Curve di frutti

Bèh, da un po' non mi divertivo con le "Curve Matematiche tra curiosità e divertimento" ...appunto!
E' la volta del capitolo 12 del testo di Luciano Cresci , da cui ho preso il titolo Curve di frutti (al link cliccate su Indice).
Curve semplicissime, simpatiche da dedicare ai ragazzi della prima! (ma sì, pure a voi di III... i vostri compagni più piccoli non hanno, penso, ancora visto altre curve sul blog...)
Cominciamo con due curve davvero semplici da costruire (ah, con Geogebra naturalmente!)

Il limone e la mela di Keplero:
"Infinite sono le vie della matematica: il 1612 fu in Austria un'annata particolarmente propizia per la raccolta dell'uva e ciò diede a Johannes Kepler (1571-1630) il pretesto per occuparsi di vino [....] Unendo l'utile al dilettevole Keplero, studiando la forma delle botti, trovò delle semplicissime figure di frutti..." continua  


Ed ecco il limone:

Come si costruisce:
- si costruisce un cerchio;
- si seziona il cerchio tracciando una corda (segmento che unisce due punti qualsiasi della circonferenza);
- si costruisce il simmetrico del segmento circolare (ciascuna delle due parti in cui la corda divide il cerchio) inferiore al semicerchio rispetto alla corda (la corda, asse di simmetria)
Con la stessa procedura, cerchio e corda, costruendo il simmetrico del segmento circolare superiore al semicerchio, si ottiene invece ... 
la mela!

 béh, ho aggiunto io il picciolo!

E ora l'arachide, o nocciolina americana o cacahuète (francese) o peanut (inglese), "figurina semplice semplice":

La curva è una variante di rodonea, la sua equazione polare è:
ρ = a (1 + e cos(n α))  
con n reale › 0  e  e ‹ 1
Io ho costruito la curva con equazione polare modificata (sen() al posto di cos()):
ρ = 2 (1 - 0.5 sin(2 α)) 

Ancora, la pera:

La categoria delle curve piriformi (a forma di pera) è stata studiata da G. de Longchamps nel 1886. Variando nelle equazioni parametriche:
x =  a cos(t)²,
y = a² cos(t)³ sin(t)/ b
i parametri a e b si ottengono vari tipi di pera.
 Può essere ottenuta anche come luogo di punti:
- preso un punto P su un cerchio (C) di diametro OA (dove A è il punto di coordinate (a, 0)),
- tracciata una retta  x = b, 
- fissato su questa il punto Q con la stessa ordinata del punto P,
- tracciata la semiretta per O e Q,
- la curva è il locus del punto M, intersezione semiretta OQ - retta x=b, avente la stessa ascissa di P.
Inoltre: quando a = 2b la curva prende il nome di trottola

 

Clic sulla figura per visualizzare la costruzione.

La curva generalizzata cambia spesso nome e, da pera, diventa lacrima oppure goccia:

questa ha parametriche:
x = 2 sin(t) + sin(2 t)
y = - 4 cos(t)
Per chiudere, la doppia goccia d'acqua

 le sue equazioni:
x = a cos(t), 
y = a² cos(t)² sin(t) / b

Link:

Quartique piriforme
Conchoïde de rosace

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