliamento di N, insieme dei numeri naturali, alla scoperta dell’insieme Q, dei razionali.

Dalla suddivisione dell’intero.... (nella suddivisione del quadrato in parti uguali ci siamo poi sbizzarriti !)

Clic sulla figura per scaricare il PDF (al quale ho aggiunto qualche nota esplicativa...)

Ehi, o belli: la relazione ...resta assegnata! :-)

La frazione è anche un numero

La frazione esprime un quoziente fra due numeri.
Giacomo ci "racconta" ....

Abbiamo visto in tanti problemi che la frazione funziona come "operatore" sulle grandezze o sulle loro misure.
Oggi la prof ci ha presentato un altro problema. Ci ha detto che questo tipo di problemi è stato ritrovato in uno dei più antichi documenti scritti [il Papyrus Rhind], un papiro egiziano del 1600 a.C.
Uno di questi problemi parla di divisione di 7 pani fra due persone.
L'uomo con i numeri naturali riusciva facilmente a eseguire una divisione, per es. 6 pani fra 3 persone: dava 2 pani ad ogni persona.
Ma noi sappiamo già che la divisione non sempre si può fare nell'insieme N.
E quando si è presentato il problema di 7 pani fra 2 persone?
La prof ci ha chiesto come avremmo risolto noi quel problema.
Io ho proceduto così:

Ho preso i 7 panini e ognuno di essi l'ho diviso per 2 e a ogni persona ho dato la metà di ciascun pane, cioè ½. In seguito ho addizionato ogni 1/2 che la persona riceveva e come risultato ho ottenuto 7/2: è la parte che spetta a ogni persona.
Un altro problema che ci ha dato la professoressa:
un uomo doveva dividere i suoi 3 appezzamenti di terreno ai suoi 4 figli. Come fare?
Il procedimento cosi:

Ho preso i 3 appezzamenti e li ho divisi per il numero dei figli cioè per 4, in seguito ho addizionato ogni ¼ di appezzamento e sono arrivato alla conclusione che a ogni figlio spettava ¾ di appezzamento di terreno.
Abbiamo scritto alla lavagna le due divisioni con i risultati:
7 : 2 = 7/2
3 : 4 = 3/4
Le frazioni 7/2 e 3/4 sono i quozienti delle due divisioni.
Quindi possiamo dire che la frazione è un numero: è il quoziente tra due numeri interi. Con le frazioni l'uomo ha scoperto nuovi numeri.
Bene, Giacomo. Dobbiamo ancora approfondire la conoscenza di questi nuovi numeri!