Risolte da:
Erica. Che ha ben utilizzato il LaTex
Clic sull’immagine per aprire l’applet e seguire i passi della risoluzione.
[In LaTex non è agevole visualizzare le semplificazioni delle frazioni. Con il comando \not il segno di semplificazione appare sulla sola prima cifra dei numeri]
Gabriele. Ancora bene con La Tex!
In seconda,
dovremo riprendere, recuperare, sviluppare o verificare conoscenze e competenze sulle Frazioni e Numeri Razionali
Clic per ingrandire
elaborata da un gruppo di ricerca IPRASE
1° post 2011: utility!
“Calcolare frazioni, Come si calcolano le frazioni, Regole espressioni con frazioni, Numeri periodici in frazioni...” :
Sono chiavi di ricerca piuttosto ricorrenti!
E inoltre, non possiamo negare che anche noi abbiamo a volte qualche problema nella risoluzione delle espressioni con le frazioni!
Ecco dunque un primo semplice esempio che illustra
Un clic sull’immagine per eventualmente ingrandire
Un secondo esempio per ricordare anche l’elevamento a potenza di una frazione.
L’espressione è risolta su GeoGebra con l’uso del LaTex.
Clic per aprire l’applet, doppio clic per aprire la finestra dell’applicazione e salvare
Ragazzi,
abbiamo visto le classi di equivalenza. Quegli insiemi, infiniti, di frazioni equivalenti, ciascuno dei quali è un numero razionale: una classe di equivalenza <--->un numero razionale.
Cioè: più rappresentazioni, come frazione, dello stesso numero razionale.
L’insieme dei razionali, dunque, l’inseme Q è costituito da tutte le classi di equivalenza, dall’insieme delle classi di equivalenza.
Eh, fermiamoci solo un attimo: Un insieme, Q, infinito, i cui elementi sono degli insiemi, infiniti ... ancora una volta incontriamo ...l’infinito!
E ora, vediamo:
le classi di equivalenza sono insiemi infiniti. Come abbiamo fatto con i numeri naturali (N), infiniti, possiamo rappresentarle mediante un ente geometrico, infinito naturalmente: la retta.
Precisamente:
ogni classe di equivalenza può essere rappresentata come una retta, passante per l'origine degli assi cartesiani, che passa per ogni coppia ordinata che rappresenta quel numero razionale.
Ricordate le coppie ordinate? Ricordate il prodotto cartesiano? (fate clic sui link!)
In questo caso le coppie ordinate in questione le possiamo rappresentare così:
$(a,b) ----> \frac{ a }{b} \,=\,\frac{k*a }{k*b }$
il numero k è un naturale qualsiasi (proprietà invariantiva, vero?).
Il sistema di riferimento cartesiano ci aiuta nella rappresentazione grafica delle classi di equivalenza.
Vediamola. Clic sull’immagine per aprire l’applet geogebra.
b) ogni punto di ciascuna retta ha per coordinate una coppia ordinata di valori che corrisponde a:
$(a,b) ----> \frac{ a }{b} \,=\,\frac{k*a }{k*b }$ (a/b = k*a/k*b)
Come fare per ottenere la retta che rappresenta una classe di equivalenza?
Qualche esempio: volete rappresentare il numero razionale 3/5?
Sulla barra di inserimento digitate: x =3/5 y e, invio.
Per individuare – evidenziare dei punti che formano la retta:
digitate sulla barra di inserimento: (3, 5) e, invio; o anche (6, 10), invio. (Naturalmente anche il punto (1.5, 2.5) – ho diviso per 2 - farà pare della retta!) Ecc...
Volete rappresentare il numero razionale 4?
Sulla barra di inserimento digitate: x = 4 y
Per evidenziare dei punti sulla retta:
sulla barra di inserimento: (4, 1), O anche: (8,2), ecc...
Potete provare subito anche sull’applet.
Non è una lezione “speciale” con la LIM (lavagna interattiva multimediale)
E’ soltanto una nostra normale lezione con la Lim, che utilizziamo da qualche mese nelle nostre normali attività.
Oggi ci è venuto in mente di salvare un PDF da condividere. Ci sono tutti i nostri scarabocchi, così come sono venuti, spontanei, in corso d’opera! Non siamo precisini, ordinatini... ma a noi pare importante il fatto che ci siamo tutti!
Il tema è l’ampliamento di N, insieme dei numeri naturali, alla scoperta dell’insieme Q, dei razionali.
Dalla suddivisione dell’intero.... (nella suddivisione del quadrato in parti uguali ci siamo poi sbizzarriti !)
Clic sulla figura per scaricare il PDF (al quale ho aggiunto qualche nota esplicativa...)
