lunedì 31 maggio 2010

Problemini matematici

Ragazzi,

[aggiorno...]

siamo quasi in chiusura ormai ... Su, su!

... ci siamo divertiti a risolvere i seguenti simpatici problemini, proposti da un amico blogger che ORA vi svelo! :-)

Clic sull’immagine per andare al post...

image

grazie, .mau.:-)

Rendiconto brevemente:

1) risolto collettivamente con le “semplificazioni”; per gli altri problemi si è passati alle riflessioni individuali.

2) è stata data la risposta: 0,11; per la risposta corretta è stata necessaria qualche sollecitazione in più. Risolto in un secondo momento dopo aver analizzato il 5° problema;

3) risolto in tempi leggermente diversi da molti alunni;

4) come il precedente, risolto, tempi diversi, da quasi tutti;

5) Domanda stimolo: – Cesare, cosa vi ricorda? Risposte: – Antica Roma, i Romani...  Quindi dapprima cautamente, poi più convinti, fornita la risposta corretta.

Si riprende il n°2 facendo osservare una qualche attinenza con il n° 5, ricordando ... qualcosa che già conoscete fin dalle elementari ... già dal primo periodo del presente a.s. ....

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venerdì 28 maggio 2010

Frazioni e musica_2

Ragazzi,

probabilmente sapete già quanto di seguito leggete. In ogni caso... vi propongo anche qualche esercizio. Ma poi ditemi se sapevate esattamente così! :-)

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- Quando un pianista esegue un brano musicale, si siede al pianoforte, poggia lo spartito sul leggio e inizia a muovere le dita sulla tastiera. A volte un tasto viene appena sfiorato, altre volte le dita si appoggiano per un tempo più lungo, o invece non toccano nessun tasto.
Lo stesso accade per un violinista, quando fa vibrare le corde del violino con l’archetto.

  La durata dei suoni può avere valori diversi che si riferiscono tutti alla durata di una nota-intera. Questa nota-intera si indica con il simbolo  image  e dividendola a metà, poi ancora a metà e ancora a metà ... si ottiene la seguente successione di durata

IMAGE0001

A questi valori corrispondono le figure che si vedono sul pentagramma.

IMAGE0002Ora,

completate con i valori corrispondenti alle seguenti figure

IMAGE0004 Le ultime quattro figure, cioè quelle che rappresentano i valori a partire da 1/8, possono essere raggruppate e allora si uniscono con un trattino unico, così

IMAGE0005

A volte il compositore modifica la durata di una nota scrivendo un puntino e quel puntino vale la metà del valore della nota alla quale è stato aggiunto.

- Completate i valori delle note seguenti

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Ogni brano musicale è costituito da una successione di battute che sono contenute fra due sbarrette verticali e ogni brano ha un tempo che vale per tutte le battute e che è scritto all’inizio della composizione musicale.

IMAGE0008 

Riporto un esempio sotto. Il tempo è 3/4. Questo vuol dire che in tutte le battute la somma dei valori delle note rappresentate deve essere 3/4

IMAGE0009 1ª battuta :

la prima nota vale 1/4

la seconda nota vale 1/4 + 1/2*1/4 = 1/4 + 1/8 = 3/8

la terza nota vale 1/8

in totale si avrà 1/4 + 3/8 + 1/8 = 6/8 = 3/4

- Verificate voi il valore delle altre battute del brano!

Da La Matematica – Numeri,

Emma Castelnuovo

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giovedì 27 maggio 2010

Frazioni e musica

Ragazzi,

nel raccomandarvi i link di cui abbiamo detto, sulla barra a destra “in evidenza” per voi,

vi propongo ora un “per saperne di più”. Leggete e sperimentate!

- Certe volte, le frazioni ci sono, si usano, si “sentono”, e però non ce ne accorgiamo.

Le frazioni sono nella musica. image“do, re, mi, fa, sol, la, si” sono le note musicali; dove sono le frazioni? 

Pensate alla chitarra, al violino, al mandolino, .... Per produrre un suono con uno di questi strumenti si pizzica una corda: si vede allora la corda vibrare e, contemporaneamente, si ode un suono.

