Il magico * 9 *

E ancora da L'Elmo Della Mente di Ennio Peres - Sfide matematiche.
Si gioca con i numeri: mica abbiamo scoperto tutto della numerazione in base 10!

Il magico 9

Modalità di esecuzione
1. Scrivi il numero 9 su un foglio, senza mostrarlo al pubblico; ripiegalo e inseriscilo in una busta.
2. Fornisci ai tuoi spettatori le seguenti istruzioni collettive (specificando che ognuno di loro dovrà eseguirle in maniera indipendente, senza consultarsi con gli altri):
__a) pensate a un numero intero composto da due sole cifre (ad esempio: 85);
__b) eseguite la somma di queste due cifre (85 ---> 8+5=13);
__c) sottraete il risultato così ottenuto dal numero scelto prima (85-13=72);
__d) se come risultato avrete ottenuto un numero composto da una sola cifra, fermatevi qui; altrimenti, eseguite la somma delle sue cifre (72 ---> 7+2=9).
3. A questo punto, chiedi che, al tuo via, ogni spettatore dichiari ad alta voce, insieme agli altri, il risultato che ha ottenuto.
4. Dai il via e, con un certo stupore, tutti gli spettatori diranno in coro: * 9 *.
5. Apri la busta contenente la tua previsione e metti in evidenza che avevi previsto esattamente il risultato che sarebbe stato ottenuto, nonostante avessi lasciato libero ogni spettatore di scegliere il numero che preferiva.

Eh, ragazzi? Magico 9!
Bisogna sapere che:
la differenza fra qualsiasi numero intero n e la somma delle sue cifre è sempre uguale a un multiplo di nove, indipendentemente dal numero di cifre da cui è composto n.
Provate!
Eppoi, come sappiamo, la somma delle cifre di un multiplo di 9 è sempre uguale a 9. (Un numero è divisibile per 9 quando ....)
Non è difficile dimostrare la proprietà.
Occorre scrivere in forma polinomiale (ehi, la ricordate? Se no, ripasso!) il numero a base 10. [attenzione, al link trovate la forma polinomiale di numeri a base diversa da 10].
Dalla scrittura polinomiale, qualche passaggio matematico (per es. considerando un numero di due cifre) ci porta a dire che:
n - (a+b) = 9*a (a e b sono le cifre che compongono il numero, a la cifre delle decine)
Ok, vedremo i passaggi ... in terza! :-)
Ah, una cosa: la somma delle cifre di un numero è detta radice numerica. Più precisamente: si sommano le cifre di un dato numero e si ripete la stessa operazione sui risultati via via ottenuti, finché non rimane una sola cifra. Questo risultato viene detto radice numerica.

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