Spirale delle radici!

Appena ricevuta da Beatrice:

“Professore’ ho costruito la spirale delle radici su ggb seguendo le istruzioni del blog!!
Ciao!”

Clic per aprire l’applet. Con animazione o slider!

Sì sì, Bea hai seguito proprio bene le istruzioni. Brava!

Aggiungo la “chiocciola” di Davì

Non metto l’applet, ma ho controllato la costruzione: corretta! Bravo, Davì. Si impara, si consolida sempre qualcosa, a fare!

Il lato della bandiera! [Aggiornato]

Ragazzi,

I: dapprima, come d’accordo, dovete lavorare su... post sotto! Se poi volete, non è vietato cimentarsi su questo rompicapo  ?

II: ecco a voi!

La bandiera del Castello

Il signor Sarto deve fare una bandiera quadrata proprio uguale a quella grandissima che sventola sulla torre più alta del castello. Ritrova un foglietto dove aveva disegnato il modello della bandiera, ma non riesce a leggere tutte le misure e non può salire sulla torre per prendere le misure della bandiera.

Quanto misura il lato della bandiera?

Spiegate come può fare il signor Sarto per essere sicuro di non sbagliare.

10° Rally Matematico Transalpino ( anno 2002)

Come commentato... potete lavorare sfruttando:

- relazione lato - diagonale di un quadrato e relazione inversa [vi ricordo che sapete lavorare con le radici anche indicando il n° irrazionale, senza calcolarne il valore decimale ...]

- oppure lavorare per via “geometrica” ...  equi scomponibilità!

(quest’ultima via potrebbe essere utilizzata dai ragazzi della classe prima)

Aggiorno

Letizia e Maria Chiara (cl.II) hanno risolto il problema utilizzando la relazione diagonale-lato quadrato e hanno saputo eseguire passaggi matematici con le radici ....

In classe abbiamo risolto anche con il metodo di equiscomposizione.

Le ragazze hanno riportato le soluzioni su un foglio GeoGebra.

Ormai sono brave con slider e “condizioni per mostrare oggetto”, ma devo dire che mi diventano brave anche con il LaTex! Sono proprio contenta!

Clic su immagine (scelta apposta...)

- Anche in prima stamane abbiamo lavorato su questo problema: direi che sono stati bravissimi!

Giustamente, lo dicevano in un commento, “ho trovato un metodo ma ... non è da prima media” !

Infatti ragionavano sulla diagonale di un quadrato ... Non sapevano perciò andare avanti con le formule ma: hanno utilizzato le lettere per indicare i segmenti e hanno risolto il problema!

Abbiamo poi ricostruito la situazione con le striscioline e i fermacampioni e con l'equi scomposizione, facendo scorrere le figure... : bravi e partecipi tutti! Nonostante non tutte le porzioni di piano fossero “trascinabili”, mi sono piaciuti, in particolare, nel cogliere la diversa distribuzione di aree in una medesima figura.

Abbiamo avuto occasione di parlare di equivalenza, congruenza, e di tanto altro!

Raga... come d’accordo, io aspetto i disegni! (con le riflessioni... formule, ecc.)

Ecco risposta di Bea!

Ora, o voialtri... : altro metodo!

Ecco la seconda soluzione illustrata da Davì e Davide P.

Operiamo con le radici quadrate

Scrivono M. Chiara, Giada e Letizia

Partendo dalla proprietà distributiva della radice quadrata:

$\sqrt{ 36 * 25 } \,=\, \sqrt{ 36 } * \sqrt{ 25 } \,=6 * 5$

e in generale:

$\sqrt{ a * b } \,=\, \sqrt{ a } * \sqrt{ b }$

e utilizzando la scomposizione in fattori primi per estrarre la radice quadrata di un numero (che ci serve anche per riconoscere se un numero è un quadrato perfetto: se tutti i fattori hanno l’esponente pari),

abbiamo imparato a calcolare le radici quadrate in un modo speciale. La prof ha detto che stavamo operando con le radici un po’ come faremo alle superiori!

Facciamo un piccolo esempio:

$\sqrt{ 20 } \,=\, \sqrt{4 } * \sqrt{ 5 }$

il numero 20 lo abbiamo considerato come 4*5 e poi applicata la distributiva.

La $\sqrt{ 4 }$  la mettiamo in questa forma:

$ \sqrt{ 2^2 } $

quindi:

$\sqrt{ 20 } \,=\, \sqrt{ 2^2 } *\sqrt{ 5 }$

Arrivati a questo punto abbiamo pensato che l’indice della radice(2) poteva essere semplificato con l'esponente di 2 (2): Abbiamo pensato bene ovviamente (avete messo la faccina, ma in ogni caso, o che modeste!), quindi:

$\sqrt{ 20 } \,=\,2 * \sqrt{ 5 }$

La $\sqrt{ 5 }$ è un numero irrazionale che possiamo lasciare indicato, non calcolato.