Il suono è vibrazione

Anche senza avere uno strumento musicale, ve ne potete rendere conto con un semplice esperimento: prendete un pezzo di spago sottile ma resistente, o meglio un filo di nylon, lungo circa 90 centimetri.

Fissatene una estremità, per esempio, alla maniglia di una porta, e, tenendo lo spago ben teso con la mano sinistra, pizzicatelo con la destra: sentirete un suono grave.

Adesso, tirate di più lo spago, e pizzicate ancora: il suono è più acuto del precedente.
Poi, partendo dalle condizioni della prima esperienza, riducete la lunghezza dello spago a 1/3,  fate cioè in modo che sia lungo circa 30 centimetri. Ripetete l’esperimento: udirete un suono più acuto di quello che si aveva con lo spago lungo.

Con questi esperimenti ci si rende conto che ci sono due modi per ottenere un suono più acuto: tendere lo spago di più o scorciarlo. 

Perché il suono risulta più acuto? Che cosa accade in questi due casi? Accade che aumenta il numero delle vibrazioni al secondo, e l’altezza del suono — essere grave o acuto — dipende dal numero delle vibrazioni.
Più questo numero è grande e più il suono è acuto.

Arriviamo adesso alla matematica attraverso esperimenti più precisi.
Prendiamo tante corde dello stesso materiale e ugualmente tese. Se sono della stessa lunghezza, quando le pizzico, per esempio nel punto di mezzo, odo lo stesso suono; ma se una corda è più corta, il suono risulta più acuto. 

Partiamo da una corda AB

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se la riduco esattamente a metà ho la corda CD

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e accade che il numero delle vibrazioni diventa esattamente il doppio (si può misurare con degli apparecchi speciali). Bene, il suono che si ode è più acuto di quello dato da AB, ma dà la stessa sensazione sonora: è un suono “uguale”.
Se poi si divide CD a metà, il suono prodotto da questa corda è ancora più acuto, ma, anche questa volta, del tutto simile ai precedenti.
Insomma, se si prendono lunghezze della corda uguali a:

1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...

il suono sarà sempre simile, ma via via più acuto: si ottiene sempre la stessa nota.

Ora invece, scorciamo la corda ma senza dividerla proprio a metà; facciamone per esempio i 2/3

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otterremo la corda EF

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Ripetiamo l’esperimento: si produrrà un suono che dà una sensazione diversa da quella di prima.
Se poi dividiamo a metà la corda EF, e poi ancora a metà, e così via, si otterrà una serie di suoni simili fra loro, più o meno acuti: è un’altra nota.
”Scorciare la corda in modi diversi” — si è detto. E chiaro che potrei scorciarla a piacere, e avere così infinite note. Ma l’orecchio umano non distinguerebbe tutti questi suoni. 

Si è trovato che basta scorciare la corda in 7 modi diversi per avere sensazioni sonore diverse. Alle 7 lunghezze della corda corrispondono 7 diversi numeri di vibrazione della corda, e, dunque, 7 suoni diversi: le 7 note musicali. Si va di 7 in 7, di ottava in ottava.

Suonando la lira, nel 500 a.C., imagePitagora aveva scoperto questo, anzi... molto più di questo: aveva scoperto la scala naturale.  La scala naturale è composta di 7 suoni diversi, cioè di 7 note che furono poi chiamate do, re, mi, fa, sol, la, si. Queste note corrispondono a determinate lunghezze della corda. Ecco come si ottiene il re: se il do di un’ottava, cioè di una certa altezza, si ottiene da una corda lunga “1”, il re si ottiene da una corda lunga gli 8/9 della corda che dà il do

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 image

Ciò significa che il numero delle vibrazioni della corda che da il re è i 9/8 del numero delle vibrazioni del do (ricordatevi: se scorcio la corda, il numero delle vibrazioni aumenta, e precisamente se la corda diventa la metà, il numero delle vibrazioni raddoppia; se diventa un terzo, il numero delle vibrazioni triplica; se diventa gli 8/9, il numero delle vibrazioni diventai i 9/8)

Per ottenere il mi, partendo sempre dalla corda “1” corrispondente al do, bisogna prenderne i 4/5

image

image

Il mi corrisponde dunque a un numero di vibrazioni uguali ai 5/4 delle vibrazioni del do.

