Atomi o mattoni dell’aritmetica ...

E sì ...

stamane abbiamo parlato del ritmo cardiaco irregolare della matematica.

- Bea e Stefano mi inviano un ”cappello” per questo post. Aggiorno!

Oggi, la prof ci ha letto un libro intitolato “L'enigma dei numeri primi”, abbiamo ascoltato tante notizie, e allo stesso tempo abbiamo ripassato delle cose già fatte e che comunque facevano parte di quell'argomento.

Il libro ci racconta così: i numeri primi, sono veri e propri atomi della matematica, essi sono i “gioielli” nel grande mondo dei numeri naturali. Sono il mistero della matematica, ed essi hanno il potere di costituire tutti i numeri e inoltre fanno parte della tavola periodica del matematico, e inoltre il 2, il 3 e il 5 sono gli elementi più leggeri di questo infinito insieme.

Prima ho parlato di ripasso, e il primo è stato il seguente che avevamo già visto un po' di tempo fa:

1 - 3 - 6 -10 - 15 - 21....... Quale sarà il numero successivo?

(questi sono i numeri triangolari)

Osserviamo bene i numeri...dall'uno ad arrivare al 3 ci manca 2, dal 3 per arrivare al 6 ci manca 3, dal 6 per arrivare a 10 ci manca 4, da 10 per arrivare a 15 ci manca 5 e da 15 per arrivare a 21 ci manca 6.

Poi la prof. ha fatto scrivere un’altra successione:

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89...... Qual è il prossimo numero?

[Qualcuno conosceva la serie per aver visto dei video, altri hanno individuato rapidamente la regolarità...]

Questa è chiamata la “serie di Fibonacci”, che può creare la spirale aurea. (Fu Leonardo Fibonacci a portare i numeri arabi in Europa).

Il prossimo numero è il 144! Vediamo perché:

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

1+1=2;  1+2=3;  2+3=5;  3+5=8;  5+8=13;  8+13=21;  13+21=34; 21+34=55; 34+55=89

55+89=144

Queste 2 successioni hanno insomma una regolarità.

Se scriviamo la successione dei numeri primi:

2-3-5-7-11-13-17-19-23-29-31-37-41…

In questa successione non c’è una regolarità.

Infatti i numeri primi sono

IL BATTITO CARDIACO IRREGOLARE DELLA MATEMATICA.

Questo il disegno di Giuseppe P. (clic per ingrandire)

Bravo Giu’, mi è piaciuto un sacco!

Altri “elettrocardiogrammi” dovrebbero arrivare ...

Questo, di Stefano:

di Daniele:

di Rita:

di Letizia:

di Beatrice

Soluzione Enigma poligoni simili

La soluzione all’enigma è stata data da Dario nei commenti.

Due poligoni simili non possono sovrapporsi in maniera tale che l’ingrandimento copra perfettamente il poligono più piccolo solo se si tratta di poligoni concavi (QUI e QUI).

E’ necessario, come ben afferma Dario, che su due vertici consecutivi l'angolo interno del poligono sia maggiore di 180 gradi, vale a dire tre rette passanti alternativamente su altrettanti lati suddividono il poligono in due parti ciascuna delle quali si trova su due distinti semipiani.

La condizione non è tuttavia sufficiente. Influisce anche l’ampiezza degli angoli consecutivi a quelli della concavità, come dimostrano le figure seguenti.

In questa il poligono A’ copre perfettamente il poligono simile A. - Cliccando sull’immagine si può aprire l’applet GeoGebra, verificare e provare a modificare le costruzioni.

In quest’altro caso invece non è possibile coprire il poligono B con quello simile B’.

L’enigma dei poligoni simili

Per i ragazzi e per … i più grandi!

Li vedete i poligoni simili …

come c’è da aspettarsi, in qualsiasi maniera li sovrapponiamo, il più grande ricopre sempre perfettamente il più piccolo.

Ma, ma … :

ho due poligoni simili; quando cerco di coprire il più piccolo con il più grande, non ci riesco. Non c’è verso !

Siete in grado di spiegare perché ?
(non vale dire che ho sbagliato la costruzione!:)

Enigmi di aritmetica: Dischi rotti

Ancora da
ESPERIENZA A-AH! - Martin Gardner
un rompicapo davvero carino ... :-)

DISCHI ROTTI

Bob e Helen sono appassionati di rompicapi. Il loro passatempo preferito è escogitare quesiti per mettersi alla prova.


Un giorno Bob a Helen passarono davanti a un negozio di dischi.
Bob: Hai ancora i tuoi dischi di musica country?


Helen: No, ne ho regalato la metà, più la metà di un disco, a Suzy.


Helen: Poi ho regalato la metà di quel che mi era rimasto, più la metà di un disco, a Joe.

Helen: Ora mi è rimasto soltanto un disco, e lo regalerò a te se saprai dirmi quanti dischi di musica country avevo all'inizio.


Bob era sconcertato perché non riusciva a capire a che cosa potesse servire mezzo disco.


All'improvviso gli venne un'idea, e capì che neppure un disco era stato spezzato.
Rispose alla domanda di Helen, e lei gli regalò quell'ultimo disco.
Quale intuizione ebbe Bob?

Suggerimento:

Sì, sì: è un suggerimento!
Chi spiega la soluzione? :-)
Per i ragazzi aggiornerò il post con ulteriori dritte.
[Aggiornamento] Avvio l'attività con i ragazzi.
Ragazzi, per trovare la soluzione al rompicapo rappresentiamo in un primo momento la situazione con degli schemi: un trattino (__) rappresenta un disco, mezzo trattino (_), "la metà" di un disco. Tra virgolette, perché nessun disco è stato rotto!

