Un "piacevole" teorema….
Così lo presenta Martin Gardner nel volume Viaggio nel tempo e altre stranezze matematiche (Sfide Matematiche).
Tracciate tre cerchi di tre dimensioni diverse in una parte qualunque di un foglio, con l'unica eccezione che non si sovrappongano.
Per ogni coppia di cerchi, tracciate le loro due tangenti comuni.
[…] sarete sorpresi di scoprire che le intersezioni delle tre coppie di tangenti si incontrano sulla stessa retta.
Ecco la costruzione realizzata con geogebra. Clic sull'immagine.
Come ci si potrebbe aspettare, esistono molti modi per dimostrare il teorema mediante costruzioni geometriche.
[Con geogebra ho costruito le coppie di tangenti comuni alle circonferenze c-k e c-e. A e B sono, rispettivamente, le intersezioni delle due coppie di tangenti.
L'intersezione C della coppia di tangenti comuni alle circonferenze k-e, cade necessariamente sulla stessa retta r, cui appartengono le due precedenti]
Ad ogni modo, Popular Computing ha riferito, nel suo numero di dicembre 1974, che il teorema si presta ad un'elegante soluzione se si abbandona il piano bidimensionale per passare a una generalizzazione tridimensionale.
[…] I redattori della rivista informano che quando il teorema fu mostrato a John Edson Sweet, un professore di ingegneria alla Cornell University morto nel 1916, questi osservò per un po' il disegno e commentò: "Sì, è perfettamente evidente!"
__Qual era la "dolce" soluzione del professore Sweet?
Naturalmente io sono andata a leggere la soluzione del prof. Sweet e le altre soluzioni descritte nel volume :-)
La soluzione di John Edson Sweet del teorema dei tre cerchi è fornita nella risposta la problema 62 del volume di L.A. Graham Ingenious Mathematical Problems and Methods (Dover 1959).
Si scopre anche che non è necessario che i cerchi siano disgiunti. Il teorema è valido anche per cerchi contenuti completamente uno nell'altro.
Inoltre: il teorema è chiamato "teorema di Monge", in onore del matematico francese Gaspard Monge (amico di Napoleone), che lo enunciò in un trattato del 1798.
R.C. Archibald, in The American Mathematical Monthy (vol 22, 1915, p.65), fa risalire il teorema agli antichi greci (scrive Donald Keeler)
Il teorema di Monge per tre circonferenze nel piano è citato da Herbert Spencer nella sua autobiografia. Scrive Spencer: "Si tratta di una verità che non posso contemplare senza rimanere colpito dalla sua bellezza e insieme dal sentimento di meraviglia e timore che suscita in me: il fatto che tre circonferenze, apparentemente senza relazione, siano comunque legate da questo plexus di relazioni appare davvero incomprensibile".
Non riporto le dimostrazioni: metti che qualche lettore appassionato voglia proporne una! Se così fosse, ringrazio:-)
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E' proprio vero: a volte l'evidenza allevia il nostro cammino, lo addolcisce. Però è particolarmente grande la soddisfazione per una scoperta che segue a lunghe e difficoltose ricerche. Un abbraccio, Fabio
RispondiEliminabelle parole, Fabio.
RispondiEliminaE' sempre affascinante leggere le diverse soluzioni a problemi "particolari" :-)
per me è un po' difficilino
RispondiEliminaEnrico, anche per me! ho fatto solo la costruzione, sono andata a leggere le dimostrazioni :-)
RispondiEliminabuona giornata!
Bellissimo, Giovanna. Sarà difficile, ma è affascinante. E la tua costruzione è proprio bella.
RispondiEliminaciao Pop, più tardi riporto sui commenti le soluzioni....
RispondiEliminagrazie :)
Ecco la soluzione di Sweet del teorema tre cerchi:
RispondiEliminaInvece di cerchi, supponiamo di osservare tre sfere diverse. Le rette tangenti a ogni coppia di sfere sono le generatrici di
tre coni al cui interno le due sfere entrano perfettamente. I coni rimangono nel piano che sostiene le sfere, e pertanto anche i vertici dei coni giacciono nel piano.
Immaginiamo ora che un piatto piano sia sistemato in cima alle tre sfere. La sua faccia inferiore è un secondo piano tangente alle tre sfere e anche tangente ai tre coni. Anche questo secondo piano conterrà i tre vertici dei coni.
Poiché i vertici giacciono in entrambi i piani, devono anche giacere nell'intersezione tra i due, che è ovviamente una linea retta.
--Altre soluz:
... hanno proposto di girare il disegno, in modo che la retta (sulla quale giacciono le intersezioni delle coppie di tangenti) sia orizzontale e si trovi sopra i cerchi. Ora, possiamo immaginare che i cerchi siano sfere uguali poste all'interno di tre tubi di identica sezione circolare, che si intersecano mutuamente, visti in prospettiva. Le linee tangenti diventano i lati paralleli dei tre tubi. Poiché i tubi devono tutti posare su un piano, i loro lati paralleli visti in prospettiva avranno tutti dei punti di fuga sulla linea dell'orizzonte.
Non è necessario che i cerchi siano disgiunti; in realtà, il teorema si può enunciare in forma più generale, in termini di "centri di similitudine" invece che di tangenti; il teorema è valido allora anche per cerchi contenuti completamente uno nell'altro.
Ma non saranno troppo complicati questi tuoi problemi? Insegni matematica? Ciao.
RispondiEliminaciao, Mio Capitano
RispondiEliminaEheh, è un teorema quindi con necessità di dimostrazione. Per me solo delle belle curiosità matematiche. (le dimostrazioni complicate sono andata a vederle:)
ciao,
grazie per il passaggio!:)