Ehi, o belli: la relazione ...resta assegnata! :-)
Il calcolo con le frazioni, meglio dire con i numeri razionali, è anch'esso una "chiave di ricerca" frequente. Ma, ragazzi di II, direi proprio: vale anche per voi!:-)
Si possono rivedere le spiegazioni nel link indicato, QUI, QUI e QUI.
Propongo delle schede di esercizi direttamente da un "libro delle vacanze" - Il capitello edizioni (che suggerisco, ripassare divertendosi!)
Ingrandire le immagini e stampare
Un lavoro di Giulia realizzato in Excel:
Una tabella dove le intestazioni di colonna e riga costituiscono rispettivamente numeratore e denominatore di una frazione. Si chiedevano osservazioni sui numeri razionali generati...
Anna Laura, Giulia G, Laura e Saverio dicono....
Studiando le frazioni abbiamo scoperto l'insieme Q.
E' l'insieme di tutte le classi di equivalenza. La classe di equivalenza è l'insieme delle infinite frazioni equivalenti ad una data primitiva, la sua rappresentante.
Abbiamo scoperto che dell’insieme Q dei numeri razionali fa parte l’insieme N dei numeri naturali, N ⊂ Q, e che l’insieme Q che è infinito ha per elementi insiemi che a loro volta sono infiniti! Curioso...!
L’insieme N fa parte dell’insieme Q perché questo comprende le frazioni apparenti, siccome sembrano ma non sono frazioni, sono dei numeri naturali cioè interi. Anche i naturali sono classi di equivalenza …
Approfondiamo la conoscenza dell'insieme Q+
Alessandra, Delia, Irene, Laura e Nicola hanno raccolto il loro lavoro in questo articolo.
Eseguiamo le operazioni con le frazioni perché esse sono, oltre che operatori su grandezze, anche dei numeri. Sono i numeri razionali.
Sì, non i naturali, quelli non bastavano più!
Quando l’uomo si è trovato a dover risolvere certe divisioni, quelle non fattibili in N, insieme dei numeri naturali, (si dice non interne ad N) si è dovuto inventare l’insieme Q (insieme dei numeri razionali). Più precisamente, ricordiamo che per numero razionale si intende una classe di equivalenza che è: l’insieme delle infinite frazioni equivalenti ad una frazione primitiva.
Vediamo le più semplici operazioni con frazioni, l’addizione e la sottrazione.
Un esempio:
2/3 + 5/3 + 4/3 = 11/3.
In questo caso mi è venuto molto facile perché dovevo addizionare sempre dei terzi, aggiungere sempre la stessa unità frazionaria che è 1/3, cioè sommare unità frazionarie omogenee, come si fa con le grandezze omogenee (solo fra grandezze omogenee si può operare, fare calcoli).
Quando invece dobbiamo eseguire un addizione con diverse unità frazionarie come sarà il procedimento?
Facciamo un esempio:
2/3 + 5/4 + 7/2
So che posso sommare solo unità frazionarie uguali, quindi devo avere uguali i denominatori. Questo con le frazioni è possibilissimo. Abbiamo uno strumento: riduzione al minimo comune denominatore. Lo abbiamo usato tante volte, per es. per confrontare frazioni.
Cerco il m.c.m. (il minimo comune multiplo) fra i denominatori, che in questo caso è 12 e lavoro così:
2/3 + 5/4 + 7/2 =
8/12 + 15/12 + 42 /12 = 65/12 (sul quaderno anziché scrivere il 12 per quanti addendi sono presenti, lo scrivo una volta sola sotto un’unica linea di frazione).
Come avete potuto vedere anche i numeratori sono cambiati, perché abbiamo seguito la regola dell’invariantiva, che è la proprietà della divisione, che ci permette di trovare frazioni equivalenti.
In II dobbiamo approfondire le nostre conoscenze sull'insieme Q+ incontrato con le frazioni ....
Qualche anno fa ho realizzato una presentazione su Power Point sull'insieme Q+.
Clic QUI per scaricare.
Oggi noi lavoriamo più volentieri con Excel che ci permette una migliore interattività.
Questo il file excel sui Razionali con ... pillola di Excel!
E' vero, non abbiamo fatto in tempo per spiegare a tutti come si costruisce in Excel la semiretta dei numeri razionali. Ieri eravamo solo in 5 e abbiamo chiesto alla prof di spiegarcelo ugualmente.... E lo ha spiegato in ogni dettaglio.
E' la semiretta perché abbiamo rappresentato i numeri positivi cioè maggiori di zero. Se avessimo costruito una retta avremmo rappresentato anche i numeri negativi, cioè minori di zero.
Io ho provato a fare il lavoro. Ho usato un metodo diverso da quello della prof per mettere le etichette (frazioni) sulla semiretta. Un po' mi ha aiutato la prof ma l'idea della casella di testo l'ho avuta io!