Ecco le sette note con indicato, in corrispondenza, il numero delle vibrazioni: 

note

do

re

mi

fa

sol

la

si

n° vibraz.

1

9/8

5/4

4/3

3/2

5/3

15/8

Le frazioni vanno via via aumentando (mentre le lunghezze delle corde diminuiscono e diventano 8/9, 4/5, 3/4, ...) e questo vuol dire che i suoni diventano via via più alti. 

Abbiamo confrontato tutte le note con il do e, per semplicità, abbiamo fissato uguale a 1 il numero delle vibrazioni del do. Ma, per convenzione, tutte le note si riportano al la, al suono cioè che si ottiene pizzicando una corda di lunghezza tale da compiere 440 vibrazioni al secondo.

Allora, il numero delle vibrazioni delle altre note sarà (tenete presente il quadro delle note e del numero di vibrazioni che abbiamo scritto prima):

do = 3/5 * 440 = 264

re = 9/8 do = 9/8 * 264 = 297

mi = 5/4 do = 5/4 * 264 = 330

fa = 4/3 do = 4/3 * 264 = 352

sol = 3/2 do = 3/2 * 264 = 396

la = 440

si = 15/8 do = 15/8 * 264 = 495

Molti secoli sono passati dal tempo di Pitagora che è stato il primo a capire la relazione musica-numero.image Variazioni e perfezionamenti sono stati apportati alla scala naturale, ma lo stretto rapporto fra musica e numero rimane sempre.  Quando suonate la chitarra, assieme al suono, voi, senza accorgervene, fate della matematica!

Da La Matematica – Numeri,

Emma Castelnuovo

Per il lettori più amanti della storia, QUI un contributo: uno scritto tratto da “Vita di Pitagora” di Bernardino Baldi ... – 1887.

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lunedì 24 maggio 2010

Poligoni equiangoli

Tempo fa Daniele Gouthier ha proposto su Pi Greco Quadro uno dei suoi interessanti problemi:

Figure equiangole

Sostanzialmente Daniele chiedeva di indagare sulla relazione tra numero di lati di una figura equiangola e ampiezza dei suoi angoli. La quale ampiezza risponde sempre alla formula (n-2)/n * 180°, con n = numero di lati della figura.

“... Cosa sappiamo dire di una figura equiangola che abbia come angolo una frazione qualsiasi di 180°?

Ovvero: che figura compare se impongo che tutti i suoi angoli valgano p/q 180° (dove p/q è una frazione a piacere)?”

Nel post di Daniele avevo fatto la mia ipotesi che riporto qui servendomi di un’applet geogebra.

Clic sulla figura.

image

Io, di più non so :-) Qualche lettore interessato?

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domenica 23 maggio 2010

Ciao, Martin Gardner

Ho appena appreso da Gli Studenti di oggi.

Per ricordare il “matematico, illusionista, filosofo e divulgatore statunitense, autore per molti anni della rubrica “Mathematical Games” sulla rivista “Scientific American”, autore di testi (oltre 65 libri) e innumerevoli articoli che hanno dato contributi significativi in diversi ambiti, quali matematica, letteratura, filosofia, religione...” [dalla collana Sfide Matematiche]

vi propongo, ragazzi, da Viaggio nel tempo e altre stranezze matematiche – Martin Gardner -

un simpatico problemino. Leggete e osservate

IMAGE0001

Ragazzi, poiché non dev’essere una fatica, vi aiuto con la seguente

IMAGE0001 - Copia

Martin Gardner sul questo blog ci ha fatto compagnia altre volte. Ciao, Martin.

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sabato 22 maggio 2010

Continuiamo a parlare di Q!

Maria Chiara si gode davvero lo sviluppo del tema! :-)

E ci dice...

Sviluppando il discorso sull’insieme Q, abbiamo scoperto cose nuove e meravigliose [che esagerata :-)]. Ora racconto com’è andata.

