Ripasso insiemi numerici

“Le gaie colpiscono ancora!”

Così mi scrivono nell’oggetto della loro mail, Letizia, Maria Chiara ...+ Erica e naturalmente Silvia la secchiona (io copio-incollo, Silvia non esiste da noi in terza, è un loro gioco – chissà cosa vogliono non ammettere ... ?)

Insomma, mi inviano la cronaca della lezione di ieri.

Un nuovo inizio … e ripasso.

Eccola giunta alla nostra classe, la prof Arcadu, tutta pimpante ed euforica, nella sua mente il progetto sullo svolgimento della lezione.

Infatti non vedeva l’ora di presentare il nuovo argomento di matematica.

Ci dice: "Oggi si comincia a operare con i numeri relativi!" E poi:

“Ricordate vero? L'insieme dei numeri relativi, perché si chiamano relativi?" [mai l'avesse fatto, NdP, nota della prof!]

Noi ricordavamo i numeri relativi, introdotti con le sottrazioni non fattibili in N: quelli con il segno + e –. Però: perché si chiamano relativi??? Tutti zitti!

La prof ci ha detto: "oggi fuori ci sono 10 gradi di temperatura", e ci ha chiesto se avessimo qualcosa da contestare, così noi le abbiamo chiesto [non così immediatamente, NdP]: "- 10° o +10° gradi? ".

La sua risposta è stata "oh cari ragazzi è proprio quello che volevo sentirvi dire, allora il valore del numero dipende dal segno che lo precede, è relativo al segno!"

In seguito abbiamo ricordato i vari insiemi recitando [leggendo insieme, allegra … confusione, ahimè! NdP] alcune poesie citate dalla prof durante l’estate facendo riferimento al Prof. Popinga:

L'insieme N: quello dei numeri naturali, è sottoinsieme di Q

L’insieme N

Numeri naturali son quegli enti
che contiamo sulle dita,
senza di lor la nostra vita
sarebbe assi più complicat.
Sol più tardi è stato aggiunto
quel pallin che è lo zero:
per gli antichi era mistero
una cifra valente nient.

Insieme Q: dei numeri razionali (abbiamo anche detto che il numero razionale è un intera classe di equivalenza ovvero un insieme di frazioni equivalenti a una data primitiva, è un quoziente fra due interi, incontrato nelle divisioni non fattibili in N)

L’insieme Q

E’ l’insiem dei razionali,
con la virgola o le frazioni:
corrispondon alle divisioni
tra numeratore e denominator.
Diversamente dai naturali,
non si contan sulle dita:
si rischierebbe persin la vita
a far frazioni delle falang.

Insieme I: dei numeri irrazionali ovvero le radici di numeri non quadrati perfetti e i quozienti fra 2 grandezze incommensurabili (quelle che non hanno sottomultipli in comune, nemmeno l’1) es, Pi greco…

Insieme R (dei numeri reali, quelli che esistono, perché ci sono anche i numeri immaginari!): esso è dato da Q ∪ I=R, include tutti gli insiemi precedentemente elencati. Ma l'insieme Q include l'insieme Z, nel quale abbiamo operato oggi.

Siamo stati in grado di dire, dopo l‘esempio iniziale della prof, che l’insieme Z è l’insieme dei numeri interi relativi quindi Z = Z⁺ ∪ Z^- ovvero l’unione dei numeri interi relativi, positivi e negativi.

L’insieme Z

E’ l’insiem dei relativi
che sono numeri con il segno:
una trovata di vero ingegno;
senza segno è ‘l valore assolut.
Sol con essi si può fare
ogni tipo di sottrazione:
era proprio contraddizione
togliere sette da cinque dit.

Ecco la rappresentazione dei numeri Reali con il diagramma di Eulero Venn:

Insieme dei numeri Reali relativi include I⁺ e Q⁺ , I^-   e Q^- L’insieme Z⁺ è sottoinsieme di Q⁺ e Z^- di Q^- ,  Z⁺ coincide con N.

La prof ha pensato poi di farci ripassare la

Rappresentazione dei numeri Reali sulla retta

Ha fatto disegnare a tutti sul quaderno una semiretta nella quale abbiamo inserito i numeri naturali ricordandoci che ad ogni numero naturale corrisponde un punto della semiretta ma non è altrettanto vero il contrario, dire che ad ogni punto della semiretta corrisponde un numero naturale.