Abbiamo fatto poi altri esempi, con il radicando scomposto direttamente in fattori primi e poi opportunamente “scomponendo” se l’esponente era dispari. Es:

$ \sqrt{32 }\, =\, \sqrt{ 2^5 } \, =\, \sqrt{ 2^4*2 }\,=\, \sqrt{ 2^4 }* \sqrt{ 2 } \,=\,2^2* \sqrt{ 2 }\,=\,4* \sqrt{ 2 } $

Ecco un altro esempio in figura:

Ragazzi, vedete? Abbiamo salvato solo la prima pagina del file LIM . Mi ritrovo solo questa Peccato, i bei colori di Veronica e Francesco! – Non mi fiderò più dei vostri suggerimenti!

Su radici quadrate, insieme Irrazionali, insieme Reali ...

In evidenza

per i ragazzi della seconda.

Un bel po’ di materiali, attività, Excel, Geogebra ...  A voi la scelta!

Un ampliamento dell'insieme Q+. Una nuova operazione: l'estrazione di radice

Come si riconosce un quadrato perfetto, Funzione R...

La II alle prese con i quadrati perfetti.

Radici quadrate approssimate.Insieme I dei numeri ...

L'algoritmo dell'estrazione di radice quadrata

La chiocciola delle radici quadrate

I numeri Reali assoluti sulla semiretta numerica

La radice quadrata di 2 non può essere un numero r...

Operiamo ancora con le radici quadrate. Il radican...

Calcolo di radici quadrate con radicando decimale....

Spirale degli irrazionali o di Teodoro e ...

Buona consultazione

Dall’inversa della potenza …

Maria Chiara, Erica, Letizia e Gabriele

relazionano sui Numeri quadrati… di Pitagora 

Ma, “abbiamo iniziato dicendo…”  dice Letizia. Ed ecco il testo collettivo.

Pochi giorni fa abbiamo scoperto l’operazione inversa dell’elevamento a potenza.

Dato che l’elevamento a potenza mi permette di associare due numeri (base, esponente) a un terzo (potenza) moltiplicando il primo per se stesso tante volte quante me ne chiede il secondo,

se mettiamo che l’esponente sia 2, per estrarre la radice quadrata di un numero “n” devo trovare quel numero che moltiplicato per se stesso mi dia il numero considerato: per esempio se prendo in considerazione 64 la radice quadrata è 8.

Consideriamo invece un cubo da costruire con 64 cubetti: di questo cubo vogliamo sapere qual è lo spigolo. Attraverso la simbologia mi esprimo nel seguente modo: x³ = 64.
Quindi devo trovare quel numero che elevato 3 mi dà 64 (che è 4). Ma non importa il risultato: ciò che ci serve sapere è che l’estrazione di radice è quell’operazione che mi permette di trovare la base che non si conosce. 4 è la radice cubica di 64, ma più frequentemente è usata la radice quadrata [da noi…], indicata con il simbolo “√”.

Vediamo degli esempi di numeri elevati alla seconda:

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4²= 16

5² = 25

6² = 36

I risultati sono i cosiddetti numeri quadrati perfetti perché un qualsiasi numero intero moltiplicato per sé stesso (quindi alla seconda) mi dà uno di essi, quindi sono numeri la cui radice quadrata è un elemento di N.

La radice quadrata di questi numeri è perciò, perfetta, è esatta ed è un numero intero, ma provate a trovare la radice quadrata di 3, o di 5, o anche di 7: per averla devo ricorrere ai decimi, ai centesimi o ai millesimi, il che non la rende un numero intero. Radici quadrate così vengono chiamate infatti approssimate.

Ma torniamo ai numeri quadrati: avranno fatto bene a chiamarli così? Per saperlo dobbiamo andare indietro nel tempo, ai tempi di Pitagora che pensò bene di utilizzare dei sassolini per rappresentare i numeri e fece nel seguente modo:

 

… come abbiamo visto q u i

se osservate bene il numero di sassolini con cui riuscì a fare il suo “esperimento”, sono i nostri numeri quadrati. Per costruire dei quadrati, doveva essere un NUMERO QUADRATO PERFETTO. Quindi secondo voi hanno fatto bene a chiamare 1  4  9  16  25 ecc. numeri quadrati? Secondo me si!