Antonello, nella sua relazione, ha voluto sottolineare il fatto che N è sottoinsieme di Q,

image

nel suo insieme scriveva come vedete, frazioni come 16/4, 2/4, 3/18, 3/9, ecc.. La professoressa, osservandolo ha notato le frazioni e ha detto: “Scusate ragazzi ma anche voi avreste scritto 16/4, 2/4, 3 /18 ecc..?”.

Pier Paolo ha parlato pronunciando un no secco [e te pare, Pier Paolo! :-)] e poi ha detto, “io per esempio avrei scritto 1/3 anziché 3/9, e poi al posto di 2/4, 1/2 e via dicendo”, infatti, era proprio la risposta esatta perché, ci ha ripetuto la prof, sono queste le frazioni “rappresentanti” la classe di equivalenza, cioè il numero razionale.

Tanto che, come si chiamano frazioni come 1/6, 1/3, 7/2, 11/18 ? Sono chiamate tutte frazioni primitive. Abbiamo scoperto anche quando una frazione è primitiva: quando il numeratore e il denominatore sono primi fra loro (quando non hanno più fattori in comune) . E…. visto come si collegano i vari argomenti? “Primi fra loro”, un concetto incontrato nella divisibilità.

Così, rispettando questa regola, abbiamo iniziato a elencarne molte, per esempio: 8/7, 7/6, e anche 220/19, 345/2, 99/20.

A sentire ciò, la professoressa è rimasta un po’ stupita e ha esclamato: “stranamente siete portati a fare degli esempi… con una caratteristica comune, a me ne sarebbero venuti altri …” Beh! Si può vedere anche dagli esempi elencati: tendiamo a mettere il numeratore più grande del denominatore.

Come mai?, ci chiedeva la prof. Gabriele ha detto che forse, dato che la frazione è una divisione, siamo abituati, in genere, al dividendo più grande del divisore, quindi… La prof ha detto che certamente, poteva essere un buon motivo.

La prof ci ha chiesto che cos’era per noi la frazione. Cosa voleva dire “frazionare”. Abbiamo detto che significava dividere (l’intero).

E quindi dividendo cosa ottengo, rispetto all’intero?

Delle parti più piccole, delle parti dell’intero!

Così ci ha indicato:

rappresentate i 6/5 di un nastro.

Ecco: image

 devo prendere più dell’ intero! Non è bastato solo un nastro per prendere le sei parti dovute, quindi devo prendere l’intero più un altro quinto.

Mentre se noi prendiamo i ¾

image

Abbiamo preso una parte, una frazione dell’intero.

Quindi 3/4 , come 2/3, 5/8, ecc… sono vere frazioni!

   E ora arriva la parte più simpatica: non riuscivamo ad indovinare che nome dare alle frazioni ¾, ½ ecc.., quelle “una parte dell’intero”, e la professoressa che ci dava degli indizi per arrivarci: “ma scusate, che nome gli sta bene se queste frazioni sono veramente una parte dell’intero…. e ad un certo punto, Letizia interviene dicendo proprie! Immaginate che la professoressa dalla soddisfazione per essere arrivati alla risposta giusta, ha dato parecchie sculacciate a Letizia (naturalmente piano e scherzando) [per la verità la prof gliele ha date perché l’avevano fatta penare… :-)] poi se quelle erano proprie, i 6/5 ecc… erano improprie e le altre, come 10/5, 16/4, ecc... prima che finisse l’ora, siamo riusciti a dire che si chiamano apparenti (il termine esatto lo ha detto Giada)

Brava Maria Chia’! :-)

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venerdì 21 maggio 2010

[Segnalazioni] Correzione guidata prove INVALSI 2009-2010 Matematica Prima Media

Ragazzi di prima,

Da Osmosi delle idee potete scaricare un PDF con le correzioni guidate della prova Invalsi che recentemente avete affrontato. Clic sulla figura, da prof Daniele troverete il link al documento.

image

Grazie prof Daniele

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domenica 16 maggio 2010

Sull’ampliamento di N: le relazioni dei giovini

Antonello, Erica, Gabriele, Giovanna, Letizia, Marcello, Maria Chiara e Veronica (ragazzi, rigoroso ordine alfabetico!)

hanno scritto sulla scoperta dei numeri razionali.