Per poter avere anche i numeri negativi dovevamo far diventare quella semiretta una retta.

Ora dovevamo riempire di numeri i punti tra due numeri naturali. Abbiamo inserito i numeri razionali, per esempio 3/2:

l'unità, da zero a 1, la dividiamo in 2 parti e ne prendiamo 3, per quanto questa possa essere una spiegazione infantile e banale considerate le nostre conoscenze, ci è stata molto d’aiuto!

Uff… !!!!!!!!!!: neanche con i numeri razionali siamo riusciti a occupare tutti i punti della retta. Cosi abbiamo collocato i numeri irrazionali rispolverando così i lavori precedentemente pubblicati sul blog come il lavoro di Gabriele che ci è stato utile per inserire le radici quadrate:

E, I numeri Reali assoluti sulla semiretta numerica

Naturalmente a sinistra dello zero posizionavamo i negativi, sia razionali che irrazionali. Ora con tutti i Reali, Q ∪ I, abbiamo occupato tutti i punti della retta, come ci aveva anticipato la prof quando eravamo all’inizio del nostro percorso, in prima media.

E finalmente ci siamo dedicati alle prime operazioni in Z: la prima scoperta è stata che in Z si perde un po' la distinzione delle operazioni in: addizione e sottrazione. Si tratta di "fare un bilancio": tra negativi e positivi, come tra debito e credito, soldi che ho in tasca e soldi che devo! Si parla di somme algebriche.

FINE

by, le alunne “croce e delizia”

Brave, delizie! (oh, per esservi dedicate di Sabato pomeriggio, eh eh...)

Raga, da leggere:

I numeri e l’essenza della matematica

Siamo ripartiti!

Ragazzi,

nell’attesa dei vostri “racconti”, intesi come lavori, scoperte, creazioni ... ,

può esservi comodo, e anche per comunicarlo ai genitori, un riepilogo della nostra prima giornata di lezione, dopo quella del benritrovati!

    In entrambe le classi, II e III sez A, dopo esserci scambiati propositi, progetti, aspirazioni (ho ascoltato davvero dei bei “progetti”) , aver ricordato regole e stipulato patti (che sarà necessario, ogni tanto, rinfrescare...), aver sottolineato la straordinarietà di ciascuno di noi, che a volte un po’ più difficilmente affiora, perciò ripromessi di aiutarci l’un l’altro perché ciò avvenga,

siamo ripartiti con le nostre attività!

In II:

Ci si proponeva per domani (libro di testo!) la ripresa del calcolo con le frazioni. Però: con le frazioni. Ma con i numeri razionali!

  Si ... qualcuno dei ragazzi ha visto la mappa, pubblicata recentemente.

Quindi, la classe è ora più o diversamente eterogenea rispetto all’anno scorso, siamo ripartiti dall’esigenza di ampliamento dell’insieme N dei numeri naturali: per via di quelle divisioni non fattibili in N.

  Abbiamo ricordato: perché razionali? Origine del termine razionali: dal latino ratio come, abbiamo faticato un po’ ma ce l’abbiamo fatta, ragione, nel senso di rapporto, quoziente.

E ancora, infatti: l’insieme dei razionali viene indicato con  la Q maiuscola. Q sta per quoziente!

E poi abbiamo disegnato:

  che è un diagramma di Eulero-Venn e i signori Eulero e Venn non si sono neppure mai incontrati ... (vi invito a leggere QUESTO, ragazzi)

e abbiamo messo dentro: 2/3, 3/4, 18/8 (oppure 9/4 che è primitiva. “Sì sì, sono equivalenti, per l’invariantiva...”), ecc...

Ma abbiamo potuto mettere anche: 5, 8, ..... perché 5 = 5/1 e “tutti i naturali il denominatore, sottinteso, lo hanno: è l’1”, ma anche: 5 = 10/2, 15/3, ecc ... (su questo torneremo ancora).

E allora: N è un sottoinsieme di Q, N è incluso in Q, N ⊂ Q [per il momento va bene così] e:

 così possiamo sistemare meglio i numeri razionali! E tutti, o quasi, hanno sistemato qualche numero ...

Sull’argomento, non vorrei ricordare male, non abbiamo detto altro...

