Scopriamo il Teorema di Pitagora

Alessandra, Laura e Irene hanno scritto la loro relazione, tutti hanno lavorato bene!:-)
Ehmm... siamo un po' in ritardo con i programmi per la verità, dunque, dicono le ragazze....
(E' la sintesi delle tre relazioni).

La prof appena oltrepassata la soglia della porta ha esclamato: oggi iniziamo immediatamente con il lavoro!!!
Ci ha proposto un'attività pratica.
Prendete un foglio a quadretti, matita, gomma. Dovrete usare poi le forbici... dunque foglio separato!
Ci ha dato le seguenti istruzioni:
1. Disegnate due quadrati congruenti, 10*10 quadretti per comodità. Il primo lo chiamate Q1 e il secondo Q2.
2. Scomponete Q1 in maniera tale da ottenere due rettangoli congruenti, e due quadrati non equivalenti, uno piccolo e uno grande.
Noi non sapevamo come orientarci e allora la prof ci da altre indicazioni:
- Basta tracciare solo due segmenti
(non è stato sufficiente....)
- Questi due segmenti devono essere perpendicolari.
Dopo vari tentativi abbiamo realizzato tutti la figura, ognuno aveva misure diverse delle dimensioni dei rettangoli e quadrati.
I primi ad arrivare alla soluzione sono stati Laura ed Emanuele.
Il disegno quindi risultava il seguente:

Come avete visto, abbiamo chiamato il quadratino piccolo A e il quadrato grande B.

Ora la prof ci dà le indicazioni per Q2.

3. Scomporre la figura Q2, in 4 triangoli rettangoli congruenti, le dimensioni dei cateti devono essere pari a quelle dei due rettangoli della figura precedente, in maniera tale che al centro si evidenzi un quadrato.
Ci mettiamo subito a lavoro. Alcuni di noi hanno completato con questa sola indicazione, altri ne hanno voluto qualcuna in più.
- Sono da tracciare quattro segmenti.
- L’angolo retto dei triangoli rettangoli coincide con gli angoli retti del quadrato Q2.
Quindi la figura è la seguente:

Abbiamo nominato il quadrato al centro con la lettera C.

La prof ora ci chiede:
riuscite a stabilire una relazione tra le aree dei quadrati A e B e quella del quadrato C?
Noi dopo qualche tentativo sosteniamo che A+B = C perché:
da Q1 abbiamo sottratto i 2 rettangoli e resta A+B;
abbiamo sottratto la stessa quantità (la stessa area) da Q2 però sotto forma di triangoli rettangoli. Perché ad ogni rettangolo di Q1 corrispondono (sono equivalenti) 2 triangoli rettangoli di Q2.

4. La prof ci dice ora di ritagliare i quadrati A, B, C e un triangolo rettangolo a piacere (tanto hanno uguale misura).

5. Ci dice di comporre un puzzle con i 4 pezzi. Delia è stata la prima ad aver fatto l’accostamento giusto che è il seguente.

Vediamo in questa figura che il quadratino A appoggia sul cateto1 (c1).
Il quadrato B sul cateto2 (c2).
Il quadrato C si appoggia sull’ipotenusa (i).
Queste tre frasi e la relazione di A+B = C dette in un italiano migliore risulterebbero:
"In un triangolo rettangolo succede che la somma dei due quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusa."
Questo in un triangolo rettangolo qualsiasi, infatti avevamo misure diverse dei cateti...
Senza rendercene conto abbiamo scoperto il teorema di Pitagora!
Ora dal buon italiano passiamo ancora alla matematica e "traduciamo" quella frase in una formula:
A è l'area di un quadrato che ha per lato c1, quindi la indichiamo con c1²
B è l'area del quadrato che ha per lato c2, quindi la indichiamo con c2²
C è l'area del quadrato che ha per lato i, quindi la indichiamo con i²
Allora scriviamo la relazione: A+B = C, in questa forma:

c1²+c2² = i²

La prof afferma che esistono diverse terne di numeri che rispettano la relazione pitagorica. Si chiamano terne pitagoriche infatti.
La prof ci chiede di trovarne una, anche utilizzando numeri piccoli, cioè dall’ 1 al 10. Dopo parecchi tentativi qualcuno arriva alla terna: 3, 4, 5.
3² + 4² = 5²
9 + 16 = 25
Driiiiin... la campanella è suonata!!! Ci vediamo alla prossima lezione!!!

E alla lezione successiva....

La prof riscrive alla lavagna la relazione pitagorica:

c1²+c2² = i²

e ci chiede:
se di un triangolo rettangolo conosciamo la misura dei due cateti, come calcoliamo la misura dell'ipotenusa? Dovreste trovare la chiave, che sarebbe poi in matematica una formula!
Noi... zitti!
Allora la prof dice: posso scrivere anche così, vero?

i² = c1²+c2²

Noi diciamo di sì!
Dunque??? Sollecitazione della prof, che ripete i² = .....
E allora... finalmente qualcuno ci arriva: la radice quadrata! Perché è l'inversa dell'elevamento a potenza 2!
Quindi possiamo scrivere:

$i = \sqrt{ c1^2+c2^2 } $

Non impieghiamo quindi molto per fortuna, a scrivere le formula per trovare un cateto, conoscendo ipotenusa e l'altro cateto.

$c1 = \sqrt{ i^2-c2^2 } $ e
$c2 = \sqrt{ i^2-c1^2 } $

La lezione continua con l'invito della prof ad trovare casi, considerando le figure piane che conosciamo, in cui potremmo applicare il teorema di Pitagora.
Li abbiamo trovati! Tutte le volte che su una figura piana è possibile individuare un triangolo rettangolo, si può applicare il teorema di Pitagora!
Funzionano da cateti e ipotenusa le parti della figura: possono essere lati, diagonali, altezze....
E, importante, abbiamo capito solo adesso (ecco perché dovevamo ritornarci!), perché in un quadrato:
d/l = √2
con questi passaggi:

I lati l sono i cateti del triangolo rettangolo, la diagonale d è l'ipotenusa,
quindi:
l²+ l² = d²
cioè:
2* l² = d²
e
$d = \sqrt{ 2*l^2 } $
con la proprietà distributiva della radice quadrata:
d = √2 * √l²
ma √l² = l perché sono un'operazione inversa dell'altra, quindi:
d= √2 * l
e
d/l = √2
Ora sì: il lato e la diagonale del quadrato sono due grandezze incommensurabili, il loro rapporto è un numero irrazionale: la radice quadrata di 2 è un numero irrazionale!

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