Qualcuno ha scritto sul quaderno e ho scannerizzato, altri su word e  copio-incollo  le parti più simpatiche! :-) Ecco i lavori:

IMAGE0001 IMAGE0002(l’affermazione sulla sottrazione non è proprio esatta... abbiamo chiarito) IMAGE0003

Ancora:

IMAGE0004

E:

  E’….. con un po’ di fantasia e di logica che si possono intraprendere delle bellissime lezioni di matematica. [...]

….. chi poteva immaginare che proprio da questi curiosi quadrati si potesse introdurre un argomento così ampio e interessante! Beh…. se parliamo di suddivisione di interi non si può che pensare alle frazioni.

Vi diremo di più, l’uomo usava le frazioni fin da tempi antichi, infatti un papiro è stato ritrovato in Egitto e ora conservato in un famoso museo [Papyrus Rhind] . In effetti, l’uomo aveva molta necessità di allargare le mura dell’insieme N, se per esempio ad un uomo dell’antichità gli fosse capitato il problema seguente come avrebbe fatto senza le frazioni?

Un uomo aveva 4 figli e tre terreni e doveva lasciare l’ eredità in parti uguali a ciascun di loro. Come fa a dividerli? [...]

La frazione è un operatore che ci permette di dividere l’intero in parti uguali e considerarne alcune di esse. Ma la frazione è anche un numero: è il quoziente esatto della divisione, infatti, è più giusto dire 8/3, che il risultato della divisione 8:3 (la frazione è il quoziente esatto della divisione fra due numeri naturali qualsiasi).

... Le frazioni equivalenti, non sono solo quelle con numeratore e denominatore uguale, ma sono tutte quelle dove il numeratore diviso per il denominatore diano tutte uno stesso numero [...]”

Partendo dalla suddivisione dell’intero in parti uguali.... Abbiamo diviso un quadrato in 4 parti uguali, poi siamo passati al rettangolo e così via, fino a quando la professoressa ci ha chiesto di dare un nome ad ogni parte di quadrato/rettangolo/… .

Quando abbiamo dato la risposta, la professoressa era contenta perché era esatta: ogni parte di quadrato/rettangolo/… era ¼ di rettangolo (cioè il rettangolo diviso in 4 parti di cui è stata presa una parte) che si chiama anche unità frazionaria.

Da quel “¼” , considerando tutto l’ intero abbiamo scoperto che frazioni come 1/1, 2/2, 3/3, 4/4, 5/5,…… sono equivalenti e valgono 1; infatti si può formare un insieme con queste frazioni, che viene detto una classe di equivalenza. Esistono però altre classi di equivalenza come per esempio le frazioni che valgono 2: 2/1, 4/2, 6/3, 8/4, 10/5, …… e ogni numero razionale è una classe di equivalenza.

L’insieme di tutte le classi di equivalenza si chiama Q o dei numeri razionali, e N è incluso in Q .

Abbiamo anche scoperto che una frazione è un quoziente esatto, per esempio se io faccio 4:3 il risultato sarà: 1,33333333333333….. questo risultato non è esatto perché dobbiamo approssimare; se invece dico 4/3 so che questo è il quoziente esatto di 4:3.

Per questo sono state inventate le frazioni: per dare alle divisioni un risultato perché prima non si conosceva la virgola, infatti un numero con la virgola è più difficile da capire di una frazione.

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sabato 15 maggio 2010

Regolarità nei multipli di numeri consecutivi.

E’ il titolo che Gabriele ha dato alla sua relazione sull’ultimo problema proposto dal prof Daniele:

Un problema di precedenze

che ho girato per l’appunto a Gabriele (I A)! E lui ci racconta...

Oggi [ieri] a scuola la professoressa, mentre ero in III perché un nostro insegnante era assente, mi ha chiesto di risolvere un problema: dovevo trovare una regolarità tra i multipli di due numeri consecutivi n e (n+1) (dato che sono consecutivi).