Perché volevamo divertirci con il Triangolo!

E lo abbiamo fatto anche in III

Capita la costruzione, son già venute fuori delle belle cosette:

in III:

1) il triangolo è simmetrico (richiami su simmetria... per i nuovi! Bravi eh: hanno sistemato correttamente le dita della mia mano che si specchiava...!) rispetto a un asse che lo taglia centralmente (simmetria assiale)

2) la seconda diagonale è costituita dalla successione dei naturali

(in terza non abbiamo avuto altro tempo)

In II:

punto 2 precedente

3) Marco D. ha ritrovato i numeri triangolari

4) Giovanni ha cominciato a dire che: di riga in riga si moltiplica per due. Questa dobbiamo puntualizzarla...

5) Beatrice cominciava a vedere le potenze di 11

Fine dell’ora!

Io aspetto lavori che certifichino le scoperte!

I numeri e l’essenza della matematica

Ragazzi, ... tutti!

Per la III un utile ripensamento, una sintesi del viaggio tra gli insiemi numerici, scoperti nel corso dei tre anni di scuola media. Vi ritroverete: cito diverse delle vostre attività su questo blog!

Per la I: anche voi, in parte, vi ritroverete. Per il resto, consideratela pure una lettura propedeutica! :-) So che ci sono dei curiosi... benissimo!

La “storia” che segue è scritta da Emma Castelnuovo ma, per altro, noi possiamo dire di aver sempre lavorato, spesso citandola, o anche no, sotto la sua ala protettiva. (Ci piace dire così!)

  - È bello ripensare al cammino percorso per riflettere sui problemi che, a poco a poco, ci hanno condotto ad ampliare gli insiemi numerici e a introdurre nuovi simboli, nuovi numeri; simboli e numeri che sembra abbiano imposto la loro esistenza.

   È bello perché è un rievocare il faticoso cammino dell’umanità attraverso le successive estensioni del numero; e non è solo di matematica che si parlerà ma è, piuttosto, di una “storia sociale” del numero.

   Riflettiamo. Pochi numeri sono necessari agli uomini se essi si dedicano alla pastorizia o alla coltivazione di qualche pianta da frutto 0 di qualche legume: pochi numeri, perché anche il commercio si svolge attraverso lo scambio di prodotti. Cosi vivevano, con pochi numeri, i popoli primitivi; cosi vivono, con pochi numeri, delle popolazioni tuttora esistenti e che abitano in qualche regione dell’interno dell’Africa, dell’America Latina, dell’Australia.

   Ma poi gli uomini impararono l’utilità di questi simboli che per noi sono ormai  “il pane quotidiano”. Impararono a fare, con i numeri naturali, le quattro operazioni, ma... subito si accorsero che non sempre le potevano eseguire.

   Eppure, molte volte era necessario avere una risposta: «quale parte di pane spetta — ci si chiedeva - ad ogni persona se ci sono 3 pani da dividere fra 5 persone?». Problema pratico, questo, che esige una soluzione.

   È per risolvere appunto problemi di questo tipo, per dare una risposta all’operazione di divisione: 

x = 3 : 5

che si impose l’introduzione di nuovi numeri.

   Non era possibile che gli uomini si trincerassero entro “le mura” che recingevano i numeri naturali, anche se era comodo lavorare in quel piccolo mondo. Furono sfondate le mura dell’insieme dei naturali per sfociare in un mondo di simboli che permettevano di eseguire sempre la divisione: erano i numeri frazionari. Ai numeri frazionari, insieme ai naturali, si diede il nome di numeri razionali, nome che esprime il fatto che era «ragionevole» introdurli.

   Ma anche il mondo dei razionali non bastava per risolvere un altro problema di carattere pratico: “di quale lunghezza si deve costruire il lato di un quadrato se si vuole che il recinto raccolga un’area di 20 metri quadrati?”. La radice quadrata di 20 non è né un numero naturale né un numero frazionario.

   L’operazione

$x\,=\, \sqrt{ 20 }$

non  trova dunque risposta nell’insieme dei razionali.

   Allora gli uomini sfondarono anche la cinta del mondo dei razionali e si trovarono in un mondo nuovo, nell’insieme dei numeri irrazionali; un termine, “irrazionale”, che ci fa capire come tutto un dramma sia stato suscitato dalla scoperta di questi numeri non esprimibili razionalmente: un dramma che si svolse nell’antica Grecia, al tempo di Pitagora, nel 500 a.C.