Il mio lavoro potete scaricarlo: fate CLIC!
* Per la I A!
Ci si era ripromessi di rappresentare con Excel, le frazioni sulla semiretta numerica. Ho visto molti occhietti che facevano: "wow!", ma non abbiamo fatto in tempo ... Speriamo di poter fare ancora, prima della chiusura dell'a.s., un po' di laboratorio.
Per il momento ho pensato di prepararvi un esempio. Scaricate il file semirettarazionali.xls, leggete attentamente le indicazioni contenute nel foglio di lavoro. Fate pure qualche prova, se volete scrivete un commento, esprimete eventuali dubbi ...
Altri esempi di Classi di equivalenza. di Irene e LauraQ (2):{ 2/1; 4/2; 6/3; 8/4; 10/5; 12/6...}Q (5):{ 5/1; 10/2; 15/3; 20/4; 25/5; 30/6...}
Queste sono frazioni apparenti, battezzate così perché apparentemente frazioni, ma in realtà sono numeri naturali. Questo esempio dimostra che tutti i numeri naturali si possono rappresentare con una Classe di equivalenza, cioè sono anche numeri razionali.Nel linguaggio degli Insiemi diremo che
si legge: N (insieme dei numeri naturali) sottoinsieme o incluso in Q (insieme dei numeri razionali).
Scrive Delia - IA
La prof dice che è da completare.....
Bèh, spero ti sia divertito. Ma non come me!
A cura di Alessandra - IA
Rappresentazione di una CLASSE DI EQUIVALENZA
E' la rappresentazione di un insieme. La frazione 2/3 viene chiamata “frazione primitiva”, poiché il numeratore e il denominatore sono primi fra loro.
Questo insieme si chiama Classe di Equivalenza. La Classe di Equivalenza è l’insieme delle infinite frazioni equivalenti ad una frazione primitiva.
Le frazioni equivalenti alla primitiva sono infinite.
La primitiva è la "rappresentante" del NUMERO RAZIONALE. Nell'esempio: 2/3
A cura di Laura - I A
Oggi la prof. ci ha proposto una diversa strada per trovare frazioni equivalenti.
Il problema è: mantenere sempre le misure del rettangolo (altezza: 12 cm; base: 8 cm); operatore applicato: 2/3. Trovare frazioni equivalenti.
Noi rispondiamo: applicando operatore diverso!
A differenza della scorsa lezione, dove aveva proposto di cambiare le misure del rettangolo mantenendo lo stesso operatore.
Noi alunni abbiamo riflettuto, la prof. ci ha aiutato dandoci qualche indicazione, dopo un po’ Nicola dice che basta moltiplicare i due numeri, il 2 e i 3 di 2/3, per lo stesso numero.
La prof dice:
lo potresti dire in diverso modo, questa è una maniera un po’ .... "limitata"!
Nicola allora dice: basta che io applichi l’invariantiva e potrei trovare infiniti operatori.
Bravo!
Dopo noi alunni abbiamo fatto una marea di esempi che la prof scrive alla lavagna. Dimostra che applicando operatori diversi ma "equivalenti", le dimensioni del rettangolo, 8 e 12 cm, sono mantenute.
Gli operatori trovati vengono scritti in ordine alla lavagna.
La prof:
ora vi faccio una domanda: quanti numeri ho scritto alla lavagna? Non fatevi ingannare…..
Subito mani alzate, 2 o 3 ragazzi rispondono, uno 7 (erano 7 le frazioni elencate), l’altro 14 e l’altro infiniti.
Dopo la prof dà la parola e me (Laura), Irene e Alessandra. E noi: 1 professore'!
Lei ci chiede perché.
Ma perché sono frazioni equivalenti!
Brave!
E ancora chiede: queste frazioni da quale sono "nate"?
Noi rispondiamo: da 2/3.
Lei ci fa notare come ad es. da 6/9 si può tornare a 2/3 dividendo numeratore e denominatore per lo stesso numero, mentre con 2/3 sarebbe possibile dividere entrambi solo per 1.
Ci chiede il perché.
Risponde Federico dicendo che 2 e 3 sono primi fra loro.
La prof dice che è stato bravo, e chiede quindi: alla frazione 2/3 che aggettivo possiamo attribuire? Badate alla parola “primi”.
Risponde Delia: primitiva!
Si, bravaa!
E allora le altre frazioni come sono?
Noi, dopo qualche tentativo…: derivate!
La prof ci fa i complimenti!
Dice infine che l’insieme di cui stiamo parlando si chiama CLASSE DI EQUIVALENZA. Ci fa definire correttamente la classe di equivalenza: "è l'insieme delle infinite frazioni equivalenti ad una primitiva". E' questo insieme il numero razionale!
Fine della lezione.
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