Dovevo trovare coppie di multipli dei due numeri in modo tale che il multiplo del più grande fosse un numero precedente a un multiplo del più piccolo. Cioè il numero più alto della coppia è multiplo del numero più piccolo (n) e il più basso, multiplo del numero più grande (n+1).

La professoressa mi ha consigliato di prepararmi delle coppie di numeri consecutivi bassi, di trovarmi un bel po’ di multipli dei due numeri delle coppie e di evidenziare i multipli che dovevo considerare, quelli che rispettavano la proprietà.

Ad esempio, coppia di numeri: 2, 3

multipli di 2: 0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20; 22; 24; 26; 28; ….

multipli di 3: 0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; ….

Dopo questo mi sono preparato una tabella come questa:

Tra 2 e 3 ci sono le coppie:

3 multiplo di 3, 3=3*1;   4 multiplo di 2, 4=2*2

9 multiplo di 3, 9=3*3;    10 multiplo di 2, 10=2*5

15 multiplo di 3, 15=3*5;   16 multiplo di 2, 16=2*8

21 multiplo di 3, 21=3*7;   22 multiplo di 2, 22=2*11

Continuando così. E ho fatto così anche per altre coppie, es. 5 e 6; 6 e 7 …

La prima cosa che ho notato è che dopo la prima coppia di multipli, bisogna moltiplicare ogni numero della coppia per un fattore che si ottiene … lo spiego con l’esempio:

il 3 va moltiplicato per un fattore che aumenta sempre di 2 (unità)

il 2 va moltiplicato per un fattore che aumenta sempre di 3 (unità)

La prof mi dice che bisognerebbe trovare però anche una regola per ottenere la prima coppia. Perché poi ci servirebbe per scrivere magari una formula in Excel da trascinare…

Mi ha suggerito di controllare bene, per altre coppie di numeri consecutivi, la prima coppia dei multipli.

Ad es, per la coppia 3, 4 la prima coppia di multipli è:

9 multiplo di 3:  9 = 3*3

8 multiplo di 4: 8 = 4*2

Poi, come prima, bisogna sempre aggiungere 4 al fattore del 3 e 3 al fattore di 4…

Con la prof guardo attentamente i fattori 3 e 2 ... Come si possono ottenere? C’è una … parentela con i due numeri di partenza, 4 e 3?

…Trovato! Il 3 è 4-1 e il 2 è 3-1. Vale per tutte le coppie di numeri consecutivi!

Una volta scoperto questo la professoressa mi ha aiutato a scrivere la formula generale.

Per i multipli del numero n:

n*(1*(n+1) - 1)

n*(2*(n+1) - 1)

n*(3*(n+1) - 1)

e così via…

Per i multipli del numero (n+1):

(n+1)*(1*n - 1)

(n+1)*(2*n - 1)

(n+1)*(3*n - 1)

e così via….

Poi la prof mi ha chiesto: in Excel c’è un modo per ottenere la sequenza dei numeri naturali 1, 2, 3, ecc…?

Io mi sono ricordato di RIF.RIGA()

E, bravo Gabri, direi!

Così la prof ha completato con un foglio di lavoro Excel. Clic sull’immagine se si vuole scaricare. Basta digitare il numero n in cella A2. Si possono trascinare (copiare) le formule lungo le colonne C e D per ottenere altri multipli...

multiplisuccessivi 

Grazie, Prof Daniele!

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venerdì 14 maggio 2010

Costruzione delle classi di equivalenza

Ragazzi,

abbiamo visto le classi di equivalenza. Quegli insiemi, infiniti, di frazioni equivalenti, ciascuno dei quali è un numero razionale: una classe di equivalenza <--->un numero razionale.

Cioè: più rappresentazioni, come frazione, dello stesso numero razionale.

L’insieme dei razionali, dunque, l’inseme Q è costituito da tutte le classi di equivalenza, dall’insieme delle classi di equivalenza.

Eh, fermiamoci solo un attimo: Un insieme, Q, infinito, i cui elementi sono degli insiemi, infiniti ... ancora una volta incontriamo ...l’infinito!

E ora, vediamo:

le classi di equivalenza sono insiemi infiniti. Come abbiamo fatto con i numeri naturali (N), infiniti, possiamo rappresentarle mediante un ente geometrico, infinito naturalmente: la retta.