Ma non è finita qui. Pitagora provò anche un altro esperimento: provò a sottrarre a ogni numero quadrato il suo precedente:

1 - 0 = 1

4 - 1 = 3

9 - 4 = 5

16 - 9 = 7

25 -16 = 9

Ottenne i numeri dispari. Noi abbiamo indagato sulla regolarità, il problema della scheda… 

Giovanni è stato il primo a scoprirla: ogni numero quadrato si ottiene dalla somma dei numeri dispari, in successione…

Per esempio il 4 si ottiene da 1 + 3, il 9 si ottiene da 1 + 3 + 5 e così via.

Lo dimostriamo anche con excel.

Per ottenere in excel la successione dei numeri quadrati è nata l’esigenza di fissare il primo numero dispari da sommare e ampliare via via l’intervallo, quindi abbiamo utilizzato i riferimenti assoluti. Le formule in figura sono state poi copiate lungo le righe (e le colonne).

Il file num.quadrati.xls si può scaricare.

Ragazzi,

ora posso segnalarvi Numeri quadrati e numeri rettangolari (che ormai avete scoperto…)  da maestra Renata. E’ un incrocio di link (!), ma vi rimando per vedere i numeri quadrati e rettangolari con GeoGebra e anche per eseguire gli esercizi con GeoGebra, che maestra Renata propone attraverso un simpaticissimo gufetto! Occorre cliccarci sopra.

L'algoritmo dell'estrazione di radice quadrata

Come si estrae la radice quadrata di un numero qualsiasi con il calcolo manuale?

Si potrebbe pensare che tale operazione sia di scarsa utilità (abbiamo a disposizione calcolatrici e ... excel!) e scarso valore didattico trattandosi di un procedimento, un algoritmo, che solitamente si impara meccanicamente.
E' possibile tuttavia, almeno in parte alla scuola media, comprendere i "passi" da compiere, eseguire dunque il calcolo per l'estrazione di una radice quadrata, con una certa consapevolezza.
Gli strumenti per capire appieno l'algoritmo si acquisiscono con lo studio del calcolo letterale e precisamente dei prodotti notevoli. Per il momento tali strumenti non sono alla portata dei ragazzi di seconda media.

Abbiamo tuttavia cercato, insieme, di capire perché si deve procedere in un certo modo....
Una stima iniziale.
Riflettiamo sul numero di cifre della parte intera della radice di un numero intero qualsiasi.
La radice di un numero intero di 2 cifre ha una sola cifra.
La radice di un numero intero di 3 o 4 cifre è un numero di 2 cifre.
La radice di un numero intero di 5 o 6 cifre ha 3 cifre.
La radice di un numero intero di 7 o 8 cifre ha 4 cifre. ....
Una seconda stima:
qual è la prima cifra della radice di un numero?
Consideriamo un numero di 3 cifre: 354.
Abbiamo stabilito che la radice, nella sua parte intera, è costituita da 2 cifre. La prima cifra non potrà quindi che essere un 1. Ipotizzando il 2, il numero più basso di 2 cifre, sarebbe 20, ma 20^2 = 400!
Consideriamo un numero di 4 cifre: 1378
La sua radice, nella sua parte intera, è costituita da 2 cifre. La prima cifra non può che essere 3. Se ipotizzassimo 4, il numero più basso, di 2 cifre, sarebbe 40, ma 40^2 = 1600!
Nasce da queste osservazioni l'esigenza di suddividere il numero di cui si deve estrarre la radice, il radicando, in gruppi da 2 cifre a partire da destra.

Prepariamoci dunque ad estrarre al radice di un numero qualsiasi. Prendiamo come esempio il numero, di 5 cifre, 14161
Passo 1:
dividiamo il numero in gruppi di due cifre a partire da destra:

Dobbiamo trovare un numero che elevato alla seconda potenza non superi 1. Tale numero è 1. Sarà 1 la prima cifra della radice. Eseguiamo 1^2. Il risultato va sottratto alla cifra 1 (a sinistra) del radicando.
A questo punto,
Passo 2:
vogliamo ricordare come si esegue una divisione?
Siamo portati a dire: "Aah! Abbasso il 4!"
E no, attenzione! Noi si estrae una radice quadrata che è l'inversa dell'elevamento a potenza 2!
Perciò.... si abbassano 2 cifre!
Ecco (la sottrazione 1-1, abbreviata) la situazione:

Passo 3:
questo è quello la cui comprensione non è alla nostra portata!
Si raddoppia il risultato finora ottenuto, la cifra 1, e si scrive sotto la linea di separazione: otteniamo 2.
Ora... attenti: bisogna trovare una cifra, indichiamola con x, da affiancare al 2 per ottenere 2x e tale che 2x * x non superi il 41, il "resto" che abbiamo in basso a sinistra.
Come regolarsi?
La cifra x NON può essere un 3 perché: 23*3 = 69
Potrebbe essere 2? Potrebbe! Infatti 22 *2 = 44. Almeno con le decine, ci siamo!
Tuttavia 44 è maggiore di 41, per cui la cifra giusta è 1.
Il "fare i conti" con le decine è perciò la considerazione esatta per "regolarsi". Che vuol dire non "andare a naso", ma scegliere con consapevolezza!
Quindi potrebbe essere di aiuto separare nel resto, la cifra delle decine, es: nel 41, mettere un puntino (in basso, per non confondere con la precedente separazione del radicando): 4.1, quindi stabilire: il 2 nel 4 è contenuto (ci sta) 2 volte. Verificare, eseguendo il prodotto, che la cifra 2 è troppo alta e provare con la cifra inferiore: 1.
La cifra 1, valida, va a completare il risultato, quindi si affianca alla prima cifra (1), ottenuta in precedenza.
Il prodotto 21, va sottratto dal 41.
Ecco lo schema (sottrazione 41-21 abbreviata):

Passo 4:
si abbassano le altre 2 cifre del radicando, 61;
si ripete la procedura: raddoppio ancora il risultato finora ottenuto, e lo scrivo sotto una seconda linea di separazione: 22.
Cerco una cifra x, da affiancare al 22 per ottenere 22x e tale che 22x * x non superi il 2061, il "resto" che abbiamo ora in basso a sinistra.
Come ci si "regola"?
Separiamoci l'ultima cifra del resto. Consideriamo quante volte il 22 è contenuto nel 206, quindi il 2 nel 20. Sappiamo che 2 nel 20 è contenuto 10 volte. Possiamo dunque partire affiancando la cifra 9.
Se 229 * 9 dovesse superare 2061, scriveremmo, sotto un'altra linea di separazione [quindi non abbiamo bisogno di cancellare (o pasticciare)], 228 *8. Ma ... non siamo andati "a naso"! :-)
Il nostro 229 *9 è tuttavia uguale a 2061. Va ...perfetto!
La cifra 9 va a completare il risultato. Si sottrae il prodotto 2061 dal 2061 e ... resto pari (zero)!

La radice quadrata di 14161 è 119.
Il numero 14161 è un quadrato perfetto: non abbiamo ottenuto resto.

Nel caso in cui il radicando non fosse un quadrato perfetto, avremmo il resto diverso da zero.
Come continuiamo?
"Metto la virgola nel risultato e aggiungo... lo zero al resto!"
E no! Sempre la solita attenzione! Estraggo la radice quadrata che è......
Devo aggiungere 2 zeri al resto!
Poi ripeto il passaggio 4 .....
Anche l'algoritmo dell'estrazione di radice quadrata offre dunque spunti per acquisire la consapevolezza (e padronanza) del calcolo!
Naturalmente nel caso in cui l'estrazione di radice diventi strumento per risolvere altre questioni, il calcolo si fa eseguire alla calcolatrice!
...e dovremmo tuttavia essere in grado di accorgerci di eventuali errori grossolani dovuti a malfunzionamenti o nostre distrazioni nel dare istruzioni alla macchina! :-)
Segnalo in rete questo articolo, di .mau. che offre ancora un esempio e una spiegazione passo a passo dell'algoritmo.

Un ampliamento dell'insieme Q+. Una nuova operazione: l'estrazione di radice

Stavolta hanno relazionato sulla lezione tutti i ragazzi di seconda: chi ha fatto bene, chi un po' meno, ma tutti sanno che con l'impegno i progressi si "registrano"! :-)
Io ho messo insieme i loro scritti.

Una nuova operazione...

