... e se la scatola ha forma piramidale?

eh... prosegue il discorso aperto qui ...
Se devo rivestire una scatola a forma di piramide ... banale, no? Devo calcolare l'area della superficie delle sue facce e poi eseguire la somma!
Il calcolo della superficie totale di una piramide regolare è semplificato dal fatto che le facce laterali hanno tutte la stessa altezza (apotema della piramide).
Consideriamo una piramide regolare quadrangolare

Non è difficile scoprire le formule: basta un clic sulla figura!
... e riflettere sull'animazione e sull'immagine del foglio di lavoro di geogebra:-)
Solo dopo aver osservato, fatto le vostre considerazioni e magari provato a scrivere le formule, tornate pure a leggere qui.
.... fatto?
Noi lo abbiamo "fatto" in classe.
Irene, osservata l'animazione, ancora prima dell'azione sullo slider s, ha proposto la corretta formula risolutiva per il calcolo della superficie laterale. Béh, è stata brava, glielo dobbiamo dire!:-)
Altri hanno avuto necessità di osservare l'immagine del parallelogramma...

E alla domanda:
Che relazione c'è tra l'area del parallelogramma e quella della superficie laterale della piramide?
Diverse manine, la parola a Nicola: "l'area del parallelogramma è doppia di quella della superficie laterale della piramide".
Quindi, la formula per il calcolo della superficie laterale è: Sl = (Pb * a)/2
[formule inverse (Maria ...) Pb = Sl * 2/a e a = Sl * 2/Pb ]
E quella per il calcolo della superficie totale? St = Sl + Sb
Naturalmente Sb richiede la conoscenza delle formule per il calcolo della superficie delle figure piane. Ripassare!!!
Ribadisco un concetto: non si è obbligati a ricordare le formule, meglio la riflessione sul significato di superficie. Come avete visto le formule si possono ricavare.
Nella risoluzione di un problema nessuno vieta il calcolo separato dell'area delle singole facce e poi la somma. Nel caso di un solido irregolare bisogna procedere giusto così [e se le facce dovessero essere poligoni irregolari? Ahi! Ma si posso scomporre in figure regolari...!].
Converrete solo che nel caso di solidi regolari, le formule costituiscono una scorciatoia, si fa prima!
Eppoi: ma ci dimentichiamo che le formule sono utili per generalizzare? E, saper generalizzare... anche questo è crescere!

Una scatola azzurra vorrebbe cambiare colore … !

Un titolo curioso per dire...
Qualche ragazzo della III B mi ha detto di aver cercato sul blog le
"formule dei solidi", "anche se ci sono nel libro...".
Mi pare bello accontentarlo, raccomandando però che le formule non sono tanto da ricordare quanto da comprendere, addirittura uno se le può ricavare da sé! :-)
Cominciamo col dire che di un solido, che ha tre dimensioni, misuriamo:

• gli spigoli (se ci sono, in una sfera ad es... ?) che sono dei segmenti
• il contorno, che in questo caso è una superficie
• il volume, che è l'estensione del solido nello spazio.

Consideriamo in questo post la misura, il calcolo quindi, della superficie di un solido.
Dunque: il titolo del post?
Già, se la superficie è il contorno di un solido, immaginate di doverlo verniciare oppure doverlo rivestire...
Ecco perché "una scatola che vuol cambiare colore"!
Quanta carta mi serve per rivestire una scatola? Si tratta di calcolare la misura della superficie della scatola.
Consideriamo la nostra scatola a forma di un prisma retto a base triangolare.

Taglio la scatola lungo uno spigolo laterale e lungo due spigoli di base: distendo sul piano le superfici che costituiscono il contorno della scatola. Potrò calcolare facilmente quanti cm² di carta mi servono per rivestirla di un altro colore.

Ora andrete ad aprire una pagina dove potete seguire, animato, quello che più propriamente viene chiamato sviluppo del solido sul piano. Trovate anche le principali indicazioni per il calcolo della superficie del prisma. (clic destro sullo slider s se volete attivare: "Animazione attiva") CLIC QUI

I poligoni, che abbiamo visto svilupparsi sul piano, facce del prisma, costituiscono la sua superficie.
Le superfici che delimitano il prisma (e questo vale per tutti i solidi) prendono il nome dalla posizione che hanno nel solido.

Osservate lo sviluppo della superficie totale del prisma sul piano.

Le facce laterali hanno assunto la forma di un rettangolo(ne!) che ha per base i lati del poligono costituente la base del prisma (la sua misura corrisponde quindi al perimetro della base (Pb)), e per altezza l'altezza del prisma (h) che è la distanza tra i due piani paralleli che contengono le basi.
L'area di questo rettangolo sarà quindi la misura della superficie laterale del prisma (il rettangolo è equivalente alle facce laterali del prisma).
Conosciamo già formule e procedimenti per calcolare l'area di un rettangolo. Perciò:
Sl = Pb * h
[formule inverse: Pb = Sl/ h e h = Sl/Pb]
Per il calcolo della superficie totale (dobbiamo considerare due volte la superficie di base):
St = Sl + 2*Sb
[formule inverse: Sl = St - 2*Sb e Sb = (St - Sl)/2]
Ricorda: La formula della superficie di base di un prisma cambia a seconda della forma della sua base. Ripassare le formule riguardanti le figure piane!
E … ricordando che in geometria il disegno/modello suggerisce, è sempre bene riportare separato da quello del solido, il modello del poligono di base (datemi retta, vi aiuta molto nella risoluzione dei problemi!)
Alla prox!