Precisamente:

ogni classe di equivalenza può essere rappresentata come una retta, passante per l'origine degli assi cartesiani, che passa per ogni coppia ordinata che rappresenta quel numero razionale.

Ricordate le coppie ordinate? Ricordate il prodotto cartesiano? (fate clic sui link!)

In questo caso le coppie ordinate in questione le possiamo rappresentare così:

$(a,b) ---->  \frac{ a }{b} \,=\,\frac{k*a }{k*b }$

il numero k è un naturale qualsiasi (proprietà invariantiva, vero?).

Il sistema di riferimento cartesiano ci aiuta nella rappresentazione grafica delle classi di equivalenza.

Vediamola. Clic sull’immagine per aprire l’applet geogebra.rette_classi eqa)  Tutte le rette (tranne quella numerica, dei naturali e ...) passano per l’origine degli assi cartesiani;

b) ogni punto di ciascuna retta ha per coordinate una coppia ordinata di valori che corrisponde a:

 $(a,b) ---->  \frac{ a }{b} \,=\,\frac{k*a }{k*b }$ (a/b = k*a/k*b)

Come fare per ottenere la retta che rappresenta una classe di equivalenza?

Qualche esempio: volete rappresentare il numero razionale 3/5?

Sulla barra di inserimento digitate: x =3/5 y e, invio.

Per individuare – evidenziare dei punti che formano la retta:

digitate sulla barra di inserimento: (3, 5) e, invio; o anche (6, 10), invio. (Naturalmente anche il punto (1.5, 2.5) – ho diviso per 2 - farà pare della retta!) Ecc...

Volete rappresentare il numero razionale 4?

Sulla barra di inserimento digitate: x = 4 y

Per evidenziare dei punti sulla retta:

sulla barra di inserimento: (4, 1), O anche: (8,2), ecc...

Potete provare subito anche sull’applet.

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mercoledì 12 maggio 2010

Una lezione con la LIM: dalla suddivisione dell’intero... al numero razionale.

Non è una lezione “speciale” con la LIM (lavagna interattiva multimediale)

E’ soltanto una nostra normale lezione con la Lim, che utilizziamo da qualche mese nelle nostre normali attività.

Oggi ci è venuto in mente di salvare un PDF da condividere. Ci sono tutti i nostri scarabocchi, così come sono venuti, spontanei, in corso d’opera! Non siamo precisini, ordinatini... ma a noi pare importante il fatto che ci siamo tutti!

Il tema è l’ampliamento di N, insieme dei numeri naturali, alla scoperta dell’insieme Q, dei razionali.

Dalla suddivisione dell’intero.... (nella suddivisione del quadrato in parti uguali ci siamo poi sbizzarriti !)

Clic sulla figura per scaricare il PDF (al quale ho aggiunto qualche nota esplicativa...)

InsQ_lim

Ehi, o belli: la relazione ...resta assegnata! :-)

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domenica 9 maggio 2010

Unità frazionarie: costruiamo e osserviamo...

Ragazzi,

Utilizziamo ora le “porzioni” dell’intero diviso in parti uguali, quelle che si chiamano unità frazionarie [no???], per ... costruire e osservare.

Cominciate lavorando con dei fiammiferi o degli stecchini tutti uguali.

Costruiamo un rettangolo che ha la base doppia dell’altezza.

Quanti fiammiferi usate per la base? quanti per l’altezza?

Quanti rettangoli potete costruire rispettando l’indicazione: base doppia dell’altezza?

Vi risulta sempre, se scrivo in simboli:  b = 2 * h?

Oppure anche: $h\,=\, \frac{ 1 }{ 2}\, *\,b$ ? [altezza = un mezzo della base]

Costruiamo un rettangolo che ha la base tripla dell’altezza

Quanti fiammiferi usate per la base? quanti per l’altezza?

Quanti rettangoli potete costruire rispettando l’indicazione: base tripla dell’altezza?

Vi risulta sempre, se scrivo in simboli:  b = 3 * h?

