Regolarità nei multipli di numeri consecutivi.

E’ il titolo che Gabriele ha dato alla sua relazione sull’ultimo problema proposto dal prof Daniele:

Un problema di precedenze

che ho girato per l’appunto a Gabriele (I A)! E lui ci racconta...

Oggi [ieri] a scuola la professoressa, mentre ero in III perché un nostro insegnante era assente, mi ha chiesto di risolvere un problema: dovevo trovare una regolarità tra i multipli di due numeri consecutivi n e (n+1) (dato che sono consecutivi).

Dovevo trovare coppie di multipli dei due numeri in modo tale che il multiplo del più grande fosse un numero precedente a un multiplo del più piccolo. Cioè il numero più alto della coppia è multiplo del numero più piccolo (n) e il più basso, multiplo del numero più grande (n+1).

La professoressa mi ha consigliato di prepararmi delle coppie di numeri consecutivi bassi, di trovarmi un bel po’ di multipli dei due numeri delle coppie e di evidenziare i multipli che dovevo considerare, quelli che rispettavano la proprietà.

Ad esempio, coppia di numeri: 2, 3

multipli di 2: 0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20; 22; 24; 26; 28; ….

multipli di 3: 0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; ….

Dopo questo mi sono preparato una tabella come questa:

Tra 2 e 3 ci sono le coppie:

3 multiplo di 3, 3=3*1;   4 multiplo di 2, 4=2*2

9 multiplo di 3, 9=3*3;    10 multiplo di 2, 10=2*5

15 multiplo di 3, 15=3*5;   16 multiplo di 2, 16=2*8

21 multiplo di 3, 21=3*7;   22 multiplo di 2, 22=2*11

Continuando così. E ho fatto così anche per altre coppie, es. 5 e 6; 6 e 7 …

La prima cosa che ho notato è che dopo la prima coppia di multipli, bisogna moltiplicare ogni numero della coppia per un fattore che si ottiene … lo spiego con l’esempio:

il 3 va moltiplicato per un fattore che aumenta sempre di 2 (unità)

il 2 va moltiplicato per un fattore che aumenta sempre di 3 (unità)

La prof mi dice che bisognerebbe trovare però anche una regola per ottenere la prima coppia. Perché poi ci servirebbe per scrivere magari una formula in Excel da trascinare…

Mi ha suggerito di controllare bene, per altre coppie di numeri consecutivi, la prima coppia dei multipli.

Ad es, per la coppia 3, 4 la prima coppia di multipli è:

9 multiplo di 3:  9 = 3*3

8 multiplo di 4: 8 = 4*2

Poi, come prima, bisogna sempre aggiungere 4 al fattore del 3 e 3 al fattore di 4…

Con la prof guardo attentamente i fattori 3 e 2 ... Come si possono ottenere? C’è una … parentela con i due numeri di partenza, 4 e 3?

…Trovato! Il 3 è 4-1 e il 2 è 3-1. Vale per tutte le coppie di numeri consecutivi!

Una volta scoperto questo la professoressa mi ha aiutato a scrivere la formula generale.

Per i multipli del numero n:

n*(1*(n+1) - 1)

n*(2*(n+1) - 1)

n*(3*(n+1) - 1)

e così via…

Per i multipli del numero (n+1):

(n+1)*(1*n - 1)

(n+1)*(2*n - 1)

(n+1)*(3*n - 1)

e così via….

Poi la prof mi ha chiesto: in Excel c’è un modo per ottenere la sequenza dei numeri naturali 1, 2, 3, ecc…?

Io mi sono ricordato di RIF.RIGA()

E, bravo Gabri, direi!

Così la prof ha completato con un foglio di lavoro Excel. Clic sull’immagine se si vuole scaricare. Basta digitare il numero n in cella A2. Si possono trascinare (copiare) le formule lungo le colonne C e D per ottenere altri multipli...

 

Grazie, Prof Daniele!

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