   Ma i secoli scorrono e quella che prima era considerata come «una verità scandalosa», cioè l'esistenza di questi strani numeri, venne poi considerata  come una cosa naturale, più che ragionevole, e gli uomini sorrisero pensando ai “drammi” dei loro antenati. Gli uomini considerarono questi numeri come aventi lo stesso diritto di vita dei razionali e, quasi per affermare con una sola parola questa parità di legge, questa effettiva esistenza, diedero a tutti i numeri, razionali e irrazionali, il nome di numeri reali.

   Meno naturale era l’introduzione dei numeri negativi. Questa volta ci si trova davanti a una estensione degli insiemi numerici che non è certo venuta spontanea al pensiero “dell’uomo della strada”, ma che è dovuta al matematico: e la cosa più emozionante è che questo matematico viveva nel 2000 a.C.! Ma, per molti secoli, questi nuovi simboli non entrarono nella società, e anche i matematici stentarono a “vederli” come numeri tanto che li chiamarono “quantità assurde”, quasi a voler sottolineare l'assurdità di averle introdotte.

   Poi, gli uomini pensarono che, in fondo, il valore di un numero è, molte volte, relativo ad un’altra indicazione: come esprimere, per esempio, in modo breve se i 3 chilometri che devo percorrere sono verso est o verso ovest? Come scrivere in maniera concisa se la temperatura di questa notte era di 4 gradi sopra zero o di 4 gradi sotto zero? Premettiamo un segno, il + o il -, ai numeri, e non ci saranno più incertezze. Il valore di un numero è relativo al segno. II termine di numeri relativi era il più espressivo: cosi furono chiamati.

   E, d’improvviso, ogni insieme numerico già considerato si vide “riflesso” nel campo negativo: si ebbero cosi i numeri razionali positivi e negativi, e i numeri irrazionali positivi e negativi. Si ebbe insomma l’insieme reale positivo e, per simmetrizzazione, l’insieme reale negativo.

   Con questi numeri — ci si chiede — possiamo veramente eseguire tutte le operazioni? Possiamo finalmente lavorare in pace, sicuri che ogni operazione troverà la sua risposta?

   Riflettiamo:

$\sqrt{ 4 }\,=\,+2 \,\,perché\,\, (+ 2)^2\, =\, 4$

e anche:

$\sqrt{ 4 }\,=\,-2 \,\,perché\,\, (-2)^2\, =\, 4; $

ma, quale soluzione avrà l’equazione

$x\,=\, \sqrt{ -4} \,?$

x non può essere uguale a — 2 perché sappiamo che (— 2)² = + 4.

   No, l’insieme dei numeri reali non è chiuso rispetto a tutte le operazioni! Si deve ancora, in questa immensa cinta di mura, operare una breccia!

   Ma, trovare la  $\sqrt{ -4}$  non rifletteva certo una questione di carattere pratico; ed è certo che la soluzione di questo problema non poteva venire dall’uomo della strada. Anche questa volta la risposta fu data dai matematici.

   Nuovi numeri furono introdotti in un’epoca relativamente recente, nel 1500, dagli algebristi italiani, dei numeri che sembrarono ancor più irragionevoli degli irrazionali, ancora più assurdi dei relativi, tanto che furono chiamati “quantità silvestri”, “quantità false”, “numeri immaginari”. Quest’ultimo nome è ancora rimasto, ma gli uomini di oggi sorridono di quelle che apparivano ai loro antenati delle strane fantasie matematiche.

   Questi numeri immaginari, li imparerete a conoscere nel corso degli studi successivi, e apprenderete che oggi dei numeri così astratti intervengono anche nella risoluzione di molti problemi tecnici. 

Da La Matematica – Numeri B, Emma Castelnuovo - La Nuova Italia Ed.

E infine, o monelli di terza, ehmm ... senza parole!

E/o anche

L’hotel straordinario, o il milleunesimo viaggio…

Ragazzi_prima,

Questa è una lettura … ormai lo sapete, propedeutica!

A cosa?