Riflettiamo sulla situazione finale: a Helen è rimasto 1 solo disco dopo i regali a Suzy e Joe:

Helen dice di aver regalato a Joe la metà di quel che le era rimasto, più la metà di un disco.
(mi raccomando, non facciamoci ingannare da quel "metà di un disco", ripeto, nessun disco spezzato!)
SE dunque ha regalato la metà più un mezzo (1/2), quell'unico disco che le è rimasto rappresenta la metà di quelli che aveva alla quale metà manca un mezzo (1/2):
questa è la metà dei dischi che aveva Helen prima del regalo a Joe.
Quindi, osservate ancora:
ho messo in evidenza la metà e la metà più un mezzo.
Quanti dischi aveva Helen prima di regalare a Joe?
Quanti dischi ha regalato a Joe?
La risposta, sù... è trooppo chiara!:-)

Ora, ripetiamo il ragionamento partendo dal numero di dischi che aveva Helen prima del regalo a Joe e dopo il regalo a Suzy:
dice di avere regalato a Suzy la metà (di quelli che aveva in totale) , più la metà ...
Quindi il numero di dischi dopo il regalo a Suzy, rappresenta la metà del totale, a cui manca un mezzo.
La metà del totale è dunque:

E la metà più un mezzo:

Quanti dischi ha regalato Helen a Suzy?
Quanti dischi aveva in totale inizialmente?

Un'altra riflessione importante è: la metà di qualcosa più un mezzo (1/2) può essere un numero intero!
La metà di quali numeri? .................................

Gli Atomi dell’aritmetica

"I numeri primi sono i veri e propri atomi dell’aritmetica.
Si definiscono primi i numeri interi indivisibili, cioè quelli che non possono essere scritti come prodotto di due numeri interi più piccoli. I numeri 13 e 17 sono primi, mentre il numero 15 non lo è, dato che può essere scritto come il prodotto di 3 e 5. I numeri primi sono gioielli incastonati nell’immensa distesa dei numeri, l’universo infinito che i matematici esplorano da secoli. Ai matematici i numeri primi infondono un senso di meraviglia: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23..., numeri senza tempo che esistono in un mondo indipendente dalla nostra realtà fisica. Sono un dono che la Natura ha fatto al matematico."
Ragazzi, questo brano è tratto da un libro affascinante:

L'ENIGMA DEI NUMERI PRIMI
di
Marcus Du Sautoy

Voi potrete apprezzare meglio questa lettura fra qualche anno; qui vi propongo ancora qualche passo:
"La loro importanza per la matematica deriva dal fatto che hanno il potere di costruire tutti gli altri numeri. Ogni numero intero che non sia primo può essere costruito moltiplicando questi elementi di base primari.
Ogni molecola esistente nel mondo fisico può essere costruita utilizzando gli atomi della tavola periodica degli elementi chimici. Un elenco dei numeri primi è la tavola periodica del matematico. I numeri primi 2, 3 e 5 sono l’idrogeno, l’elio e il litio del suo laboratorio. Padroneggiare questi elementi di base offre al matematico la speranza di poter scoprire nuovi metodi per costruire la mappa di un percorso che attraversi le smisurate complessità del mondo matematico.
Eppure, a dispetto della loro apparente semplicità e della loro natura fondamentale, i numeri primi restano gli oggetti più misteriosi studiati dai matematici. In una disciplina che si dedica a trovare andamenti regolari e ordine, i numeri primi presentano la sfida estrema. Provate a esaminare un elenco di numeri primi. Scoprirete che è impossibile prevedere quando apparirà il successivo. L’elenco sembra caotico, casuale, e non fornisce alcun indizio riguardo al modo di determinare il suo prossimo elemento. L’elenco dei numeri primi è il ritmo cardiaco della matematica, ma è una pulsazione stimolata da un potente cocktail a base di caffeina:

I numeri primi compresi fra 1 e 100: il battito cardiaco irregolare della matematica.

Riuscite a trovare una formula che generi i numeri di questo elenco, una regola magica che vi dica qual è il centesimo numero primo?
Questo problema affligge la mente dei matematici da molti secoli. Nonostante più di duemila anni di sforzi, i numeri primi sembrano vanificare ogni tentativo di inserirli in un semplice schema regolare. Generazioni sono rimaste sedute ad ascoltare il ritmo del tamburo dei primi che emette la sua sequenza di numeri: due colpi, seguiti da tre colpi, poi da cinque, sette, undici. Man mano che la sequenza continua, è facile essere indotti a pensare che il tamburo dei numeri primi emetta un rumore bianco casuale, privo di una logica interna. Al centro della matematica, della ricerca dell’ordine, i matematici riescono a sentire soltanto il suono del caos.
I matematici non sopportano di dover ammettere che non esista una spiegazione del modo in cui la Natura ha scelto i numeri primi. Se la matematica non avesse una struttura, se non possedesse una sua meravigliosa semplicità, non varrebbe la pena di studiarla. L’ascolto di un rumore bianco non è mai stato considerato un passatempo piacevole. Come scrisse il matematico francese Henri Poincaré, «lo scienziato non studia la Natura perché è utile farlo; la studia perché ne trae diletto, e ne trae diletto perché la Natura è bella. Se non fosse bella, non varrebbe la pena di conoscerla, e se non valesse la pena di conoscere la Natura, la vita non sarebbe degna di essere vissuta»."
...a partire dall'ipotesi di Riemann, in questo libro Marcus Du Sautoy

Ritratto di Marcus du Sautoy

presenta con chiarezza esemplare i principali enigmi risolti e irrisolti del mondo dei numeri primi, spiegando quale sia la loro importanza attuale in campi come la fisica quantistica e la sicurezza informatica. Continua