Oppure anche: $h\,=\, \frac{ 1 }{ 3}\, *\,b$ ? [altezza = un terzo della base]

Ho preparato un geogebra dove potete ottenere dinamicamente tanti rettangoli con base doppia o tripla dell’altezza.

E inoltre scoprire che la relazione tra base e altezza ci aiuta a cominciare a comprendere un concetto cui si è accennato in qualche occasione ...

E, nella nostra discussione in classe, scopriremo anche dell’altro!

Clic sulla figura e ...studiare! :-) [Per chi ha bisogno, scaricare il file.ggb]

basedoppiaaltezza

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venerdì 7 maggio 2010

Esercitazione prova Invalsi I media_3

Ragazzi,

ho predisposto una seconda scheda di aritmetica.

I 10 quesiti, tratti dal volumetto Preparati alla Prova Nazionale Invalsi - G. Flaccavento Romano, Fabbri Ed., riguardano ancora

Il Numero Il pensiero razionale Dati e previsioni

Clic sull’immagine per scaricare Invalsi_I_media_mat_2.xls

Scheda2Inval Come sempre, avrete il riscontro della vostra prova!

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giovedì 6 maggio 2010

Suddividi ancora l’intero

Ragazzi,

ben avviati i lavori sulle suddivisioni in parti uguali di forme ...varie, ora:

su carta quadrettata, quaderno o geogebra indifferentemente,  carta quadrettata

(o se preferite, utilizzate un righello)

disegnate 3 nastri rossi di uguale misura. Dividete:

- il primo nastro in due parti uguali

- il secondo nastro in tre parti uguali

- il terzo nastro in quattro parti uguali

Attenzione: nastri di ugual misura, parti uguali in ciascun nastro!

Mi piacerebbe avere una delle parti del bel nastro rosso! :-) ehmm.. potrei avere la parte più lunga possibile?

Devo scegliere la mia parte dal primo, dal secondo o dal terzo nastro, così come voi li avete suddivisi?

Potete indicarmi in termini matematici la porzione più conveniente?

Vi ricordo io che le “porzioni” così ottenute si chiamano unità frazionarie: indicano una delle n parti uguali in cui l’intero è stato suddiviso.

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lunedì 3 maggio 2010

Cominciamo a dividere l’intero ...

Ragazzi di prima,

 - sì, vi preparate per la verifica di mercoledì. Poi ...

...dopo tante operatività in N, diciamo che N non ci basta più! :-)

Infatti: arriva il momento di suddividere l’intero...

E voi cominciate a farlo con l’attività su GeoGebra che vado a proporvi. Aprirete l’applet cliccando sulla prima immagine (o Scaricate il .ggb). Potrete lavorare ancora sul quadrato e, in un secondo foglio di lavoro, su un rettangolo (vi indico cosa fare... Ho scordato però di chiedervi di indicare “matematicamente” la parte ottenuta con la suddivisione – ehi, LaTex, che dite? -).

Tutti insieme lavoreremo poi anche su altre figure (triangoli, cerchi... o segmenti, percorsi non necessariamente rettilinei, ecc. Meglio se proporrete voi ...)

In quali modi si può piegare un quadrato in quattro parti uguali?

quadrati_unità_fraz 

Questo il quadrato (già pronto!) su cui lavorare. Avete disponibili gli strumenti...

quadrati_unità_fraz.eserc

P.S [aggiornamento]

ragazzi...

il prof.Popinga ha così commentato:

L’insieme Q
È l’insiem dei razionali,
con la virgola o le frazioni:
corrispondon alle divisioni
tra numeratore e denominator.
Diversamente dai naturali,
non si contan sulle dita:
si rischierebbe persin la vita
a far frazioni delle falang.

Proprio così: N non ci basta più ... ... per dividere come ci pare e piace!

Per cui: insieme Q (che sta per quoziente), dei numeri razionali (dal latino ratio: vuol dire ragione, in origine aveva il significato di “calcolo” (presente ancor oggi nel termine ragioniere, colui che fa i conti, i calcoli), e anche relazione, rapporto (matematico) quindi quoziente.

Vedremo, c’è da comprendere bene ... il numero razionale!

grazie prof. Popinga :-)

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