Oh, avete visto, stiamo scoprendo delle particolarità dei numeri naturali: sono quadrati, sono rettangolari, triangolari …, si susseguono in curiose serie… Ma questo è niente! Il nostro viaggio nell’insieme dei naturali è appena cominciato.

Leggete questa storiella, intanto. Ci aprirà la strada verso …

L’hotel straordinario di Stanislaw Lem

… Comunque, costruendo l’hotel avevano fatto un lavoro meraviglioso.
Nell’hotel c’era un numero infinito di stanze. Gli esuli speravano che da quel momento in poi nessuno avrebbe più dovuto sentire la famosa frasetta irritante che li aveva afflitti nei loro vagabondaggi: “ Non c’è più posto”. Nonostante ciò, non ebbi fortuna.

La prima cosa che attrasse la mia attenzione entrando nella hall fu un cartello: *I delegati del congresso di zoologia cosmica sono
pregati di registrarsi al 127º piano*.
Siccome gli zoologi cosmici venivano da tutte le galassie, e di galassie ne esiste un numero infinito, saltò fuori che tutte le stanze erano occupate da partecipanti del congresso. Non c’era posto per me …

… Mi spiegarono che non si erano accontentati di creare l’hotel Cosmos. Gli instancabili costruttori erano andati avanti e avevano fondato un insieme infinito di hotel, ognuno dei quali aveva infinite stanze. Per far ciò avevano smantellato così tante galassie che l’equilibrio intergalattico ne era stato sconvolto, cosa che poteva comportare serie conseguenze. Era stato quindi chiesto loro di chiudere tutti gli hotel eccetto il nostro, e di rimettere a posto il materiale usato. Ma era difficile eseguire quest’ordine, dal momento che tutti gli hotel erano pieni. Al direttore era stato chiesto di spostare tutti gli ospiti da un numero infinito di hotel a un unico hotel, che era già pieno! …

Il contabile dell’hotel propose una variante eccellente.
Mettere quelli del primo hotel nelle stanze 2, 4, 8, 16, 32 eccetera. Gli ospiti del secondo hotel andavano messi nelle stanze 3, 9, 27, 81, eccetera.

La sua proposta era di risistemare gli ospiti degli altri hotel in una maniera simile. Ma il direttore domandò:
— E dovremmo usare le stanze 4, 16, 64, per il terzo hotel?
— Naturalmente — rispose il contabile.
— Allora non otteniamo nulla: in fondo, nella stanza 4 abbiamo già un ospite del primo hotel. Dove metteremo la gente del terzo hotel?

Venne il mio turno di parlare; all’Accademia Stellare non facevano studiare cinque anni di matematica per niente.
— Usate i numeri primi. Mettete gli ospiti del primo hotel ai numeri 2, 4, 8, 16, ..., quelli del secondo hotel ai numeri 3, 9, 27, 81, ..., quelli del terzo ai numeri 5, 25, 125, 625, ..., quelli del quarto ai numeri 7, 49, 343, ...
— E non succederà anche in questo caso che qualche stanza abbia due ospiti? — chiese il direttore.
— No. In effetti, se si prendono due numeri primi, nessuna delle potenze intere positive di uno può equivalere a quelle dell’altro. Se p e q sono due numeri primi, con p ≠ q, e m e n sono due numeri naturali, allora $p ^m ≠\, q^n$
Questa proposta deliziò tutti ...

Tratto da Racconti matematici - Einaudi

Addizione e sottrazione nell’insieme N

Relazionano Letizia e Gabriele.

In questi giorni abbiamo analizzato le caratteristiche delle operazioni nell’insieme N; vuol dire studiare cosa succede quando facciamo delle operazioni usando solo i numeri naturali.

Abbiamo iniziato dall’operazione più elementare: l’addizione.

In questa lezione abbiamo dovuto chiarire bene che procedimento bisogna usare per risolverne una e, per riuscire a spiegarlo come si deve, abbiamo immaginato di insegnarlo a dei bambini che sanno contare ma non conoscono i termini “addizionare”, “sommare” e ”aggiungere”.

In che cosa consiste l’addizione? La risposta è la seguente: l’addizione è quella operazione che ci permette di associare due numeri per arrivare a un terzo; questo è possibile se dal primo numero dato, contiamo tante unità quante me ne chiede il secondo fino ad arrivare alla nostra meta: il risultato. In poche parole l’addizione consiste nel contare per raggiungere il nostro terzo numero, il risultato.

