Il titolo per "far colpo" su un mio amico blogger appassionato di cultura cinese :-)
In realtà voglio parlare di due dimostrazioni del teorema "di Pitagora", già noto in Cina almeno mille anni prima della nascita di Pitagora. Dimostrazioni basate, come tante altre, sulla scomposizione di aree in parti uguali.
Nei due più antichi trattati di matematica cinesi, il Chou Pei Suan Ching, Il libro classico dello gnomone e delle orbite circolari del cielo, scritto al tempo della dinastia Shang, 1500 - 1000 a. C. (?) ed il Chiu Chang Suan Shu, Nove capitoli sulle Arti Matematiche, entrambi tuttavia di datazione incerta, si trovano due curiose dimostrazioni del famoso Teorema.
Il Chiu Chang comprende in totale 246 problemi articolati in nove capitoli.
Nel capitolo 9, intitolato: Angoli retti (KouKu) vengono proposti ventiquattro problemi sui triangoli rettangoli.
L’algoritmo con cui inizia il capitolo è l’equivalente del “Teorema di Pitagora” già presente comunque nel testo più antico, il Chou Pei. La relazione pitagorica non è mai vista in forma di teorema.
Ecco il teorema Kou Ku o "di Pitagora" secondo l’illustrazione originale del Chou Pei
Questa figura potrebbe essere una dimostrazione del teorema di Pitagora. Nel disegno si vede infatti un triangolo rettangolo di lati 3, 4 e 5 e un quadrato grande di lato 7 = 3 + 4.
La costruzione con geogebra può aiutare a ricostruire la dimostrazione originale, andata perduta.
Clic sull'immagine per aprire l'applet
La costruzione con geogebra può aiutare a ricostruire la dimostrazione originale, andata perduta.
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Quattro triangoli rettangoli, di cateti 3 e 4 u, sono collocati attorno al quadrato centrale di lato 1 u.
Costruendo i simmetrici dei triangoli rispetto al punto medio delle ipotenuse (si raddoppiano i quattro triangoli), otteniamo il quadrato Q_1 di lato 7 u. L'area di questo quadrato è di 49 u².
Per avere l'area del quadrato Q_2, che risulta costruito sull'ipotenusa del triangolo rettangolo di cateti 3 e 4, dobbiamo togliere l'area di quattro triangoli, ognuno dei quali ha area 6 u², cioè 49 - 24 = 25 u². Il lato di questo quadrato misura quindi 5 unità. Proprio secondo la terna pitagorica: 3, 4, 5.
Nel Chiu Chang il procedimento viene chiamato “raggruppare i rettangoli”: i quattro triangoli rettangoli possono essere raggruppati in due rettangoli 3x4.
Il ragionamento può illustrare quindi il teorema di Pitagora in generale, considerando:
(a+b)² - 2 x a x b = a² + b²
Il ragionamento può illustrare quindi il teorema di Pitagora in generale, considerando:
(a+b)² - 2 x a x b = a² + b²
Il caso generale di questa “dimostrazione” fu ottenuto in modi diversi da Chao Chung-Ching e Lui Hui, grande matematico del terzo secolo d. C..
E veniamo alla seconda dimostrazione "cinese" del Teorema di Pitagora.
La spiegazione fornita da Lui Hui nei Nove Capitoli fa riferimento al principio complementarità esterno/interno – dissezione/montaggio:
Siano il quadrato su kou (a) rosso ed il quadrato su ku(b) blu. Usate il principio della mutua sottrazione e addizione di specie simili per inserire i resti, in modo che non ci sia alcun cambiamento nell’area con l’aspetto di un quadrato sull’ipotenusa (c).
I tentativi per ricostruire il diagramma di Liu Hui, perduto, sono stati parecchi.
Una ricostruzione è quella del matematico svedese Jöran Friberg.
Clic sulla prima immagine per visualizzare l'animazione con Geogebra (béh, mi sono piaciuti altri colori :)
Risultano evidenti le parti equivalenti in cui sono state scomposte le figure.
(di un'altra ricostruzione, di uno studioso danese dell’Antica Cina - vedi Link- preparerò forse il geogebra!)
Link:Il teorema di Pitagora nell'antichità
Chiu Chang Suan Shu, contatti Est-Ovest
Liu Hui
A proof of the Pythagorean Theorem by Liu Hui
Qui sul nostro blog:
Scopriamo il Teorema di Pitagora
[Matematica nella storia] Il teorema di Pitagora negli Elementi di Euclide
Le lunule di Ippocrate
Teorema di Pitagora: dimostrazione di Perigal
Post
Se hai un attimo, vieni a vedere: sto diventando..."cinematografaro". Un salutone, Fabio
RispondiEliminaVisto che il nostro amico appassionato di cultura cinese pare essersi perso in un lungo viaggio sulla Transiberiana, mi inserisco per farti i complimenti per questo articolo. Avevo sentito parlare di dimostrazioni cinesi del teorema di Pitagora, ma mai con la tua chiarezza. Mi sembra più bella la dimostrazione più antica. Ciao! :-)
RispondiEliminaciao Pop,
RispondiEliminagraziee :-)
Sì, la più antica è più originale.
Il nostro amico... ah, aspettiamo ansiosi il suo ritorno! :-)
Non mi sono peso , raga, solo che avevo una torma di amici a pranzo e con ovuli e patate al forno non si scherza, bisogna seguire.
RispondiEliminaCome ho visto il titolo mi hai subito accalappiato. Il mio amico Ping mi aveva detto che la nostra geometria, loro l'avevano già studiata molto tempo prima, ma siccome lui dà sempre la colpa a Marco Polo di avergli fregato tutto e che noi occidentali siamo dei gran copioni, dai ravioli alla pizza, non gli avevo dato molto peso. Bellissimo Gio, sei sempre forte. Per i treni russi ne avrei ancora per un paio di mesi se non mi stufo prima.
eheh, Enri,
RispondiEliminaeccome se capisco come siano da seguire certi tuoi pranzetti...:)
Ping, acci, un pochetto ha ragione!
E...sui treni russi, continuerò a seguirti, si scopre un mondo...!
grazie Enrico.