Le proporzioni, la proporzionalità. Applicazioni.

La risoluzione di problemi nei quali interviene la proporzionalità
è spesso soggetta a errori caratteristici, confusioni, false piste. L'applicazione cosciente delle proprietà della linearità a partire dall'intuizione, richiede più di una riflessione...
Da una ricerca in rete riporto alcune attività da proporre in classe, che possono aiutare a far emergere difficoltà ed errori caratteristici.

1) Il puzzle (Brousseau, 1981)
L'insegnante propone agli allievi, suddivisi in gruppi di 4, la situazione seguente:
"A partire dal puzzle rappresentato in figura ogni allievo di ciascun gruppo riceve uno dei quattro pezzi. Poiché ogni gruppo dovrà ottenere un ingrandimento del puzzle,
- ogni allievo di ciascun gruppo ha il compito di fare un ingrandimento del proprio pezzo in modo da poter ricostruire l'intero puzzle ingrandito,
- il lato che misura 4 cm deve misurarne 6 sul puzzle ingrandito.
Naturalmente in ogni gruppo sarà necessario accordarsi sul metodo da seguire."

Si tratta di una situazione che fa venire alla luce la concezione (additiva) erronea del tipo:
Bisogna aggiungere 2 cm a ciascun lato per fare l'ingrandimento richiesto.
Per arrivare alla realizzazione concreta, è necessario rinunciare alla concezione additiva (erronea) della situazione (Grugnetti, 1996).

Ho proposto tale situazione in III. I ragazzi descrivono l'attività, il metodo seguito e le soluzioni a cui sono giunti.
Scrive Alessandra per il gruppo A:
La prof. ci ha disposto in gruppi da quattro, nei quali ogni componente aveva un compito ben preciso. Dopo averci dato la libertà di scegliere il nostro compito, la professoressa ci ha fornito un foglio su cui c’era scritto l’esercizio.
Il mio compito era supportare nei calcoli i membri del gruppo, qualora ci fosse stato bisogno; Irene aveva il compito di coordinare le proposte ed era la portavoce al momento di relazionare agli altri i risultati; Silvia doveva fornire al gruppo gli strumenti necessari per svolgere il lavoro (ad es. riga, forbici, colla…); Daniele doveva moderare il tono di voce dei componenti.
Dovevamo riportare la figura ingrandita, sapendo che il lato del trapezio B che misurava 4 cm diventa di 6 cm.
Daniele in un primo momento ha proposto: siccome il lato di 4 cm diventa di 6 cm, allora anche gli altri bisogna farli aumentare di 2 cm. Ma avevamo intuito che in questo problema bisognava usare le proporzioni, e io gli ho fatto notare che così non si rispettava il rapporto di 4:6. Irene era d'accordo con me.
Quindi abbiamo deciso che per calcolare le nuove misure di tutti i lati andava applicata la proporzione:
4 : 6 = misura (conosciuta) figura: misura (incognita) figura ingrandita.
Es: 4 : 6 = 5 : x
Abbiamo eseguito i seguenti passaggi:
• applicato la proprietà fondamentale, la quale prevede che il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi;
• quindi diviso il prodotto dei medi per l’estremo conosciuto, e trovata l’incognita x.
Abbiamo utilizzato questo procedimento per scoprire i lati incogniti delle altre figure.

La prof ci aveva dato un altro incarico, stavolta comune a tutti: alla fine dell'attività dovevamo fare l'autovalutazione e la valutazione del compito svolto dai nostri compagni.
Alla prof è piaciuto come abbiamo svolto quest'ultimo incarico. Abbiamo detto la verità, per es:
"Daniele doveva intervenire per moderare i toni del gruppo, ma eravamo noi a dover intervenire a volte su di lui!"

Ale

Laura per il gruppo B (riporto la procedura seguita dal gruppo):
Per ingrandire la figura abbiamo bisogno delle proporzioni. La prima osservazione è stata fatta da Emanuele che ha detto: 4 cm sono diventati 6 cm; bisogna sommare a 4 la sua metà. Si può applicare lo stesso ragionamento a tutti i lati da ingrandire.
Ci è sembrato che il suo ragionamento filasse e quindi abbiamo provato a scrivere una proporzione per un lato, per es. il lato da 5 cm:
[(1/2 * 5) + 5] : [(1/2 * 4) + 4] = 5 : 4
[2,5 + 5] : [2 + 4] = 5 : 4
7,5 : 6 = 5 : 4
Questi numeri sono in proporzione: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, 6*5 = 7,5*4
Quindi il lato da 5 cm diventa di 7,5 cm.
Abbiamo impostato la stessa proporzione per calcolare le misure di tutti i lati ingranditi.
Verificavamo sempre l'esattezza delle proporzioni. I rapporti erano uguali e la proprietà fondamentale era rispettata.
Per quanto riguarda la valutazione e autovalutazione... noi siamo stati "poco obiettivi"! (ha detto la prof! :-))

Laura

Nicola per il gruppo C (metodo seguito):
Delia ha detto dapprima: forse dobbiamo aumentare di 2 cm ogni lato... Ma ho fatto notare che bisognava rispettare il rapporto 4 : 6. Allora Delia si è corretta: il quadrato ingrandito è in rapporto di 3 : 2 rispetto all'altro!
Quindi per scoprire tutti i lati richiesti bisognava applicare per ogni lato il rapporto 3 : 2.
Abbiamo applicato l'operatore 3/2 a ciascuna misura originale:
Es.:
3/2 * 5 = 7,5
il lato da 5 cm diventa di 7,5 cm,
3/2 * 7 = 10,5
il lato da 7 cm diventa 10,5 cm
e così per gli altri lati.
Noi abbiamo consegnato per primi la nostra relazione e siamo stati abbastanza giusti nel giudicarci...

Nico

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