L’operazione interessata ha delle caratteristiche, cinque per la precisione:

• è interna a N; questo perché eseguendo un'operazione con due numeri naturali il risultato sarà sempre un elemento di N. Si può anche dire che N è un insieme chiuso per l' addizione;

• possiede un elemento neutro: lo zero, perché se si trova all’interno dell’addizione sotto forma di addendo, non influenza il risultato (es. 5 + 0 + 3 = 8; 5 + 3 = 8);

• è commutativa, perché cambiando l’ordine degli addendi il risultato non cambia (25 + 34 = 59;   34 + 25 = 59);

• è associativa, perché avendo tre o più addendi posso associare dei numeri fra di loro nella maniera che mi viene più comoda. Uno scopo? Fare i calcoli più velocemente e facilmente.

Una specie di conseguenza della proprietà associativa è la proprietà dissociativa che dice: sostituendo a un addendo due numeri più piccoli la cui somma è pari al primo, il risultato non cambia. Es 15+20=35 : 10+5+20=35.

• operazione diretta, perché per arrivare al risultato vado dritto, come su una retta senza tornare indietro, cosa che non accade con la sottrazione. E poi forse anche perché è l' operazione più semplice che esista, cioè quella che tutti facciamo con facilità anche quando dobbiamo sottrarre; (es. 20 – 2, diciamo subito 18, a mente facciamo 18 + 2!).

Abbiamo imparato che le operazioni si rappresentano anche in un modo un po’ diverso:

( 36 , 64 )  + (freccetta sotto il più)   100 che è:  36 + 64 = 100             

Sappiate che la coppia 36 e 64 si chiama coppia ordinata.

Ora sentite questa: la sottrazione possiamo dire che è un diverso modo di rappresentare un'addizione!  Cioè l’addizione possiamo scriverla in tre modi diversi!

Esempio: 15 + 5 = 20,

possiamo scrivere:  20 – 5 = 15  o ancora  20 – 15 = 5

Quindi, dato che con l’addizione si va avanti sulla linea dei numeri (dal 15 al 20), e con la sottrazione si fa il contrario, la sottrazione è l’operazione contraria all’addizione perciò è

l’operazione inversa dell’addizione.

Infatti, qual è il procedimento per la sottrazione? Il seguente:

la sottrazione è quell’operazione che ci permette di associare due numeri per arrivare a un terzo: prendo il sottraendo e la differenza, ovvero il risultato, e li sommo fra di loro per ottenere il minuendo.   

Letizia e Gabri: non vi siete dilungati troppo sulla sottrazione … ma bravi, va’!:-)

Altra nota: in tanti, Letizia, Gabri, Giovanni, Maria Chiara,  …, hanno realizzato con Excel (Bachisio sul quaderno) le tabelle dell’addizione e della sottrazione (altri solo quella dell’addizione!). E però: senza alcun commento! E no, no: lavoro da completare! :-)

L’insieme N dei numeri naturali

Scrivono Maria Chiara, Gabriele e Marcello:

Dopo le varie discussioni sugli  insiemi, ci siamo occupati di  un insieme  di tipo … numerico.  Si tratta dell’ insieme dei numeri naturali. I numeri naturali sono tutti i numeri positivi interi, cioè quei numeri che partono dallo zero e arrivano fino all’infinito; dunque non comprendono i numeri negativi né quelli decimali. 

Abbiamo scoperto le proprietà di questo insieme:
•    è un insieme ordinato, perché prendendo due elementi qualsiasi, si può sempre stabilire qual è il maggiore e quale il minore; (l’unico numero che pur essendo naturale non è il successivo di un numero naturale è lo zero (0) )
•    è un insieme infinito, perché ha elementi infiniti.

Abbiamo parlato di come rappresentare graficamente nel modo migliore i numeri naturali. Il modo migliore per rappresentarli graficamente è con una semiretta. Perché non con una retta? Vi starete chiedendo perché: per il semplice motivo che i numeri naturali hanno un inizio (lo zero ), ma non hanno una fine, infatti si dice “infinito”.  E anche la semiretta ha un inizio ma non una fine.
Quindi, fissando una unità di misura, __  (questo trattino rappresenta 1, unità), associamo un  numero ad ogni punto di una semiretta.