Noi ormai abbiamo constatato che per ampliare l'insieme N ci siamo serviti delle operazioni inverse. O meglio le operazioni inverse hanno "costretto" l'uomo a inventarsi nuovi numeri oltre a quelli naturali, interi.
Per esempio la divisione, operazione non interna all'insieme N, ci ha portato a conoscere l'insieme Q dei razionali. La sottrazione, anch'essa non sempre possibile in N, sappiamo che ci porta ai numeri negativi, con i quali ancora dobbiamo imparare a operare.
Abbiamo visto anche che l'insieme N è incluso nell'insieme Q, perciò ora dobbiamo chiederci: tutte le operazioni sono sempre possibili nell'insieme Q?
Abbiamo detto delle operazioni inverse.... quale altra operazione oltre alle 4 fondamentali conosciamo?
Conosciamo l'elevamento a potenza!
Avrà un'operazione inversa?
Siamo andati a scoprirla....
La prof ci propone il seguente problema:
mi sono state regalate 16 piantine. Nel mio giardino ho dello spazio libero, vorrei disporre le piantine in maniera tale da avere, quando esse fioriranno, un bel "colpo d'occhio" colorato di forma quadrata.
Come dispongo le 16 piantine?
Noi abbiamo fatto diversi tentativi sul quaderno, qualcuno cercava di disporre le piantine solo ai lati di un quadrato, 4 per ogni lato, ma vedevamo che non era possibile ottenere un vero quadrato, oppure non tutte le piantine venivano utilizzate!
La prof controllava i quaderni ... Alejandro, Emanuele, Maria... : "ecco, ho disposto le 16 piantine. Un quadrato perfetto!" (la prof ci dice: caspita, state già usando il linguaggio specifico: preciseremo....)
Le 16 piantine erano così disposte:

un quadrato di lato 4, ma 4 file da 4 piantine!
La prof chiede quale riflessione ci ha spinto a disporre in questo modo.
Emanuele dice: "4 alla seconda fa 16, ma veramente ho fatto l'inverso!"
Ci siamo convinti subito tutti 4^2 = 16, si voleva un quadrato, quindi ... le 4 file da 4.
La prof ha insistito sulla frase di Emanuele: "veramente ho fatto l'inverso"
Abbiamo fatto altri esempi: se avessi 25 piantine, se ne avessi 36, se ne avessi 9... ormai sapevamo disporre al volo!
Siamo arrivati a concludere che bastava trovare il numero che elevato alla seconda ci desse il numero considerato. Es: 5 file da 5 piantine, 5^2=25; 6 file da 6 piantine 6^2=36; 3^2=9 eccc..
La prof ci ha detto chiaro: avete scoperto l'operazione inversa dell'elevamento alla seconda potenza!
Ora dobbiamo precisare con simboli e termini specifici:
l'operazione si chiama estrazione di radice quadrata,
simbolo e termini dell'operazione:

Il radicando è il numero del quale si estrae la radice; la radice è il risultato dell'operazione, l'indice di radice 2 si può anche non mettere, è sottinteso.
Quindi ancora qualche esercizio così:

Consideriamo poi che non esiste solo l'elevamento alla seconda potenza, ma anche altre potenze.
Es. alla terza, alla quarta, ... potenza.
E anche di queste operazioni si può eseguire l'inversa. Sempre estrazione di radice.
Cioè, se conosciamo ad es. la terza potenza di un numero, dobbiamo trovare un numero che elevato 3 ci dia il numero dato, il radicando.
Le operazioni si chiamano di volta in volta: radice cubica, radice quarta, radice quinta ecc..
Es ho il numero 8. Qual è quel numero che elevato 3 mi da 8? è il 2.
Esempi di radici cubiche:

In questi casi l'indice di radice è obbligatorio!
Noi alla scuola media lavoriamo principalmente con la radice quadrata, qualche volta useremo la radice cubica...

Abbiamo fatto altri esercizi, in questo modo:

La domanda era sempre la stessa: qual è quel numero che elevato alla seconda mi da....?
Quindi bisogna estrarre la radice:
radice quadrata di 81 = 9 perché 9^2 =81;
radice quadrata di 49 = 7 perché... ;
radice quadrata di 36 = 6 perché... ;
radice di 100 = 10 perché ...
Questo esercizio ci ha fatto capire che l'operazione di estrazione di radice serve per trovare la base sconosciuta di una potenza, conoscendo il valore della potenza (lo avevamo visto anche per le altre operazioni inverse: la divisione serve per trovare un fattore sconosciuto, conoscendo il prodotto, la sottrazione serve per trovare un addendo sconosciuto conoscendo la somma)
(Esiste un'altra operazione per trovare l'esponente sconosciuto! La prof ce la accennerà).

Infine ci siamo esercitati a scoprire le radici quadrate di numeri un po' più grandi:
- quale è la radice di 225?
Non rispondiamo...
- Quale sarà la cifra a destra della radice di 225?
- 5???
Delia dice: se la radice di 144 è 12... poi...deve finire con 5... è 15!
- Sì!
- La radice di 625?
- Termina con 5... un numero un po' più grande... 25!
-La radice di 169?
- Più piccolo di 225... radice minore di 15 ... deve terminare con 3 ... 13!
ecc..
La lezione sta per finire quando la prof ci chiede: ma, scusate, abbiamo forse incontrato nuovi numeri?
E noi: no! Sono tutti naturali!
- Ahi, ahi... niente ampliamento! Allora ... alla prossima puntata!!! :-)

la II A