[Contributi] I numeri perfetti

Il mio amico Paolo ci regala questa volta un articolo sui

Numeri perfetti

corredandolo di un bel file in Excel...

I numeri perfetti erano noti fin dai tempi più antichi. Venivano attribuite a tali numeri proprietà magiche e misteriose. Il matematico Frà Luca Pacioli nel XV secolo affermava:
Ancora si comme fra la gente più imperfecti e tristi che buoni e perfecti si trovano e li buoni sono pochi e rari: così fra li numeri pochi e rari sono li perfecti e molti e assai sonno li imperfecti: cioè superflui e diminuiti.
Definizione
Sono perfetti quei numeri naturali, diversi da 1, che sono uguali alla somma dei loro divisori propri (tutti divisori di un numero, escluso il numero stesso e compreso 1).
Così per esempio il numero 6, che peraltro è il più piccolo fra i numeri perfetti, è tale in quanto la somma dei suoi divisori 1+2+3 è pari al numero stesso.
Il secondo numero perfetto, 28, è uguale a 1+2+4+7+14.
Già Pitagora ad Euclide, erano affascinati dalla ricerca di questi rarissimi numeri.
I greci conoscevano altri due numeri perfetti:
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
e
8128 = 1+ 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

Possiamo osservare che il numero perfetto 6 può essere scritto:
2 * 3 = 2 * (4 - 1) = 2 * (2 ² -1)
e il numero 28:
4 x 7 = 2 ² x ( 2 ³ - 1)
Evidenziando le potenze del 2 presenti in ogni numero perfetto, fu Euclide, nel 300 a. C., a dare per primo la formula dei numeri perfetti, nei suoi Elementi, Libro 9, Proposizione 36:
se n è un numero primo e,
a sua volta $2^{n}-1$ è sempre primo,
allora $2^{n-1}(2^n-1)$ è un numero perfetto.

Per effettuare la ricerca di numeri perfetti possiamo ricorrere ad Excel.
Si possono adottare due metodi, entrambi con alcuni limiti dovuti all'ampiezza di calcolo, ma comunque esatti.
Il primo metodo utilizza il teorema di Euclide, in questa forma: se $2^{n+1}-1$ è un numero primo, allora $2^{n}(2^{n+1}-1)$ è perfetto (n = numero naturale).
Abbiamo creato una cartella di Excel, vedi file da scaricare, Numeri Perfetti.xls, con due fogli, il primo di nome Perfetti1:
Il secondo metodo, utilizza invece la definizione stessa di numeri perfetti, individuando i medesimi sulla base dell'uguaglianza fra il numero e la somma dei suoi divisori.
E' sviluppato nel secondo foglio di nome Perfetti2:
Sul file, le spiegazioni dettagliate sulla struttura dei fogli di lavoro e sulle formule utilizzate.

Alcune curiosità matematiche.
• Ogni numero perfetto, tranne il 6 ed il 28, è uguale alla somma di successioni di numeri dispari al cubo.
Ad esempio:
496 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³
8128 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³+ 13³ + 15³
33550336 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³+ 13³ + 15³ + ............+ 125³+ 127³

• La somma dei reciproci di tutti i divisori di un numero perfetto, incluso in questo caso il numero stesso, è sempre uguale a 2.
Per il numero 28: 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2.

Alcune curiosità nella Storia.
Lo studio dei numeri perfetti, iniziato come dicevamo da Euclide, fu poi ripreso e sviluppato nel Medioevo stimolando la curiosità di astrologhi e filosofi.
Il 6 ad esempio indusse alcune riflessioni in sant'Agostino nella sua opera La Città di Dio:
Sei è un numero perfetto di per sé, e non perché Dio ha creato il mondo in sei giorni; piuttosto è vero il contrario. Dio ha creato il mondo in sei giorni perché questo numero è perfetto, e rimarrebbe perfetto anche se l'opera dei sei giorni non fosse esistita.
Il 28 veniva usato nell'astrologia in quanto rappresentava i giorni del ciclo lunare.

Numeri Sovrabbondanti o Difettivi
In genere se si sommano i divisori propri di un numero, si ottiene un numero che è più grande o più piccolo del numero considerato. Nel primo caso il numero viene chiamato sovrabbondante, nel secondo caso scarseggiante o difettivo.
Ad esempio, 30 è un numero sovrabbondante in quanto la somma dei suoi divisori propri è maggiore di 30: 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 = 42.
Mentre 50 è un numero scarseggiante o difettivo, infatti la somma dei suoi divisori propri è minore di 50: 1 + 2 + 5 + 10 + 25 = 43.
Benché esistano infiniti numeri lievemente difettivi, cioè difettivi solo per un'unità, ad esempio 4, i cui divisori sono 1 e 2 e la cui somma è uguale a 3, non si sono ancora trovati numeri lievemente abbondanti.
Più in generale, i numeri lievemente difettivi sono uguali a: $2^n • 2^{n+1}$

A questa pagina tanto altro e altri link... sui numeri perfetti.
- Ricordiamo anche la stretta relazione tra numeri perfetti e numeri primi di Mersenne.
Grazie Paolo!

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