    O__A__ B__ C__ D__ E__ F__ G__ H__ I__ L__ M__
     0     1        2      3       4       5      6       7        8       9      10

Ci siamo soffermati molto su due quesiti sui quali la professoressa ci ha fatto riflettere:
1)    ad ogni numero assegni un punto?  Cioè ogni numero naturale trova collocazione in un punto della semiretta? VERO

2)    Su ogni punto della semiretta cade un numero naturale? FALSO

perché tra un punto della semiretta dove cade un numero naturale e il suo successivo dove ancora cade un numero naturale, ci sono infiniti punti e non c’è un altro numero, o meglio c’è ma non è numero di tipo naturale ma di tipo decimale, es: 0,9999999….

La prof ci ha detto che nei tre anni della scuola media riempiremo la semiretta, anzi tutta una retta!

L’insieme dei numeri naturali viene indicato con la lettera maiuscola: N
e si può rappresentare, come tutti gli insiemi anche:
•    per elencazione o in forma tabulare: N= {0; 1; 2; 3; ...}
•    per caratteristica: N= {x|x è un numero naturale}
•    graficamente con il diagramma di Eulero-Venn
- fine  della lezione oooo almeno credo (dice M. Chiara!)

Gabriele e M. Chiara hanno anche realizzato in Excel la rappresentazione dei naturali sulla semiretta. Ecco le immagini

M.Chiara

Gabriele  

Altri nostri post sull’argomento:

L'insieme N dei numeri naturali e la sua rappresentazione sulla semiretta  (si può scaricare il file Excel)

[Tutoriale]Come creare un grafico in Excel

Esercizionline_03_prima

Ragazzi, I!

Ormai passwordmuniti  :-), seguite le indicazioni per l’esecuzione di un nuovo esercizio (lo so, non avete ancora fatto gli altri, non importa: cominciate con questo, ci tengo! – domani abbiamo aritmetica…) 

Quando invece vorrete scegliere gli esercizi dalla vostra pagina iniziale leggete le indicazioni date alla III!

Dopo aver cliccato sull’immagine sotto [Esercizio sull’insieme N dei numeri naturali. Cimentarsi!], scegliete il vostro nome dal menu a tendina, Student, immettete la password, OK. Procedete, clic su Start testing.

Una volta date le risposte, o anche una per una, avete la possibilità di cambiarle, cliccando sulla barra laterale destra, sulla doppia freccia, indietro, sopra la scritta Change Answer. Attenzione: se avete finito il test e volete cambiare delle risposte o rivedere, fatelo prima di cliccare su Finish.

Ora clic sull’immagine

Per i lettori

qui si può eseguire il test

Buon divertimento :-)

L'insieme N dei numeri naturali e la sua rappresentazione sulla semiretta

In questi giorni più di un alunno della classe prima è stato assente perché malatuccio.
Ci siamo portati un po' avanti con le nostre attività. Provo ad informare gli assenti attraverso il nostro blog. Vedi mai che qualcuno si colleghi e cominci a studiare in autonomia? :-)
Con tranquillità, perché naturalmente al rientro in classe riconsidereremo insieme ogni cosa!

Abbiamo appena studiato gli Insiemi e abbiamo visto che gli elementi di un insieme possono essere i più diversi: città, oggetti, lettere dell'alfabeto, animali, ..., e numeri!
E' venuto il momento di approfondire la conoscenza degli insiemi di tipo numerico, degli insiemi numerici appunto.
Impareremo nel corso dei tre anni della scuola media, a conoscere ... tutti i tipi di numeri esistenti! (li chiameremo infatti Reali - perché esistono i numeri ... immaginari!). Servendoci del linguaggio degli insiemi li metteremo al giusto posto, faremo ordine, conosceremo tutti gli insiemi numerici che andranno a costituire i numeri Reali.
Ma andiamo per gradi.
Cominciamo a considerare i numeri che conosciamo fin da bambini.
Come avete cominciato a contare?
1, 2, 3, 4,..........
Già, mai sentito un bambino piccolo contare le sue macchinine: 1,3; 2,8....... (anche se ha qualche macchinina rotta....!)
Dunque avete cominciato con i numeri interi, vi è venuto ....naturale!
Infatti l'insieme dei numeri interi è chiamato Insieme dei numeri naturali.
Gli insiemi si indicano con la lettera....?
Maiuscola!
L'insieme dei numeri naturali si indica con la lettera maiuscola N.
Essendo un insieme esso si può rappresentare:

• per elencazione o in forma tabulare: N= {0; 1; 2; 3; ...}
• per caratteristica: N= {x|x è un numero naturale}
• graficamente con il diagramma di Eulero-Venn

Fra tutti i numeri naturali ce n'è uno che può sembrare un po' "meno naturale" degli altri: lo zero.
L'uomo in effetti, ha cominciato a usare lo zero molto più tardi rispetto agli altri numeri perché, quando cominciò a contare ciò che possedeva, non si preoccupò di contare qualcosa che non aveva! E neppure un bambino conta: 0 (zero) macchinine.
Naturalmente poi, come sappiamo, con il sistema posizionale, ricorse all'uso dello zero, per riempire gli eventuali vuoti delle singole posizioni. Ad es nel numero 105, lo zero riempie il vuoto delle decine.
A volte si ha la necessità di considerare l'insieme dei numeri naturali escludendo lo zero.
Esiste un simbolo appropriato: con N0 si indica l'insieme dei numeri naturali escluso lo zero.
Anch'esso si rappresenta:

• per elencazione: N0 = {1; 2; 3;...}
• per caratteristica: N0 = {x|x è un numero naturale diverso da 0} (diverso da ha un suo simbolo: il segno di uguale con una sbarra trasversale)
• graficamente: nel diagramma di Eulero-Venn non si immette lo zero.

Quali sono le proprietà dell'insieme N?
Quanti sono i numeri naturali?
Ma si, sappiamo che i numeri sono infiniti. Se infatti pensate un numero, grandissimo, potete sempre aggiungere 1 a quel numero e poi ancora aggiungere 1 ..... ottenendo dei numeri ancora più grandi.
Dunque N è un insieme infinito.

Ora pensate un numero qualsiasi (per gli assenti che ora leggono: i vostri compagni in classe hanno fatto ciò che descrivo)
Il numero che avete pensato precede quale numero?
Il numero che avete pensato segue quale numero?
Ripetete la stessa cosa per altri numeri. Potreste farlo per qualsiasi numero?

Sì, ogni numero viene prima di un altro e viene dopo un altro numero.
Potete sempre dire che un numero è maggiore di un altro oppure che esso è minore di un altro, come potete dire anche che esso è diverso da un altro.
Potete cioè sempre confrontare due numeri.

In generale indicando con a e b due numeri naturali qualsiasi (sapete che per generalizzare si usano le lettere) possiamo stabilire se a precede (è più piccolo) oppure segue (è più grande) b.
Possiamo quindi scrivere i numeri naturali in modo ordinato partendo dal più piccolo (in ordine crescente) o dal più grande (in ordine decrescente) :
3, 5, 8, 12, 22 (ordine crescente)
23, 12, 11, 9, 7 (ordine decrescente)
Come possiamo indicare dunque questa proprietà dei naturali?
Dobbiamo trovare un aggettivo... se possiamo ordinare i numeri, l'insieme può essere un insieme... ordinato! (in classe i ragazzi sono stati bravi a trovare l'aggettivo!)
L'insieme N dei numeri naturali è un insieme ordinato.

E ora un lavoro: come possiamo rappresentare i numeri naturali?
No, non intendo la rappresentazione dell'insieme, ma una rappresentazione mediante ... un disegno.
Ecco, qualche compagno ha proposto di disegnare una scala sul quaderno a quadretti e sistemare i numeri sui gradini, in ordine crescente.
Ma... non è troppo comodo....
Abbiamo detto che i numeri sono infiniti... ah ecco, qualcuno dice: una linea!
Oh, Marina ha già disposto i numeri su una linea retta!!!
Sì, la linea retta va bene perché anch'essa è ... infinita (anche la linea retta è un insieme. Di.... punti!)
Fine della lezione!
Eh... dobbiamo spiegare la rappresentazione dei numeri naturali sulla retta. O meglio, vedremo, sulla semiretta.

Alla prossima lezione!

Nel frattempo potete cominciare a scaricare N su semiretta.xls in excel: rifaremo insieme il lavoro!